基于隨機(jī)響應(yīng)面法的邊坡系統(tǒng)可靠度分析

蔣水華 ，祁小輝 ，曹子君 ，李典慶

（1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072；2.武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072；3.南昌大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西 南昌 330031）

1 引 言

土體是經(jīng)過復(fù)雜地質(zhì)作用而形成的天然材料。受復(fù)雜地質(zhì)成因的影響，土體物理力學(xué)性質(zhì)隨著空間位置的變化而不同，表現(xiàn)出一定的層狀分布特征。土體參數(shù)的這種層狀分布特征對(duì)邊坡穩(wěn)定的安全性和可靠性有著顯著的影響，使得邊坡可能存在多種潛在失效模式[1－3]，采用單一失效模式（比如臨界確定性滑動(dòng)面或者臨界概率滑動(dòng)面[3]）進(jìn)行邊坡可靠度分析會(huì)低估邊坡失效概率，以致于錯(cuò)誤地評(píng)價(jià)邊坡安全性。為了準(zhǔn)確地評(píng)估邊坡的安全性和可靠性，亟需發(fā)展可以同時(shí)考慮多失效模式的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法。

目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在邊坡系統(tǒng)可靠度問題上已進(jìn)行了大量有益的研究。如張興等[4]采用蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation,MCS）研究了土體參數(shù)間相關(guān)性對(duì)邊坡系統(tǒng)失效概率的影響。譚曉慧[5]將邊坡視為含多條潛在滑動(dòng)面的串聯(lián)系統(tǒng)，采用Ditlevsen 上、下限法[6]分析了邊坡系統(tǒng)可靠度。Oka 等[1]以及Chowdhury 等[2]提出，在邊坡可靠度分析中應(yīng)當(dāng)合理地考慮邊坡多失效模式，并采用了Ditlevsen 上、下限法進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析，得出邊坡系統(tǒng)失效概率的可能變化范圍。Low 等[7]采用一階可靠度方法（first order reliability method,FORM）結(jié)合Ditlevsen 上、下限法計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率。以上這些研究都是基于部分代表性滑動(dòng)面對(duì)邊坡進(jìn)行系統(tǒng)可靠度分析。這些代表性滑動(dòng)面沒有經(jīng)過嚴(yán)格篩選，可能會(huì)忽略一些重要的失效模式，導(dǎo)致低估邊坡系統(tǒng)失效概率。此外，Ching 等[8]在考慮大量潛在滑動(dòng)面的情況下采用重要抽樣方法進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析。Zhang 等[9]采用2 階多項(xiàng)式對(duì)大量潛在滑動(dòng)面構(gòu)造其安全系數(shù)與輸入?yún)?shù)間的響應(yīng)面，再結(jié)合MCS 進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析。然而，實(shí)際工程邊坡失效概率一般在10-6～10-3量級(jí)，基于MCS和大量潛在滑動(dòng)面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法的計(jì)算量非常大，使得其在工程實(shí)際問題中的實(shí)用性受到一定的約束。

最近一些研究[9－16]提出，首先在大量潛在滑動(dòng)面中篩選出代表性滑動(dòng)面，然后基于代表性滑動(dòng)面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析以提高計(jì)算效率。Zhang 等[9,11]提出，從大量潛在滑動(dòng)面中篩選出代表性滑動(dòng)面，再采用2 階多項(xiàng)式或者克里金方法對(duì)每條代表性滑動(dòng)面構(gòu)造響應(yīng)面，并結(jié)合MCS 進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析。Ji 等[10]通過類似于Hassan和Wolff 方法[3]確定代表性滑動(dòng)面，針對(duì)每條代表性滑動(dòng)面采用2階多項(xiàng)式構(gòu)建響應(yīng)面，再采用FORM 進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析。Cho[12]通過設(shè)障礙方法（barrier）確定邊坡代表性失效模式，再采用多點(diǎn)一階可靠度方法（multi-point FORM）計(jì)算邊坡系統(tǒng)可靠度。Zhang等[13]基于Hassan和Wolff 方法[3]確定代表性滑動(dòng)面，采用2 階多項(xiàng)式對(duì)每條代表性滑動(dòng)面構(gòu)造響應(yīng)面，再結(jié)合MCS 計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率。Li 等[14]根據(jù)大量潛在滑動(dòng)面與臨界確定性滑動(dòng)面間的相關(guān)性篩選代表性滑動(dòng)面，然后也采用MCS 計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率。目前代表性滑動(dòng)面的確定方法通常需要計(jì)算大量潛在滑動(dòng)面之間的相關(guān)性，計(jì)算過程較為繁瑣。此外，摩擦/黏性邊坡安全系數(shù)通常是土體參數(shù)的非線性隱式函數(shù)，當(dāng)采用相關(guān)非正態(tài)分布表征土體參數(shù)分布特征時(shí)，常用的2 階多項(xiàng)式展開可能難以準(zhǔn)確地近似潛在滑動(dòng)面安全系數(shù)與土體參數(shù)間的高階非線性隱式函數(shù)關(guān)系。

