基于補(bǔ)償最小二乘的平面點(diǎn)云擬合方法

孟慶年 鄭德華 許燁璋

1 河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京市西康路1號，210098

三維激光掃描技術(shù)具有非接觸、掃描速度快、獲取信息量大、精度高等傳統(tǒng)測量方式無法比擬的優(yōu)點(diǎn)［1］。通過對點(diǎn)云數(shù)據(jù)的后續(xù)處理，可以迅速量化復(fù)雜場景，實(shí)現(xiàn)空間信息獲取［2］。在對三維激光掃描數(shù)據(jù)的處理中，經(jīng)常會(huì)遇到各種類型的平面，如路面、墻面等。對于平面擬合參數(shù)的求取通常有最小二乘方法、特征值法等，但是這些方法都未考慮模型誤差的影響，這將對參數(shù)估計(jì)帶來不利影響。補(bǔ)償最小二乘是近年來發(fā)展起來的一種重要的數(shù)據(jù)處理方法，它引入了非參數(shù)，克服了傳統(tǒng)偏差函數(shù)模型的局限性，使得數(shù)學(xué)模型與客觀實(shí)際更為接近，在數(shù)值上能夠分別求出參數(shù)、非參數(shù)（模型誤差）和偶然誤差［3］。本文引入補(bǔ)償最小二乘方法求取平面擬合參數(shù)，并與最小二乘方法、特征值方法進(jìn)行比較分析。

1 最小二乘方法求解平面擬合參數(shù)

對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理并剔除異常數(shù)據(jù)后得到一組平面點(diǎn)云數(shù)據(jù)（xi，yi，zi），i＝1，2，…，n，通過擬合算法求取平面的擬合參數(shù)，得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)在空間中的擬合平面。

設(shè)空間平面的方程為：

其中，a、b、c為所要求取的擬合平面參數(shù)。由式（1）得誤差方程：

這里認(rèn)為每個(gè)點(diǎn)是等精度觀測，所以P＝In。由最小二乘方法得參數(shù)估值：

擬合中誤差為：

2 特征值法求解平面擬合參數(shù)［4］

空間平面的方程為z＝ax＋by＋c，對其進(jìn)行變換得：

其中，a1、b1、c1為平面的單位法向量，并且表示坐標(biāo)原點(diǎn)到平面的距離。若要得到最優(yōu)的擬合平面，則需滿足

經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算后，得到求解平面參數(shù)的特征方程為：

d1i＝a1xi＋b1yi＋c1zi，（i＝1，2，…，n）d1i的平均值即為d1。則a＝－a1／c1，b＝－b1／c1，c＝－d1／c1。擬合中誤差為：

3 補(bǔ)償最小二乘方法求解擬合平面參數(shù)

3.1 補(bǔ)償最小二乘方法構(gòu)造模型的原理

最小二乘方法對應(yīng)的誤差方程為：V＝－L，該式忽略了模型誤差S的影響，若S比較大，就會(huì)對參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生較大影響。所以應(yīng)對該誤差方程進(jìn)行改進(jìn)：

考慮到模型誤差或觀測值的系統(tǒng)誤差的性態(tài)非常復(fù)雜，無法用少數(shù)參數(shù)表示，因此給每個(gè)觀測方程增加一個(gè)待定量，也就是所謂的非參數(shù)分量。所以，式（8）又稱為半?yún)?shù)模型。

補(bǔ)償最小二乘的平差準(zhǔn)則為：

其中，α為平滑參數(shù)，在運(yùn)算過程中對V和S起平衡作用；R為正交化矩陣，又稱為正規(guī)化矩陣，是用來估計(jì)S的一個(gè)矩陣。得到的補(bǔ)償最小二乘模型的解為：

其中，N＝ATPA，M＝P＋αR－PAN－1ATP。

擬合中誤差為：

其中，H（α）＝S＋（I－S）B［BTP（I－S）B］－1BTP（I－S）。

3.2 正規(guī)化矩陣R 和平滑參數(shù)α 的計(jì)算［5］

補(bǔ)償最小二乘方法的關(guān)鍵是正規(guī)化矩陣R和平滑參數(shù)α的求取。本文使用基于距離函數(shù)求解的方法來求取正規(guī)化矩陣R，使用Xu函數(shù)法來求平滑參數(shù)α。

3.2.1 正規(guī)化矩陣R的計(jì)算

一般來說，選取正規(guī)矩陣R的依據(jù)應(yīng)該是非參數(shù)分量的函數(shù)性質(zhì)，但由于非參數(shù)部分是未知的，故只能事先指定其值6］。本文的研究對象是點(diǎn)云數(shù)據(jù)，點(diǎn)與點(diǎn)之間不構(gòu)成時(shí)間序列、平面或曲線等關(guān)系，又因?yàn)樽鴺?biāo)系中每個(gè)點(diǎn)是相互獨(dú)立的，為了度量非參數(shù)S，最合適的方法就是使用距離法確定正規(guī)矩陣R，這樣求出來的正規(guī)矩陣一定是正定的。

