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    鹽巖流變損傷特性及本構(gòu)模型研究

    2015-02-15 04:58:36丁靖洋周宏偉劉建鋒
    巖土力學(xué) 2015年3期
    關(guān)鍵詞:鹽巖本構(gòu)巖石

    丁靖洋,周宏偉,陳 瓊,劉 迪,劉建鋒

    (1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)煤炭資源與安全開采國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室,北京 100083;2.四川大學(xué) 水利水電學(xué)院,四川 成都 610065)

    1 引言

    隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速增長(zhǎng),能源問題日益受到各方重視,而戰(zhàn)略能源儲(chǔ)備則是保障能源安全的重要手段[1]。鹽巖因其本身所具有的結(jié)構(gòu)致密、低孔隙率、低滲透性等特點(diǎn)而成為地下儲(chǔ)存硐室的理想圍巖[2],而針對(duì)硐室圍巖長(zhǎng)期流變特性及腔體長(zhǎng)期穩(wěn)定性的研究一直是重點(diǎn)及難點(diǎn)[3-4]。鹽巖具有非常良好的流變特性,其典型的流變曲線可分為3個(gè)特征階段:流變速率不斷降低的衰減流變階段;流變速率基本恒定的穩(wěn)態(tài)流變階段;流變速率不斷增加的加速流變階段,因此,建立能夠描述鹽巖流變?nèi)^程的數(shù)學(xué)本構(gòu)模型尤其引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[5]??傮w而言,鹽巖流變本構(gòu)模型可以分為以下幾類:經(jīng)驗(yàn)?zāi)P蚚6-7]、元件模型[8-9]、損傷流變模型[10-12]及分?jǐn)?shù)階流變模型[13-14]等。元件模型因概念直觀、意義明確而被大量應(yīng)用,但大部分模型并不能描述巖石的加速流變階段[15]。若從細(xì)觀機(jī)制角度入手,分析巖石產(chǎn)生流變3個(gè)特征階段的內(nèi)在原因,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建流變本構(gòu)模型,將更有助于模型對(duì)于宏觀流變現(xiàn)象的描述。事實(shí)上,很多學(xué)者已經(jīng)致力于構(gòu)建宏觀現(xiàn)象學(xué)與細(xì)觀力學(xué)之間的橋 梁[16-17],因此,針對(duì)鹽巖流變過程中細(xì)觀機(jī)制的研究,如微細(xì)觀尺度上裂隙的發(fā)展及損傷的演化,是很有必要的。

    分?jǐn)?shù)階微積分算法作為一種最近30年才在工程領(lǐng)域得到較廣泛應(yīng)用的理論[14],其在描述非線性曲線特性方面具有強(qiáng)大的功能,如Xu 等[18]、Beda等[19]在分?jǐn)?shù)階模型的基礎(chǔ)上對(duì)黏彈性材料進(jìn)行了研究;Chen 等[20]、Fu 等[21]借助于分?jǐn)?shù)階微積分理論研究了離子的反常擴(kuò)散現(xiàn)象。大量的鹽巖流變曲線,尤其是加速流變階段的曲線均表現(xiàn)出明顯的非線性特性,因此,分?jǐn)?shù)階微積分理論無疑將成為構(gòu)建流變本構(gòu)模型的有力工具。Adolfsson 等[22]基于內(nèi)變量理論構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)模型;尹德順等[23]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論構(gòu)建了一種軟體元件,來描述介于理想固體與理想流體之間的“軟物質(zhì)”流變特性;周宏偉等[14,24]建立了一種新Abel 黏壺元件,通過將分?jǐn)?shù)階Abel 黏壺替代西原模型中Newton 黏壺的方法,構(gòu)建了鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型,并對(duì)該模型進(jìn)行了無量綱化處理。本文在考慮流變過程中損傷演化機(jī)制的基礎(chǔ)上,借助于鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn),分析了流變3個(gè)特征階段與聲發(fā)射事件數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;基于聲發(fā)射事件數(shù)構(gòu)建了損傷變量隨加載時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,并對(duì)關(guān)系式中的參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析;引入分?jǐn)?shù)階微積分理論,構(gòu)建了鹽巖流變損傷本構(gòu)模型。研究結(jié)果表明,該本構(gòu)模型能夠很好地描述鹽巖流變的3個(gè)特征階段,尤其是加速流變階段,且模型中參數(shù)意義較為明確,克服了純粹經(jīng)驗(yàn)?zāi)P图霸P偷闹T多缺陷,將更有利于該本構(gòu)模型對(duì)于鹽巖流變特性的研究和描述。