本文提出了一套基于隨機(jī)響應(yīng)面法的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法。首先從大量潛在滑動(dòng)面中有效地篩選出代表性滑動(dòng)面。然后針對(duì)每條代表性滑動(dòng)面，采用Hermite 多項(xiàng)式展開建立其安全系數(shù)與土體參數(shù)間的非線性顯式函數(shù)關(guān)系(即隨機(jī)響應(yīng)面)，以提高安全系數(shù)的計(jì)算效率。在此基礎(chǔ)上通過直接MCS計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率。本文首先介紹了提出的基于隨機(jī)響應(yīng)面法的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法及其計(jì)算流程，最后通過兩個(gè)算例驗(yàn)證了該方法的有效性，并探討了不同階響應(yīng)面以及土體參數(shù)分布類型和相關(guān)性對(duì)邊坡系統(tǒng)可靠度的影響。

2 邊坡系統(tǒng)可靠度分析

對(duì)于多層邊坡穩(wěn)定性問題[9－13]，可能存在大量潛在滑動(dòng)面，只要任何一條潛在滑動(dòng)面安全系數(shù)小于1.0，邊坡就會(huì)沿該滑動(dòng)面滑動(dòng)進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)邊坡失穩(wěn)。因此，邊坡安全性可定義為一串聯(lián)系統(tǒng)可靠度問題[5,14]。根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)失效概率的定義[9,14]，邊坡系統(tǒng)失效概率pfs計(jì)算表達(dá)式為

式中：P(·)為某一事件或系統(tǒng)的失效概率；E[Sj]為邊坡沿第j 條滑動(dòng)面失穩(wěn)事件，j=1,2,…,Ns；Ns為所有潛在滑動(dòng)面數(shù)目。式（1）可進(jìn)一步表示為

由于巖土工程中試驗(yàn)數(shù)據(jù)通常非常有限，難以獲得較為完整的土體參數(shù)概率信息等，同時(shí)式（2）的被積分項(xiàng)是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)。此外，一般情況下土體參數(shù)服從相關(guān)非正態(tài)分布，每條潛在滑動(dòng)面安全系數(shù)FS 是土體參數(shù)X 的非線性隱式函數(shù)關(guān)系，因此，對(duì)式（2）直接積分計(jì)算的難度較大。然而，式（2）可以通過MCS 方便地計(jì)算，根據(jù)MCS 式（2）進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

式中：N為MCS 中產(chǎn)生的樣本數(shù)目。為了準(zhǔn)確地計(jì)算pfs，在MCS 中通常需要產(chǎn)生大量的樣本進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，并基于大量潛在滑動(dòng)面計(jì)算每組樣本所對(duì)應(yīng)的最小安全系數(shù)，計(jì)算量非常大。

3 隨機(jī)響應(yīng)面

為了提高計(jì)算效率，本文將在大量潛在滑動(dòng)面中篩選出Nr條代表性滑動(dòng)面，并對(duì)每條代表性滑動(dòng)面采用Hermite 隨機(jī)多項(xiàng)式展開（Hermite polynomial chaos expansion，HPCE）建立其安全系數(shù)FSj與隨機(jī)土體參數(shù)X 間的顯式函數(shù)關(guān)系（即第j 重隨機(jī)響應(yīng)面）[15－19]。然后，將構(gòu)建的代表性滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面用在MCS 中計(jì)算每組樣本所對(duì)應(yīng)的最小安全系數(shù)。對(duì)于第j 條代表性滑動(dòng)面，其安全系數(shù)表達(dá)式為[15,17]

式中：j=1,2,…,Nr，Nr為代表性滑動(dòng)面數(shù)目；n為隨機(jī)變量數(shù)目；為待定系數(shù)；ξ=（ξi1,ξi2,…,ξin）為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量；是自由度為n 的Hermite 多項(xiàng)式展開[15,17]。然后根據(jù)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量ξ與土體參數(shù)X 間的等概率變換函數(shù)關(guān)系[17]為

式中：FXi(x)和 fXi(x)分別為輸入隨機(jī)變量Xi的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)；Φ-1(·)為一維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù)的逆函數(shù)。

