利用Wenzel加權(quán)譜組合法拓展GOCE重力場模型

張敏利 趙德軍 陳永祥，2

1 西安測繪信息技術(shù)總站，西安市西影路36號，710054

2 大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市徐東大街430號，430077

截止到2013年底，歐空局發(fā)布了第4 代GOCE重力場模型，其采用了27 個月的GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)，包括兩個產(chǎn)品，即時域法模型GO＿CONS＿GCF＿2＿TIM＿R4（簡稱Tim4）和直接法模型GO＿CONS＿GCF＿2＿DIR＿R4（簡稱Dir4）。Tim4僅采用純粹的GOCE 衛(wèi)星數(shù)據(jù)，即重力梯度數(shù)據(jù)和GPS 高低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤軌道數(shù)據(jù)，而Dir4除了采用GOCE 衛(wèi)星數(shù)據(jù)外，還采用了25a的LAGEOS 1／2 激 光 測 衛(wèi) 數(shù) 據(jù)、8a的GRACE 低低跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)和K 波段距離變率數(shù)據(jù)。采用純GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)恢復(fù)的Tim4模型的累積大地水準(zhǔn)面誤差和重力異常誤差分別為3.2cm 和0.9 mGal（100km 空間分辨率），采用200階的Tim4和201～2 190階EGM08組合的模型在德國的精度達(dá)到4.5cm（通過875個GPS／水準(zhǔn)點(diǎn)的外部檢核）。

GOCE任務(wù)的基本目標(biāo)是以前所未有的精度恢復(fù)中高階地球重力場，但對于許多大地測量和地球物理應(yīng)用來說，還需要更高階次的模型。最簡單的方法就是采用GOCE＋EGM08的譜組合法，EGM08模型含有豐富的地面重力信息，但其低頻部分僅采用不足5a的GRACE 信息，因此，GOCE模型能有效地彌補(bǔ)EGM08模型中低頻的不足。譜組合法簡單實(shí)用，文獻(xiàn)［1］通過實(shí)測GPS水準(zhǔn)驗(yàn)證簡單組合模型比EGM08模型精度至少提高12%。文獻(xiàn)［2］用GOCO03S 和EGM08 的簡單組合模型計(jì)算的重力大地水準(zhǔn)面與北大西洋沿岸驗(yàn)潮站確定的海平面形態(tài)一致。文獻(xiàn)［3］用GOCO03S和歐洲重力場模型EGG08 的加權(quán)組合計(jì)算的大地水準(zhǔn)面，在德國精度為2.4cm，高于EGM08 精度2.6 cm 以及歐洲重力場模型EGG08精度2.8cm，而第3代時域GOCE 模型Tim3與EGG08 的組合模型精度更高，達(dá)到2.1 cm。但文獻(xiàn)［3］采用高斯低通濾波來確定GOCE模型和超高階重力場模型（EGM08或EGG08）的權(quán)，其濾波帶寬很難確定，需要反復(fù)試算，且沒有顧及模型自身的精度。因而，本文嘗試采用Wenzel的加權(quán)譜組合來構(gòu)建超高階重力場模型，最終達(dá)到了令人滿意的效果。

1 Wenzel加權(quán)組合模型

不同組織發(fā)布的重力場模型對應(yīng)的參考橢球長半軸、地球引力常量與GRS80橢球都不一致，因此，首先需要將重力場位系數(shù)“標(biāo)準(zhǔn)化”到GRS80橢球上來：

σn為重力場模型的誤差階誤差：

δCnm、δSnm為模型系數(shù)的誤差。由誤差傳播定律，組合模型系數(shù)的誤差為：

2 模型精度分析

2.1 模型頻譜估計(jì)

