附加線性不等式約束的條件平差模型未知參數(shù)的解算

張松林 張 昆

1 同濟大學測量與地理信息學院，上海市四平路1239號，200092

2 華東師范大學地理信息科學教育部重點實驗室，上海市東川路500號，200241

文獻中所討論的附加線性不等式約束的平差模型無一例外地都是基于間接平差模型的［1－10］，模型形式為：

雖然有文獻在論及附加不等式約束的模型時使用了附加參數(shù)的條件平差模型：

但是在處理中，運用最小二乘準則時，將附加參數(shù)的條件平差模型與間接平差模型同樣對待：

條件平差模型（Av＋w＝0）、間接平差模型和附有限制條件的間接平差模型是附有限制條件的條件平差模型的特例，分別對應于B＝0，C＝0；A＝－I，C＝0以及A＝－I。本文在回顧附有參數(shù)的條件平差理論的基礎上，探求附加不等式約束的條件平差模型未知參數(shù)的求解。

1 條件平差模型回顧

附有參數(shù)的條件平差模型在最小二乘準則下可表示為［11］：

其計算思路是根據(jù)求條件極值的理論組成目標函數(shù)，分別對v和求一階偏導數(shù)，并令它們?yōu)榱悖玫疥P系式，進而求得。令NA：＝AP－1AT，NB：，則未知參數(shù)的估值和改正數(shù)向量為：

2 附加不等式約束的條件平差

附加不等式約束的條件平差模型可表示為：

當G＝0時，式（7）退化為附有參數(shù)的條件平差模型（5）。引入最小二乘準則vTPv＝min，式（7）實質上等價于：

由K－T 條件可知，當不等式約束集中的某約束j以等式成立時，必有相應的拉格朗日乘子λj＞0；當不等式約束集中的某約束j以嚴格不等式成立時，必有相應的拉格朗日乘子λj＝0。所以，由K－T 條件對拉格朗日函數(shù)中的λ進行約束（對k無約束作用），來求取合適的λ。

目標函數(shù)（10）分別對v和求一階偏導數(shù)并令其為零，整理可得法方程：

NA、NB和We的定義同前，用左乘式（11a）并減去式（11c）得：

即

由此得到：

將代入式（11b），可以得到＋h＝0。由式（5）可知，當式（7）沒有不等式約束時，未知參數(shù)的解可由式（6）得到，記，有：

求解的關鍵是求出滿足條件的λ。令D＝，將式（15）表達為矩陣形式Dλ＝d，即

Di，j為矩陣D的第i行第j列的元素，通過在傳統(tǒng)高斯消去法的基礎上設計迭代來實現(xiàn)。將式（16）的第i行展開，有：

所以有：

由式（18），可寫出迭代的具體過程為：

4）如果λp＋1≠λp，則p＝p＋1，轉2），繼續(xù)迭代；否則得到；

5）把代入式（14），得到未知參數(shù)的估值

在以上迭代過程中，迭代的終止條件其實就是K－T 條件。

根據(jù)的結果，可以區(qū)分出有效約束和無效約束，值不為0的所對應的約束為有效約束，記為，其余的為無效約束。其中G1為s1×u的矩陣，s1為值不為0的的個數(shù)。去掉無效約束，將有效約束的不等號改為等號，則式（8）變換成：

3 算 例

本文所使用的條件方程的A、B矩陣和w向量的數(shù)據(jù)見表1，c＝5，n＝9，u＝2，A和B分別是5×9和5×2的矩陣，w是一個5×1的向量。

表1 矩陣A、B 和向量wTab.1 Matrix A，matrix Band vector w

無約束的條件平差模型的未知參數(shù)的最小二乘解見表2第2列。附加以下不等式約束：

采用迭代乘子法，ε取10－12，解得乘子＝0.041 2，＝0.0000。第一個不等式約束為有效約束，未知參數(shù)的估值見表2第3列。將未知參數(shù)的估值和約束條件表示在由2個參數(shù)定義的坐標系中，見圖1。由圖1也可看出，無約束的未知參數(shù)估值所對應的點位于第一個約束形成的可行域外（實線暈線表示的區(qū)域），第一個約束是有效約束；無約束的未知參數(shù)估值所對應的點位于第二個約束形成的可行域內(nèi)（虛線暈線表示的區(qū)域），第二個約束是無效約束。

由于所添加的第二個不等式約束為無效約束，舍棄；第一個不等式約束為有效約束，將其轉化為等式約束，按附加等式約束的條件平差模型，采用式（19）計算得未知參數(shù)的估值，見表2第4列，與迭代乘子法所得一致。

表2 未知參數(shù)的估值Tab.2 Estimated unknown parameters

圖1 約束與未知參數(shù)的估值Fig.1 Constraints and estimated unknown parameters

4 結 語

本文對附加不等式約束的條件平差問題的解算思路進行了推導，即根據(jù)K－T 定理，對拉格朗日乘子λ進行約束，通過迭代算法求解滿足K－T條件的拉格朗日乘子，進而求得未知參數(shù)的最佳估值。通過算例，驗證了該方法的可行性，也驗證了該方法所求得的參數(shù)與把有效約束當作等式約束、按附加等式約束的條件平差模型的解算結果是一致的。

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