因此，根據(jù)式（5）、（6）便可得到第j 條代表性滑動(dòng)面安全系數(shù)與土體參數(shù)X 間的顯式函數(shù)關(guān)系。其中關(guān)鍵問題是確定式（5）中多項(xiàng)式展開的待定系數(shù)a：通過選擇Np組獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)樣本ξ，基于樣本ξ 進(jìn)行Np次邊坡穩(wěn)定性分析，然后對(duì)于第j 條代表性滑動(dòng)面就有Np個(gè)安全系數(shù)，再根據(jù)樣本ξ和第j 條代表性滑動(dòng)面所對(duì)應(yīng)的Np個(gè)安全系數(shù)，建立線性代數(shù)方程組求解多項(xiàng)式展開待定系數(shù)a，進(jìn)而建立第j 條代表性滑動(dòng)面安全系數(shù)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)響應(yīng)面。類似地可以構(gòu)建Nr重隨機(jī)響應(yīng)面，最后給定一組土體參數(shù)X 的隨機(jī)樣本，根據(jù)式（5）、（6）就可以得到Nr條代表性滑動(dòng)面的安全系數(shù)，將其中的最小值作為邊坡穩(wěn)定性分析的系統(tǒng)輸出響應(yīng)，進(jìn)而通過式（4）MCS 計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率。

4 代表性滑動(dòng)面確定方法

圖1 邊坡系統(tǒng)可靠度計(jì)算流程圖Fig.1 Flow chart for system reliability analysis of slope

邊坡系統(tǒng)可靠度分析中重要的一步是需要確定代表性滑動(dòng)面。本文邊坡代表性滑動(dòng)面是在隨機(jī)響應(yīng)面構(gòu)建過程中確定的，首先在獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間進(jìn)行概率配點(diǎn)或者拉丁超立方抽樣，選取Np組獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)樣本點(diǎn)ξ，將這Np組樣本點(diǎn)通過式（6）分別轉(zhuǎn)換到原始空間中得到Np組X 的隨機(jī)樣本值。然后，將其中每一組隨機(jī)樣本值作為輸入?yún)?shù)，通過邊坡穩(wěn)定性分析（如簡(jiǎn)化畢肖普法）計(jì)算得到Ns條潛在滑動(dòng)面的安全系數(shù)，并確定其中最小安全系數(shù)對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面，即臨界確定性滑動(dòng)面。對(duì)于Np組X 的隨機(jī)樣本值，理論上可從中獲得Np條臨界確定性滑動(dòng)面。然而由于基于某兩組或者多組X 的隨機(jī)樣本值所搜索到的臨界確定性滑動(dòng)面可能相同，所以只可篩選出Nr條不同的臨界確定性滑動(dòng)面，可見Nr≤Np。本文將這Nr條不同的臨界確定性滑動(dòng)面作為代表性滑動(dòng)面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析。此外，其他方法[9－14]也可用于確定邊坡代表性滑動(dòng)面，然而當(dāng)考慮參數(shù)空間變異性所需離散隨機(jī)變量數(shù)目較多時(shí)，它們的計(jì)算量較大。與之相比，本文方法不需要另外專門計(jì)算潛在滑動(dòng)面安全系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，提高了計(jì)算效率。

5 計(jì)算流程

本文提出的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法的計(jì)算流程圖如圖1 所示，主要步驟如下：

（1）取土體參數(shù)隨機(jī)變量均值建立邊坡穩(wěn)定性分析模型。

（2）產(chǎn)生可覆蓋整個(gè)邊坡可能失穩(wěn)區(qū)域的大量潛在滑動(dòng)面，本文首先采用SLOPE/W 模塊[20]剪入、剪出方法生成大量圓弧型滑動(dòng)面，為保證計(jì)算精度要求，建議潛在滑動(dòng)面總數(shù)Ns＞104較為合適。

（3）將邊坡穩(wěn)定性分析模型存為slope.xml 源文件，并對(duì)其進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析自動(dòng)搜索臨界確定性滑動(dòng)面。

（4）選取獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間概率配點(diǎn)或者拉丁超立方樣本點(diǎn)ξNp×n（維度為Np×n，Np為隨機(jī)樣本數(shù)目），根據(jù)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特性（均值、變異系數(shù)和分布類型等），通過式（6）等概率變換方法得到Np組原始空間中土體參數(shù)X 隨機(jī)樣本值，再用X 的樣本值分別代替邊坡源模型文件slope.xml 中對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的均值，從而生成Np個(gè)新的slope.xml 計(jì)算文件。

（5）借助批處理軟件分別對(duì)Np個(gè)slope.xml 文件進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析批次計(jì)算，如Winbatch[21]軟件。Winbatch 是一微軟Windows 腳本語言，其運(yùn)行環(huán)境由解釋器、代碼編輯器、對(duì)話框設(shè)計(jì)和一個(gè)用來創(chuàng)建可執(zhí)行文件的編譯器組成，其主要思想是通過Winbatch 執(zhí)行文件*.wbt 控制SLOPE/W 軟件自動(dòng)啟動(dòng)、打開與求解計(jì)算文件以及自動(dòng)關(guān)閉，給出了相應(yīng)的Winbatch 軟件與SLOPE/W 結(jié)合程序如下：

（6）Np次邊坡穩(wěn)定性分析可自動(dòng)搜索出Nr條不同的臨界確定性滑動(dòng)面，將這Nr條不同的臨界確定性滑動(dòng)面作為代表性滑動(dòng)面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析，并分別從生成的Np個(gè)計(jì)算結(jié)果文件slope.fac中提取每條代表性滑動(dòng)面對(duì)應(yīng)的Np個(gè)安全系數(shù)。