其中，sij為點(diǎn)云中兩點(diǎn)的距離。

其中，s為點(diǎn)云中兩點(diǎn)之間的距離，d為經(jīng)驗(yàn)值。

3.2.2 平滑參數(shù)α的計(jì)算［7］

本文使用Xu函數(shù)法確定平滑因子α。與模型誤差相比，偶然誤差是一個(gè)非常小的量。在經(jīng)典平差理論中，將模型誤差與偶然誤差都看成誤差，補(bǔ)償最小二乘則將模型誤差看成獨(dú)立變量。如果選擇合適的正規(guī)化矩陣R和平滑參數(shù)α，那么補(bǔ)償最小二乘求出的模型誤差與經(jīng)典平差理論求出的誤差，二者之間的差值應(yīng)該是個(gè)很小的值，據(jù)此得出Xu函數(shù)：

其中，e為經(jīng)典平差求得的誤差，S為模型誤差，V為補(bǔ)償最小二乘求得的誤差，P為觀測量的權(quán)陣。

4 實(shí)驗(yàn)及分析

使用Trimble GX 三維激光掃描儀分別對水平面、傾斜平面以及垂直面進(jìn)行掃描得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，截取其中一部分（圖1）。

圖1 3種平面Fig.1 Three kinds of plane

首先，計(jì)算正規(guī)化矩陣R，這里經(jīng)驗(yàn)值d取為0.001。然后，對3 種平面進(jìn)行計(jì)算求取平滑參數(shù)，所得平面的最佳擬合參數(shù)為0.001。平面擬合結(jié)果見表1。由表1 可以看出，補(bǔ)償最小二乘的擬合精度最高，如圖2。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，補(bǔ)償最小二乘方法的擬合效果明顯優(yōu)于最小二乘方法和特征值方法。通過引入非參數(shù)因素，極大地提高了擬合精度。

表1 平面擬合結(jié)果Tab.1 Fitting results about inclined plane and plane

圖2 3種方法的水平面擬合殘差對比Fig.2 Residuals of plane fitting with 3methods

5 結(jié) 語

補(bǔ)償最小二乘方法兼顧了參數(shù)因素和非參數(shù)因素，使用非參數(shù)因素對系統(tǒng)誤差進(jìn)行彌補(bǔ)，極大地提高了模型的精度。對于求取平面的擬合參數(shù)來說，最小二乘方法和特征值方法都沒有考慮到模型誤差的影響，所以，引入補(bǔ)償最小二乘對擬合方法的改進(jìn)十分必要。

［1］鄭德華.三維激光掃描數(shù)據(jù)處理的理論與方法［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)，2005（Zheng Dehua.Theories and Methods of Data Processing about 3D Laser Scanning［D］.Shanghai：Tongji University，2005）

［2］李孟迪，蔣勝平，王紅平.基于隨機(jī)抽樣一致性算法的穩(wěn)健點(diǎn)云平面擬合方法［J］.測繪科學(xué)，2015（1）：102－104（Li Mengdi，Jiang Shengping， Wang Hongping.A RANSAC－Based Stable Plane Fitting Method of Point Clouds［J］.Science of Surveying and Mapping，2015（1）：102－104）

［3］高寧，高彩云，徐長海.補(bǔ)償最小二乘估計(jì)在確定高程異常中的 應(yīng) 用［J］.測 繪 科 學(xué)，2011，36（1）：35－37（Gao Ning，Gao Caiyun，Xu Changhai.Application of Penalized Least Squares Estimation in Height Anomaly［J］.Science of Surveying and Mapping，2011，36（1）：35－37）

［4］官云蘭，程效軍，施貴剛.一種穩(wěn)健的點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合方法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，36（7）：981－984（Guan Yunlan，Cheng Xiaojun，Shi Guigang.A Robust Method for Fitting a Plane to Point Clouds［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2008，36（7）：981－984）

［5］胡宏昌，孫海燕.正規(guī)矩陣R及平滑因子α的選?。跩］.測繪工程，2003，12（4）：5－8（Hu Hongchang，Sun Haiyan.Choice of the Regular MatrixRand Smoothing Parameterα［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2003，12（4）：5－8）

［6］潘雄.半?yún)?shù)模型的估計(jì)理論及其應(yīng)用［D］.武漢：武漢大學(xué)，2005（Pan Xiong.The Estimation Theory and Application Researeh in Semi－Parametric Model［D］.Wuhan：Wuhan University，2005）

［7］徐長海，吳良才，高寧，等.補(bǔ)償最小二乘在GPS高程擬合中的應(yīng)用及平滑參數(shù)的選?。跩］.礦山測量，2009（1）：44－46（Xu Changhai，Wu Liangcai，Gao Ning，et al.The Application of Penalized Least Squares in GPS Elevation Fitting［J］.Mine Surveying，2009（1）：44－46）