    2 鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)及損傷模型的建立

    2.1 鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)分析

    一般認(rèn)為,當(dāng)應(yīng)力水平低于巖石屈服應(yīng)力時(shí),在流變?cè)囼?yàn)中巖石將經(jīng)歷衰減、穩(wěn)態(tài)流變階段;當(dāng)應(yīng)力水平高于屈服應(yīng)力時(shí),巖石將經(jīng)歷衰減、穩(wěn)態(tài)、加速3個(gè)流變階段[25]。圖1為文獻(xiàn)[26]鹽巖單軸流變-聲發(fā)射試驗(yàn)結(jié)果,由圖可以看出,整個(gè)試驗(yàn)過程可以分為3個(gè)階段:第1 階段對(duì)應(yīng)流變曲線中的衰減流變階段,在此階段聲發(fā)射事件數(shù)在逐漸減少,可以解釋為在軸向應(yīng)力加載的初期,鹽巖發(fā)生了瞬時(shí)彈性應(yīng)變以及隨后的內(nèi)部微裂隙的閉合。由于鹽巖屬于結(jié)晶沉積型巖石,內(nèi)部晶粒排列致密[27],因此,若將聲發(fā)射事件數(shù)定義為鹽巖內(nèi)部微元體的破壞個(gè)數(shù),則可以解釋為隨著鹽巖內(nèi)部結(jié)構(gòu)致密性的增加,由于微元體破壞造成的損傷值在不斷降低,此階段可以理解為鹽巖初始損傷的自愈合過程;第2階段對(duì)應(yīng)流變曲線中的穩(wěn)態(tài)流變階段,在此階段聲發(fā)射事件數(shù)處于一個(gè)較低水平且趨于平穩(wěn),可以解釋為在軸向應(yīng)力作用下,鹽巖內(nèi)部晶體由于發(fā)生黏彈性流動(dòng)(如晶體位錯(cuò)、滑移)而進(jìn)行了重新排布,在此階段鹽巖流變并無明顯的損傷產(chǎn)生;第3 階段對(duì)應(yīng)流變曲線中的加速流變階段,在此階段聲發(fā)射事件數(shù)呈現(xiàn)出明顯的增大趨勢(shì),可以解釋為隨著加載時(shí)間的增長(zhǎng),鹽巖內(nèi)部產(chǎn)生了黏塑性流動(dòng),伴隨著較多的微元體破壞及微裂隙的發(fā)育,在此階段鹽巖產(chǎn)生明顯的損傷,因此,可以理解為損傷的發(fā)展是鹽巖流變曲線出現(xiàn)加速流變階段的內(nèi)在原因。

    圖1 鹽巖單軸流變?cè)囼?yàn)中的聲發(fā)射曲線[26]Fig.1 Curves of acoustic emission events for salt rock in uniaxial rheological test[26]

    2.2 基于Weibull 分布的損傷表達(dá)式

    巖石的聲發(fā)射現(xiàn)象是其內(nèi)部損傷演化的結(jié)果,因此,可利用損傷理論來建立基于聲發(fā)射規(guī)律的模型[28]。對(duì)于單軸應(yīng)力下的各向同性損傷,定義d為損傷變量,Kachanov 將其定義為即時(shí)承載面上微缺陷的總面積 Ad與無損時(shí)斷面面積A 的比值。

    假設(shè)斷面微缺陷面積達(dá)到 Ad時(shí)的累積聲發(fā)射事件數(shù)為N;斷面面積A 完全破壞時(shí),即巖石發(fā)生破壞時(shí)的累積聲發(fā)射事件數(shù)為Nm,則