（7）根據(jù)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)樣本點(diǎn)ξNp×n和Np個(gè)安全系數(shù)基于式（5）建立線性方程組，求解多項(xiàng)式展開系數(shù)，進(jìn)而建立邊坡每條代表性滑動(dòng)面安全系數(shù)與土體參數(shù)X 間的顯式函數(shù)關(guān)系（即隨機(jī)響應(yīng)面）。

（8）最后根據(jù)式（4）～（6）采用直接MCS 計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率。

本文提出的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法巧妙地實(shí)現(xiàn)了邊坡確定性分析與概率分析的有機(jī)結(jié)合，而且充分地利用了現(xiàn)有商業(yè)軟件。本文以GEOSTUDIO軟件的SLOPE/W 模塊為例，予以實(shí)現(xiàn)邊坡系統(tǒng)可靠度分析，所提出的方法同樣可以拓展到其他邊坡穩(wěn)定性分析軟件。本文提出方法只需要對(duì)Nr條代表性滑動(dòng)面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析，計(jì)算效率較高。當(dāng)邊坡每條代表性滑動(dòng)面安全系數(shù)均表示為土體參數(shù)的顯式函數(shù)關(guān)系后，最終只需要將一些數(shù)學(xué)表達(dá)式視為功能函數(shù)進(jìn)行直接MCS，不再需要進(jìn)行原始的邊坡穩(wěn)定性分析，從而可以快速地獲得邊坡系統(tǒng)失效概率。

6 算 例

6.1 兩層不排水飽和黏土邊坡

首先以一個(gè)兩層不排水飽和黏土邊坡系統(tǒng)可靠度問題為例驗(yàn)證提出方法的有效性，Low 等[7]、Ching 等[8]、Ji 等[10]、Zhang 等[11]和Cho[12]均對(duì)該邊坡穩(wěn)定進(jìn)行了可靠度分析，其相應(yīng)計(jì)算結(jié)果可用來驗(yàn)證本文方法的有效性。邊坡計(jì)算模型如圖2 所示，坡高為24 m，坡度為0.75:1。根據(jù)以上文獻(xiàn)，將兩黏土層的不排水抗剪強(qiáng)度cu1和cu2視為隨機(jī)變量，均值分別為120、160 kPa，變異系數(shù)均為0.3，并且都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。土體重度γsat＝19 kN/m3。

首先取參數(shù)均值采用SLOPE/W 模塊剪入、剪出方法[20]生成可覆蓋整個(gè)邊坡可能失穩(wěn)區(qū)域的大量潛在滑動(dòng)面，根據(jù)文獻(xiàn)[9,13－14]可知，滑動(dòng)面總數(shù)Ns＞104可以滿足精度要求，邊坡系統(tǒng)失效概率基本上不再隨著Ns的增加而發(fā)生變化。本文為保證計(jì)算精度，共生成了10 164 條圓弧型滑動(dòng)面，其位置如圖2 所示。然后與文獻(xiàn)[2,8,11－12]一樣，取參數(shù)均值采用簡(jiǎn)化畢肖普法計(jì)算得到邊坡安全系數(shù)為1.995，與Ji 等[10]采用普通條分法得到的1.997基本一致。顯然自動(dòng)搜索到的臨界確定性滑動(dòng)面包含在所有潛在滑動(dòng)面中，如圖2 所示。

圖2 邊坡計(jì)算模型和10 164 條潛在滑動(dòng)面Fig.2 Slope geometry and 10 164 potential slip surfaces

圖3 邊坡3 條代表性滑動(dòng)面Fig.3 Three representative slip surfaces of slope

獲得邊坡所有潛在滑動(dòng)面之后，邊坡系統(tǒng)可靠度分析的重要一步是從中篩選出代表性滑動(dòng)面。以4 階HPCE 方法為例，由于4 階Hermite 多項(xiàng)式展開待定系數(shù)數(shù)目為15，如要獲得多項(xiàng)式展開系數(shù)至少需進(jìn)行15 次邊坡穩(wěn)定性分析。通過這15 次邊坡穩(wěn)定性分析可自動(dòng)搜索到3 條不同的臨界確定性滑動(dòng)面作為代表性滑動(dòng)面如圖3 所示，這3 條代表性滑動(dòng)面與文獻(xiàn)[7,10－12]所確定的代表性滑動(dòng)面位置非常吻合，其中包含了臨界確定性滑動(dòng)面。然后利用Hermite 隨機(jī)多項(xiàng)式展開分別建立每條代表性滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面（即安全系數(shù)與隨機(jī)變量cu1和cu2之間的顯式函數(shù)關(guān)系）。以圖3 所示的臨界確定性滑動(dòng)面為例，首先采用4 階HPCE 可擬合得到該滑動(dòng)面安全系數(shù)FS 與獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量ξ1和ξ2間的顯式函數(shù)關(guān)系如下：

