三角函數(shù)最值問題總結(jié)

李曉蕓（甘肅省張掖市第二中學(xué)734000）

三角函數(shù)最值問題總結(jié)

李曉蕓（甘肅省張掖市第二中學(xué)734000）

三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用，是高考的重點內(nèi)容，同時也是難點。由于三角函數(shù)的最值問題涉及的廣泛性、綜合性、靈活性較強，解決起來往往不是那么容易，針對這類問題，我們只要找到恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑔栴}就能迎刃而解，下面就這幾類問題介紹幾種求三角函數(shù)最值問題的方法。

三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)換法

一、前言

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時也是以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必須的內(nèi)容。由于三角和代數(shù)、幾何知識的密切聯(lián)系，它又是研究其他相關(guān)知識的重要工具。在復(fù)數(shù)的三角形式、參數(shù)方程、幾何計算以及某些代數(shù)問題中都有著十分廣泛的應(yīng)用。

三角函數(shù)主要體現(xiàn)了等價的數(shù)學(xué)思想，三角函數(shù)問題無論是三角函數(shù)的求值題、求最值題、綜合題、探索題還是應(yīng)用題，均以考查三角變換為核心，所以熟練掌握并能靈活應(yīng)用有關(guān)三角函數(shù)的公式，掌握變換技巧與方法對高中生來說是很必要的。三角函數(shù)的最值問題是歷年來高考的必考內(nèi)容，同時也是難點，如果找不到這類問題求解的“技巧”，遇到這種問題時往往無從下手，本文從基本的方法入手，介紹三角函數(shù)的最值問題的求解。

二、三角函數(shù)的最值問題

這種題型大致可以分為三類：化為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性進行求解；換元法求函數(shù)的最值；利用基本不等式求函數(shù)的最值；利用一元二次函數(shù)的根的判別法求函數(shù)的最值。

（一）利用函數(shù)的有界性，求三角函數(shù)的最值

注：以上介紹的是關(guān)于cosx的這類題型的計算，當(dāng)然，關(guān)于的題目，類似的可如法刨制。

（二）換元法求函數(shù)最值

基本思想：在僅含有sinx+cosx（或sinxcosx），sinx·cosx的有理式中，設(shè)sinx+cosx=t（或sinx-cosx=t），則sinx·cosx=（或sinx·cosx=），原式可化為只含有t的有理式。

例3：求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

注：這類題型相對較簡單，沒有什么難度，同學(xué)們只要知道了這個解題的方法，再次遇到這種題時就可很容易的求出函數(shù)的最值。

（三）利用基本不等式求函數(shù)的最值

基本思想：這里所說的基本不等式用得最多的就是均值不等式，當(dāng)然，其他常用的不等式也在我們的選擇范圍之內(nèi)，在利用基本不等式求最值時，需要考慮到以下三個條件：1.各項都是正值；2.各項之和（或之積）為定值；3.等號能夠成立。

不等式的運用不好掌握，到底該選哪個不等式，要具體題目具體分析，選對不等式，也不一定能夠做出題目，往往還要結(jié)合拆項、添項、湊系數(shù)等技巧才能完整的解決所求問題，因此，在求函數(shù)最值問題上，同學(xué)們一定要練習(xí)自己的發(fā)散思維，力爭做到靈活運用不等式，而不是死記硬背。

（四）利用一元二次函數(shù)根的判別法求函數(shù)最值

基本思想：其主要思想就是把所求函數(shù)的最值問題經(jīng)過等價變形，化為一元二次函數(shù)的形式，然后再利用一元二次函數(shù)的判別式進行計算。

（y-1）tan2θ+（y+1）tanθ+y-1=0

（1）當(dāng)y-1=0時，即y=1時，tanθ=0，∴θ=kπ（k∈Z）

（2）當(dāng)y-1≠0，即y≠1，由△=(y+1)2-4(y-1)2≥0解得≤y≤3.則由（1）（2）可知所求函數(shù)的最大值為3，最小值為

注：此方法運用時應(yīng)注意分類討論，原函數(shù)化為一元二次函數(shù)的形式后，并不一定為一元二次函數(shù)，一定要分二次項系數(shù)為零和不為零進行討論。

三、結(jié)語

以上四種題型是求函數(shù)最值最常用的方法，其中第一種方法較為簡單；第三種方法稍有點難度，只要適當(dāng)?shù)倪x取不等式就可以解決問題；第二種和第四種方法都用到了分類討論的思想，做起來稍微有點復(fù)雜，但難度不大，只要學(xué)生用心，題目都可以做對，當(dāng)然，函數(shù)最值問題還有很多的其他辦法，不管哪種辦法，學(xué)生都要深化為自己的東西，才能靈活的解決此類問題。

[1]呂浦.幾種三角函數(shù)的最值問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2004（9）.

[2]段剛山.探求一類三角函數(shù)的最值問題[J].數(shù)學(xué)通報，2008（6）.

[3]楊海英.對于三角函數(shù)最值問題的幾點思考[J].考試周刊，2007（48）.

（責(zé)編 趙建榮）