    由式(1)、(2)可得

    假設(shè)聲發(fā)射事件數(shù)對(duì)應(yīng)于鹽巖內(nèi)部微元體的破壞數(shù),則基于細(xì)觀損傷力學(xué),假設(shè)損傷演化為一個(gè)隨時(shí)間持續(xù)變化的過程,將巖石劃分為若干個(gè)微元體,并假設(shè)微元體破壞的概率密度函數(shù)符合Weibull統(tǒng)計(jì)規(guī)律[29],則可得

    式中:m、n為表征損傷的參數(shù),其取值大小受試驗(yàn)條件(如應(yīng)力水平、溫度等)及試件本身等因素影響。

    在任意時(shí)刻t 內(nèi)破壞的微元體個(gè)數(shù)為

    式(5)為聲發(fā)射事件數(shù)隨加載時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式。式中:Nm既為鹽巖最終破壞時(shí)的累積聲發(fā)射數(shù)(即破壞的總微元體數(shù)),也可視為與鹽巖力學(xué)性質(zhì)相關(guān)的參數(shù)。

    加載至斷面微缺陷面積達(dá)到 Ad時(shí)的微元體破壞總數(shù)為

    由式(3)可得損傷表達(dá)式為

    式(7)為基于Weibull 分布的損傷表達(dá)式。

    圖2 聲發(fā)射數(shù)據(jù)擬合Fig.2 Fitting and testing curves based on acoustic emission events

    圖2為基于式(5)擬合獲得的鹽巖聲發(fā)射事件數(shù)-時(shí)間曲線,式中擬合參數(shù)分別為:m=16,n=60,Nm=20×106。通過與實(shí)際試驗(yàn)曲線對(duì)比可知,式(5)可以較真實(shí)地反映聲發(fā)射事件數(shù)隨時(shí)間的演化規(guī)律,從而證明了采用Weibull 分布作為概率密度函數(shù)的可取性。

    圖3 損傷變量曲線Fig.3 Curve of damage variable vs.time

    將m=16,n=60 代入式(7),可得損傷變量隨加載時(shí)間的演化曲線,如圖3 所示,從圖可以看出,損傷演化趨勢(shì)與聲發(fā)射曲線規(guī)律具有一致性,在加載初期損傷值較小,而當(dāng)超過某個(gè)閾值之后,損傷迅速發(fā)展,伴隨著聲發(fā)射事件數(shù)的激增,直至鹽巖試件最終發(fā)生流變破壞。

    采用在德國(guó)進(jìn)行的鹽巖流變-超聲波試驗(yàn)來驗(yàn)證式(7)的適用性。

    超聲波探傷試驗(yàn)被認(rèn)為是研究巖石內(nèi)部結(jié)構(gòu)損傷演化的有效手段[30],基于鹽巖流變?cè)囼?yàn)中的縱波波速(見圖4),定義其損傷變量為[11]

    式中:εv為體積應(yīng)變;vp為縱波波速;v0為初始波速。

    基于式(8)計(jì)算獲得鹽巖流變損傷變量值,并基于式(7)對(duì)圖5 中的試驗(yàn)數(shù)值進(jìn)行擬合,參數(shù)擬合結(jié)果為m=0.5,n=80 000。圖5 擬合參數(shù)較圖2 有一定差異,除了試樣本身及應(yīng)力水平、溫度等的差異性,還與流變-超聲波試驗(yàn)中,鹽巖試件并未發(fā)生最終的流變破壞有關(guān)。但從擬合效果來看,式(7)對(duì)于流變-超聲波試驗(yàn)同樣具有適用性。m、n 與各影響因素之間具體的函數(shù)關(guān)系將是今后研究的重點(diǎn)。

    圖4 鹽巖超聲波試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.4 Data of ultrasonic test on salt rock

    圖5 損傷變量擬合分析Fig.5 Data fitting of damage variable

    2.3 參數(shù)m、n 敏感性分析

    Weibull 分布中,m為表征概率密度函數(shù)曲線的形狀參數(shù),n為尺度參數(shù),由本文上述分析可知,對(duì)于式(5)、(7),m、n為表征聲發(fā)射事件數(shù)曲線形狀的兩個(gè)參數(shù),也為表征損傷變量曲線形狀的兩個(gè)參數(shù)。對(duì)m、n 參數(shù)的敏感性分析曲線如圖6、7 所示。