式中：ξ1=(lncu1-4.744)/0.294；ξ2=(lncu2-5.032)/0.294。據(jù)此便可得到臨界確定性滑動(dòng)面FS 與隨機(jī)變量cu1和cu2間的顯式函數(shù)關(guān)系。最后對(duì)式（7）采用20×104次直接蒙特卡洛模擬計(jì)算得到臨界確定性滑動(dòng)面的失效概率為1.43×10-3?；谝陨? 條代表性滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面，通過直接MCS 計(jì)算得到邊坡系統(tǒng)失效概率為4.11×10-3，如表1 所示?？梢姸鄬舆吰孪到y(tǒng)失效概率明顯大于臨界確定性滑動(dòng)面的失效概率，僅采用單一臨界確定性滑動(dòng)面計(jì)算邊坡失效概率會(huì)低估邊坡的失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)。

表1 邊坡可靠度結(jié)果的比較Table 1 Comparison of reliability results of the slope

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文基于代表性滑動(dòng)面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析的有效性。采用4 階Hermite多項(xiàng)式展開構(gòu)建所有（10 164 條）潛在滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面，在此基礎(chǔ)上通過MCS 計(jì)算得到邊坡系統(tǒng)失效概率為4.11×10-3。與基于代表性滑動(dòng)面的計(jì)算結(jié)果完全吻合，說明了本文方法可有效地識(shí)別邊坡的代表性滑動(dòng)面，而且其計(jì)算效率明顯高于基于所有潛在滑動(dòng)面的計(jì)算方法。此外，根據(jù)基于所有潛在滑動(dòng)面的邊坡系統(tǒng)可靠度分析結(jié)果，可以確定最大失效概率對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面（即臨界概率滑動(dòng)面），如圖3 所示?？梢娫撆R界概率滑動(dòng)面也包含在本例所確定的3 條代表性滑動(dòng)面中。與臨界確定性滑動(dòng)面類似，臨界概率滑動(dòng)面失效概率（2.65×10-3，見表1）也小于邊坡系統(tǒng)失效概率（4.11×10-3）。

此外，表1 給出了已有文獻(xiàn)不同方法計(jì)算得到的邊坡系統(tǒng)失效概率及其采用的代表性滑動(dòng)面數(shù)目。本文的計(jì)算結(jié)果（4.11×10-3）與Low 等[7]采用Ditlevsen 上、下限法（[4.32×10-3,4.41×10-3]）、Ching等[8]采用重要性抽樣方法（4.1×10-3）、Ji 等[10]采用分層響應(yīng)面法結(jié)合一階可靠度方法（[4.02×10-3,4.11×10-3]）、Zhang 等[11]采用克里金響應(yīng)面結(jié)合MCS 方法（4.58×10-3）以及Cho[12]采用多點(diǎn)一階可靠度方法（4.36×10-3）得到的結(jié)果基本一致，這進(jìn)一步說明本文所提方法的有效性。

為了探討不同響應(yīng)面方法對(duì)邊坡系統(tǒng)可靠度的影響，本文也采用了不含交叉項(xiàng)的普通2 階多項(xiàng)式展開[9]、2和3 階HPCE 構(gòu)建代表性滑動(dòng)面的響應(yīng)面，并計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率。如表1 所示，基于不含交叉項(xiàng)普通2 階多項(xiàng)式的計(jì)算結(jié)果（4.11×10-3）與4 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果完全一致；3 階HPCE方法的計(jì)算結(jié)果（5.73×10-3）與4 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果略有差別；2 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果（3.90×10-4）與4 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果有顯著差別。此外，Zhang 等[11]采用2 階經(jīng)典響應(yīng)面法得到邊坡系統(tǒng)失效概率為1.7×10-3與本文4 階HPCE方法的計(jì)算結(jié)果（4.11×10-3）也有明顯差別。可見采用不含交叉項(xiàng)2 階多項(xiàng)式和4 階HPCE 方法可以得到相對(duì)較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，然而2 階經(jīng)典響應(yīng)面法、2 階和3 階HPCE 方法的計(jì)算精度不夠。其原因在于對(duì)于不排水飽和黏土邊坡，基于簡(jiǎn)化畢肖普法得到的安全系數(shù)FS 與不排水抗剪強(qiáng)度參數(shù)之間是線性函數(shù)關(guān)系[2]，Zhang 等[9]采用不含交叉項(xiàng)2階多項(xiàng)式展開可以準(zhǔn)確擬合FS 與不排水抗剪強(qiáng)度參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系。然而，由于不排水抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，根據(jù)式（6）可知，不排水抗剪強(qiáng)度與獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量間呈非線性指數(shù)關(guān)系（如cu1=exp(4.744+0.294ξ1)），故低階（如2 階）Hermite 多項(xiàng)式展開難以準(zhǔn)確地?cái)M合潛在滑動(dòng)面安全系數(shù)與獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量間的高階非線性函數(shù)關(guān)系。如式（7）所示，除2 階多項(xiàng)式展開之外，3 階和4 階多項(xiàng)式展開對(duì)準(zhǔn)確地建立安全系數(shù)FS 與cu1和cu2間的函數(shù)關(guān)系起到一定的作用。本文提出方法可采用高階多項(xiàng)式展開準(zhǔn)確地近似邊坡安全系數(shù)與土體參數(shù)間的顯式函數(shù)關(guān)系，具有較好的計(jì)算精度。同時(shí)基于代表性滑動(dòng)面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析極大地提高了計(jì)算效率。確定代表性滑動(dòng)面時(shí)無需單獨(dú)計(jì)算滑動(dòng)面間的相關(guān)性，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。

6.2 芝加哥國(guó)會(huì)街切坡

下面以芝加哥國(guó)會(huì)街切坡系統(tǒng)可靠度問題為例，進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出方法的有效性。Oka 等[1]、Chowdhury 等[2]、Ching 等[8]和Zhang 等[11]也對(duì)該邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了可靠度分析。芝加哥國(guó)會(huì)街切坡計(jì)算模型如圖4 所示，包含4個(gè)土層（頂部砂土層及其下部3個(gè)黏土層），坡高為13.8 m，上、下兩層坡角分別為36.3°和36°。根據(jù)文獻(xiàn)[2]，將3個(gè)黏土層土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ 視為隨機(jī)變量，均服從獨(dú)立正態(tài)分布，它們的統(tǒng)計(jì)特征如表2 所示；頂層砂土黏聚力c為0 kPa和內(nèi)摩擦角φ為30°，均視為確定量。此外，各層土體重度γ 也視為確定量，取為18.5 kN/m3。同樣基于SLOPE/W 剪入、剪出方法生成10 164條可覆蓋整個(gè)邊坡可能失穩(wěn)區(qū)域的潛在滑動(dòng)面，其位置如圖4 所示。各層土體參數(shù)取均值采用簡(jiǎn)化畢肖普法得到邊坡安全系數(shù)FS為1.484和相應(yīng)的臨界確定性滑動(dòng)面如圖4 所示。

圖4 邊坡計(jì)算模型和10 164 條潛在滑動(dòng)面Fig.4 Slope geometry and 10 164 potential slip surfaces

表2 土體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征Table 2 Statistics of soil parameters

本例采用2 階HPCE 方法進(jìn)行250 次邊坡穩(wěn)定性分析，得到35 條不同的臨界確定性滑動(dòng)面作為代表性滑動(dòng)面，如圖5 所示。針對(duì)每條代表性滑動(dòng)面，采用2 階HPCE 構(gòu)建隨機(jī)響應(yīng)面，再通過100×104次MCS 計(jì)算得到邊坡系統(tǒng)失效概率為3.41×10-2，如表3 所示。同樣采用2 階Hermite 多項(xiàng)式展開構(gòu)建了所有（10 164 條）潛在滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面，并通過MCS 計(jì)算得到邊坡系統(tǒng)失效概率也為3.41×10-2，與基于代表性滑動(dòng)面的計(jì)算結(jié)果完全吻合。再次說明了本文提出方法不僅能夠有效地識(shí)別邊坡的代表性滑動(dòng)面，而且其計(jì)算效率明顯高于基于所有潛在滑動(dòng)面的計(jì)算方法。

如表3 所示，本文采用2 階HPCE 方法得到的失效概率（3.41×10-2）高于Chowdhury 等[2]采用Ditlevsen 上、下限法得到的邊坡系統(tǒng)失效概率([1.92×10-2,2.78×10-2])。其主要原因?yàn)镃howdhury等[2]在計(jì)算中只考慮了4 條代表性滑動(dòng)面，卻忽略了經(jīng)過第1個(gè)黏土層的一些重要失效模式，從而低估了邊坡失效概率?；诒疚淖R(shí)別的35 條代表性滑動(dòng)面，可用于準(zhǔn)確地估計(jì)邊坡系統(tǒng)失效概率。

圖5 抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從獨(dú)立正態(tài)分布時(shí)邊坡35 條代表性滑動(dòng)面Fig.5 35 representative slip surfaces of slope with independent normal shear strength parameters

表3 抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從獨(dú)立正態(tài)分布時(shí)邊坡可靠度結(jié)果的比較Table 3 Comparison of reliability results of the slope with independent normal shear strength parameters