    圖6 不同m 值下的聲發(fā)射曲線Fig.6 Curves of acoustic emission events with different values of m

    圖7 不同n 值下的聲發(fā)射曲線Fig.7 Curves of acoustic emission events with different values of n

    由圖可知,n 取定值,改變m 值大?。ㄒ妶D6),或者m 取定值,改變n 值大?。ㄒ妶D7),聲發(fā)射事件數(shù)曲線差異性均較大。對(duì)于圖6,m 值越大,其峰值點(diǎn)越晚出現(xiàn),巖石經(jīng)歷的穩(wěn)態(tài)流變階段也就越長(zhǎng),越晚發(fā)生蠕變破壞;對(duì)于圖7,n 值越大,其峰值點(diǎn)越低,聲發(fā)射事件數(shù)達(dá)到峰值所需時(shí)間也越長(zhǎng),相同時(shí)間內(nèi)損傷值也越小。這些特性反映了式(7)在描述損傷變量上的靈活性。

    3 基于損傷的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型

    Abel 黏壺本構(gòu)模型表達(dá)式為

    式(9)可寫成如下形式:

    西原模型是最能全面反映巖石彈-黏-塑性特性的力學(xué)模型,但并不能很好地描述巖石流變的全程曲線,尤其是加速流變階段的曲線,如上文分析,巖石產(chǎn)生加速流變的內(nèi)在原因是微裂隙的發(fā)展及損傷的積累,因此,若將損傷理論引入到本構(gòu)模型的構(gòu)建當(dāng)中,并采用Abel 黏壺替代西原模型中的Newton 黏壺,則將更有利于該模型對(duì)于流變各階段特性的描述。

    基于損傷演化的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型如圖8 所示,該模型由虎克體、黏彈性體、黏塑性體3部分串聯(lián)而成,對(duì)應(yīng)的3 部分應(yīng)變分別為εe、εve及 εvp,則由組合元件原理,總應(yīng)變?chǔ)艦?/p>

    圖8 鹽巖分?jǐn)?shù)階流變模型[14]Fig.8 Fractional rheological model of salt rock[14]

    (1)εe表征的是加載一瞬間產(chǎn)生的瞬時(shí)彈性變形,本構(gòu)關(guān)系為

    式中:E0為虎克體的彈性系數(shù)。

    (2)εve表征的是黏彈性變形,可以解釋為鹽巖內(nèi)部較軟弱部分由于黏彈性流動(dòng)而產(chǎn)生的變形,此時(shí)鹽巖內(nèi)部并無明顯的損傷產(chǎn)生[31],采用Abel 黏壺元件替代黏彈性體中的Newton 黏壺元件,則可得

    式中:E1為黏彈性體的彈性系數(shù);為黏性系數(shù)。

    求解式(13),可得[14]

    (3)εvp表征的是黏塑性流動(dòng),可以解釋為鹽巖內(nèi)部較堅(jiān)硬部分由于微破裂及黏塑性流動(dòng)而產(chǎn)生的變形,此時(shí)鹽巖內(nèi)部損傷開始積累并不斷發(fā)展,直至達(dá)到某個(gè)閾值,鹽巖發(fā)生流變破壞。受損傷演化影響,黏塑性體中Abel 黏壺的黏性系數(shù)將不再是一個(gè)常數(shù),而將隨流變時(shí)間的增加而不斷衰減[32],定義損傷與黏性系數(shù)的劣化關(guān)系滿足下式:

    將式(7)、(15)代入式(9),可得基于損傷的Abel 黏壺本構(gòu)關(guān)系為

    黏塑性體中,塑性元件應(yīng)力 σp的表達(dá)式為

    式中:σs為屈服應(yīng)力。

    由組合元件原理,可得

    式中:σ為黏塑性體的總應(yīng)力;σd為黏塑性體中Abel 黏壺的應(yīng)力。

    當(dāng)σ< σs時(shí),由式(17)、(18),可得 σd=0,即εvp=0。

    當(dāng)σ≥ σs時(shí),由式(16),可得

    由初值條件 εve(0)=0,Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化,即,根據(jù)分?jǐn)?shù)階微分方程的求解方法[33]求解式(19)得