為了進(jìn)一步探討不同響應(yīng)面方法對(duì)邊坡系統(tǒng)可靠度的影響，本文采用不含交叉項(xiàng)的普通2 階多項(xiàng)式[9]、3 階和4 階HPCE 多項(xiàng)式構(gòu)建代表性滑動(dòng)面的響應(yīng)面，并計(jì)算其系統(tǒng)失效概率，計(jì)算結(jié)果如表3 所示。采用不含交叉項(xiàng)的普通2 階多項(xiàng)式、3 階和4 階HPCE 方法所得的邊坡系統(tǒng)失效概率分別為3.59×10-2，3.47×10-2和3.68×10-2，與2 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果基本一致。采用不含交叉項(xiàng)的普通2階多項(xiàng)式和2～4 階HPCE 方法得到的邊坡功能函數(shù)的累積分布函數(shù)（cumulative distribution function,CDF）非常接近，只在較小失效概率區(qū)域（如小于10-3）略有不同，如圖6 所示。這說明2 階多項(xiàng)式展開可以準(zhǔn)確地?cái)M合邊坡安全系數(shù)和土體參數(shù)間的非線性隱式函數(shù)關(guān)系。盡管基于簡(jiǎn)化畢肖普法的摩擦/黏性土坡安全系數(shù)是抗剪強(qiáng)度參數(shù)c和φ 的非線性隱式函數(shù)關(guān)系[2]，但由于隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，邊坡安全系數(shù)與獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量間的非線性程度較低，故2 階多項(xiàng)式展開可以滿足精度要求。然而，由于土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)不能取為負(fù)值，因此，巖土工程可靠度分析時(shí)常用對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Gamma 分布、Beta 分布或者截尾指數(shù)等非正態(tài)分布來表征抗剪強(qiáng)度參數(shù)的分布特征[22]。為了探討土體參數(shù)分布類型對(duì)邊坡系統(tǒng)失效概率的影響，進(jìn)一步將3個(gè)黏土層土體黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ 視為相互獨(dú)立的對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量，并且保持均值和變異系數(shù)不變（見表2），再次采用本文提出方法進(jìn)行系統(tǒng)可靠度分析。如采用3 階HPCE方法進(jìn)行300 次邊坡穩(wěn)定性分析，可自動(dòng)搜索得到34 條不同的臨界確定性滑動(dòng)面作為代表性滑動(dòng)面，如圖7 所示。采用3 階Hermite 多項(xiàng)式展開構(gòu)建每條代表性滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面，進(jìn)而通過MCS 得到邊坡系統(tǒng)失效概率為4.79×10-3，明顯低于土體參數(shù)服從獨(dú)立正態(tài)分布時(shí)的邊坡失效概率（3.47×10-2，見表3）。

圖6 抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從獨(dú)立正態(tài)分布時(shí)邊坡功能函數(shù)概率分布函數(shù)曲線Fig.6 Cumulative distribution functions of performance function of slope with independent normal shear strength parameters

圖7 抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從獨(dú)立對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)邊坡34 條代表性滑動(dòng)面Fig.7 34 representative slip surfaces of slope with independent lognormal shear strength parameters

圖8 抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從獨(dú)立對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)邊坡功能函數(shù)概率分布函數(shù)曲線Fig.8 Cumulative distribution functions(CDF)of performance function of slope with independent lognormal shear strength parameters

圖8給出了采用不含交叉項(xiàng)的普通2階多項(xiàng)式[9]、2～4 階HPCE 方法得到的邊坡功能函數(shù)的累積分布函數(shù)。在相對(duì)較大的失效概率區(qū)域（如大于10-2），4 種多項(xiàng)式展開方法的CDF 曲線十分接近。然而在相對(duì)較小的失效概率區(qū)域（如小于10-3），不同多項(xiàng)式展開方法得到的CDF 有明顯差異。隨著多項(xiàng)式展開階數(shù)增加，2 階和3 階HPCE 方法得到的CDF 曲線逐漸接近于4 階HPCE 方法的CDF 曲線。根據(jù)Hermite 隨機(jī)多項(xiàng)式的自身收斂性判別方法[15－19]，可將基于1 000 次拉丁超立方抽樣的4 階HPCE 方法的CDF 曲線可視為精確解?？梢妼?duì)于該含非正態(tài)抗剪強(qiáng)度參數(shù)的摩擦/黏性邊坡系統(tǒng)可靠度問題，2階多項(xiàng)式展開的計(jì)算精度顯然不夠。

此外，土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)c和φ 之間通常存在著負(fù)相關(guān)關(guān)系[23]。為了探討抗剪強(qiáng)度參數(shù)間相關(guān)性對(duì)邊坡可靠度的影響，計(jì)算過程中仍采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布表征土體參數(shù)分布特征，并且均值和變異系數(shù)保持不變（見表2），另外考慮各黏土層的黏聚力和內(nèi)摩擦角間的相關(guān)系數(shù)為-0.7。如采用3 階HPCE方法進(jìn)行300 次邊坡穩(wěn)定性分析，可自動(dòng)搜索得到38 條不同的臨界確定性滑動(dòng)面作為代表性滑動(dòng)面。采用3 階Hermite 多項(xiàng)式展開構(gòu)建每條代表性滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面，進(jìn)而通過MCS 得到邊坡系統(tǒng)失效概率為8.16×10-4。這明顯低于土體參數(shù)服從獨(dú)立對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)的失效概率（4.79×10-3），可見抗剪強(qiáng)度參數(shù)間的相關(guān)性對(duì)邊坡系統(tǒng)可靠度有重要影響，忽略c和φ 間的負(fù)相關(guān)性會(huì)高估邊坡系統(tǒng)失效概率。

在考慮c和φ 負(fù)相關(guān)性的情況下，圖9 也給出了不同方法得到的邊坡功能函數(shù)CDF 曲線。在失效概率較小區(qū)域（如小于10-3）基于不含交叉項(xiàng)普通2階多項(xiàng)式和2 階HPCE 方法得到的功能函數(shù)的CDF與3 階和4 階HPCE 方法的CDF 有顯著差別。相應(yīng)的邊坡系統(tǒng)失效概率如表4 所示?？梢姶藭r(shí)2 階多項(xiàng)式展開方法的計(jì)算精度非常差，基于不含交叉項(xiàng)普通2 階多項(xiàng)式和2 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果（9.1×10-5和1.2×10-5）與4 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果（8.1×10-4）相差一個(gè)數(shù)量級(jí)。3 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果（8.16×10-4）與4 階HPCE 方法的計(jì)算結(jié)果非常吻合。這主要是由于當(dāng)隨機(jī)變量服從相關(guān)對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，邊坡安全系數(shù)與獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量之間的非線性程度較高，2 階多項(xiàng)式展開難以準(zhǔn)確地近似這種高階非線性函數(shù)關(guān)系。因此，當(dāng)c和φ服從相關(guān)非正態(tài)分布時(shí)，2 階多項(xiàng)式展開方法計(jì)算精度可能不夠，應(yīng)當(dāng)采用相對(duì)高階（如3 階和4 階）多項(xiàng)式展開構(gòu)建代表性滑動(dòng)面的響應(yīng)面，從而更為準(zhǔn)確地估計(jì)邊坡系統(tǒng)失效概率。此外，本文提出方法可以有效地評(píng)價(jià)該低失效概率水平（10-5～10-3）的邊坡系統(tǒng)可靠度。

圖9 抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從相關(guān)對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)邊坡功能函數(shù)概率分布函數(shù)曲線Fig.9 Cumulative distribution functions of performance function of slope with correlated lognormal shear strength parameters

表4 抗剪強(qiáng)度參數(shù)服從相關(guān)對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)邊坡可靠度結(jié)果Table 4 Comparison of reliability results of the slope with correlated lognormal shear strength parameters

7 結(jié) 論

（1）提出基于隨機(jī)響應(yīng)面法的邊坡系統(tǒng)可靠度分析方法，能夠有效地識(shí)別邊坡代表性滑動(dòng)面，并采用Hermite 多項(xiàng)式展開構(gòu)建每條代表性滑動(dòng)面的隨機(jī)響應(yīng)面，然后通過MCS 計(jì)算邊坡系統(tǒng)失效概率，具有較高的計(jì)算效率。此外，本文提出的代表性滑動(dòng)面確定方法，無需單獨(dú)計(jì)算潛在滑動(dòng)面間的相關(guān)性，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。該方法為實(shí)際工程邊坡系統(tǒng)可靠度問題提供了一條有效的分析途徑。

（2）基于單一臨界確定性滑動(dòng)面或者部分代表性滑動(dòng)面進(jìn)行邊坡系統(tǒng)可靠度分析均會(huì)低估邊坡系統(tǒng)失效概率，進(jìn)而導(dǎo)致低估滑坡風(fēng)險(xiǎn)。本文提出方法能夠有效地、合理地識(shí)別代表性滑動(dòng)面，準(zhǔn)確地計(jì)算低失效概率水平邊坡系統(tǒng)可靠度，為制定合理的邊坡加固措施提供了參考依據(jù)。

（3）本文提出方法能夠有效地分析含相關(guān)非正態(tài)土體參數(shù)的邊坡系統(tǒng)可靠度問題。土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)分布類型及其相關(guān)性對(duì)邊坡系統(tǒng)失效概率具有顯著的影響。土體參數(shù)服從相關(guān)對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)的邊坡系統(tǒng)失效概率遠(yuǎn)小于服從獨(dú)立正態(tài)分布時(shí)的邊坡系統(tǒng)失效概率。對(duì)于含相關(guān)非正態(tài)土體參數(shù)的邊坡系統(tǒng)可靠度問題，2 階多項(xiàng)式展開精度可能不夠，建議采用相對(duì)高階（如3 階或4 階）多項(xiàng)式展開，建立代表性滑動(dòng)面的響應(yīng)面，以提高計(jì)算精度。此外，本文假定邊坡所有潛在滑動(dòng)面為圓弧型，如何有效地分析任意形狀滑動(dòng)面的邊坡系統(tǒng)可靠度問題需要進(jìn)一步研究。

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