    由式(12)、(14)、(20),考慮3 部分應(yīng)變,可得基于損傷演化的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型為

    4 鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型參數(shù)擬合

    鹽巖單軸流變?cè)囼?yàn)采用四川大學(xué)程控流變?cè)囼?yàn)儀,儀器參數(shù)為:?jiǎn)屋S荷載為0~600 kN,圍壓為0~30 MPa,室驗(yàn)室恒溫為22℃。鹽巖樣品選自湖北江漢油田王儲(chǔ)1#,距地面約2 000 m。試件加工成高度為150 mm、直徑為75 mm 的標(biāo)準(zhǔn)鹽樣共3件,編號(hào)為RS01a、RS02a、RS05a,如圖9 所示。通過對(duì)比分析流變?cè)囼?yàn)結(jié)果,選取3 階段特征明顯,具有代表意義的RS02a 試件流變曲線進(jìn)行本構(gòu)模型的參數(shù)擬合。RS02a 試件軸向荷載采用分級(jí)加載的方式,由σ=4 MPa 開始分10 級(jí)加載,每級(jí)增加2 MPa,加載至22 MPa,每級(jí)加載時(shí)間約為14 d。

    圖9 流變?cè)囼?yàn)儀及鹽巖試件Fig.9 Rheological apparatus and salt rock specimens

    同時(shí),對(duì)RS02a 試件加載前、后的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行了CT 掃描(如圖10 所示),由對(duì)比可知,鹽巖在流變過程中產(chǎn)生了明顯的損傷:隨著加載時(shí)間的進(jìn)行,鹽巖內(nèi)部破裂單元個(gè)數(shù)逐漸增多,損傷不斷積累,直至最終發(fā)生流變破壞。

    采用最小二乘法擬合鹽巖流變的全過程試驗(yàn)曲線,以此來確定本文提出的分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型中的參數(shù)。做為對(duì)比,采用西元模型擬合獲得的曲線也在圖中同時(shí)給出。擬合曲線如圖10 所示,參數(shù)擬合結(jié)果如表1 所示。

    由圖10 全過程流變?cè)囼?yàn)曲線可知,RS02a 試件先后經(jīng)歷了衰減、穩(wěn)態(tài)、加速3個(gè)階段,且較西元模型,分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型能更好地描述鹽巖流變的3個(gè)特征階段,尤其是加速流變階段。

    圖10 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型擬合效果對(duì)比Fig.10 Comparison between experimental data and fitting curves with constitutive model

    表1 模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 1 Parameters fitting of the model

    式(22)為西原模型的流變本構(gòu)模型,由此可知,西原模型實(shí)際上為本文構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階流變模型的一種特殊情況。

    5 結(jié)論

    (1)分析了鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)各階段的特性,在此基礎(chǔ)上將聲發(fā)射事件數(shù)定義為巖石內(nèi)部微元體的破壞個(gè)數(shù)。通過假定微元體破壞的概率密度函數(shù)滿足Weibull 統(tǒng)計(jì)規(guī)律,獲得了聲發(fā)射事件數(shù)、損傷變量隨加載時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式。

    (2)通過擬合鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)數(shù)據(jù)、鹽巖流變-超聲波試驗(yàn)數(shù)據(jù),驗(yàn)證了聲發(fā)射事件數(shù)、損傷變量函數(shù)表達(dá)式的合理性及適用性,并對(duì)表達(dá)式中的形狀參數(shù)m、尺度參數(shù)n 進(jìn)行了敏感性分析,揭示了m、n 與聲發(fā)射事件數(shù)及損傷值的關(guān)系。

    (3)基于分?jǐn)?shù)階微積分理論及損傷理論,通過定義損傷與流變系數(shù)之間的劣化關(guān)系式,獲得基于損傷的Abel 黏壺函數(shù)表達(dá)式,并在西原模型的基礎(chǔ)上,求解獲得基于損傷的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型。通過與西原模型的對(duì)比發(fā)現(xiàn),本文提出的本構(gòu)模型能更好地反映鹽巖流變的3個(gè)階段特性,尤其是加速流變階段特性,且驗(yàn)證了西原模型為該本構(gòu)模型的一個(gè)特殊形式。

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