根據(jù) 式（4）計(jì) 算 了Dir4、Tim4、EGM08、EIGEN－6C2四個模型的系數(shù)階誤差（圖1）。從中看出，對于純GOCE 數(shù)據(jù)構(gòu)造的Tim4模型在46～179階精度優(yōu)于EGM08，這是因?yàn)镋GM08模型中低頻采用了GRACE 數(shù)據(jù)，而GRACE 衛(wèi)星主要恢復(fù)中低頻重力場，GOCE 衛(wèi)星主要恢復(fù)中高頻靜態(tài)重力場。Dir4 模型精度在214 階內(nèi)優(yōu)于EGM08，但是在214 階之后精度低于EGM08模型，是因?yàn)镋GM08高頻部分采用衛(wèi)星測高和地面重力測量數(shù)據(jù)來構(gòu)建，故在214階之后體現(xiàn)出EGM08的優(yōu)勢。這也說明，GOCE 模型和EGM08 模型在頻譜上具有互補(bǔ)性。EIGEN－6C2是德國地學(xué)中心發(fā)布的完全階次到1 949的重力場模型，其中低頻部分采用Dir2模型作為參考場，高頻部分采用EGM08，因而其階誤差也是從214階處開始減小。

圖1 不同重力場模型的誤差階誤差Fig.1 Root of error degree variances from different geopotential models

由式（5）計(jì)算Dir4、Tim4 分別和EGM08、EIGEN－6C2的組合模型的系數(shù)誤差，再根據(jù)式（3）計(jì)算組合模型的頻譜權(quán)（圖2）。從中看出，由于Dir4中低頻精度明顯優(yōu)于EGM08，所以Dir4＋EGM08組合模型的權(quán)在150階內(nèi)幾乎為1，也就是說，在150 階內(nèi)幾乎用Dir4 位系數(shù)替換了EGM08相應(yīng)的位系數(shù)。由于Tim4 精度低于EIGEN－6C2，因而其低階部分的權(quán)幾乎為0。

圖2 Wenzel頻譜組合權(quán)Fig.2 Spectral weights derived from Wenzel’s combination schema

還可以用大地水準(zhǔn)面的累積誤差來評估模型：

R為地球平均半徑。根據(jù)式（6）將組合模型的大地水準(zhǔn)面的累積誤差繪制于圖3。從中看出，所有組合模型的精度都要高于EGM08模型，其中Dir4＋EGM08精度最高，在250階處為2.8cm，在低于210 階處，其精度略優(yōu)于Dir4＋EIGEN－6C2組合模型，但210階之后，二者迅速分化，但這兩個組合模型精度都高于EIGEN－6C2。

圖3 不同組合模型的大地水準(zhǔn)面累積誤差Fig.3 Cumulative geoid errors derived from different combined models

2.2 外符合精度檢驗(yàn)

由重力位系數(shù)計(jì)算大地水準(zhǔn)面的方法見文獻(xiàn)［5］。本文借助于美國地理空間情報局NGA 提供的harmonic＿synth＿v02.f軟件，采用美國大地測量局NGS提供的GPS水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)GPSBM2009（包含美國大陸18 399個點(diǎn)的GPS／水準(zhǔn)數(shù)據(jù)）。GPSBM2009數(shù)據(jù)的大地基準(zhǔn)采用北美大地基準(zhǔn)NAD83，其定位定向與ITRF 之間存在一定的系統(tǒng)差，因此，首先采用NGS提供的坐標(biāo)框架和歷元轉(zhuǎn)換軟件Htdp，將大地坐標(biāo)從NAD83框架轉(zhuǎn)換到ITRF2008框架［6］。將實(shí)測的大地水準(zhǔn)面和EGM08模型計(jì)算的大地水準(zhǔn)面之差繪制于圖4，從中看出，NAVD88高程基準(zhǔn)存在明顯的東西方向和南北方向的傾斜，東西方向傾斜達(dá)到1.5m，原因歸咎于水準(zhǔn)網(wǎng)系統(tǒng)誤差的累積［7］。

利用曲面函數(shù)模型對大地水準(zhǔn)面之差進(jìn)行擬合，然后對擬合后的殘差進(jìn)行精度統(tǒng)計(jì)。文獻(xiàn)［8］給出了6種趨勢面函數(shù)模型，本文采用其中較簡單的四參數(shù)模型：

ΔN為大地水準(zhǔn)面之差，v為殘差，a0、a1、a2、a3為曲面函數(shù)模型系數(shù)，Bi、Li為大地坐標(biāo)。根據(jù)式（7）由最小二乘法求得函數(shù)模型系數(shù)和殘差，圖4擬合后的殘差分布見圖5。

圖4 大地水準(zhǔn)面之差Fig.4 Distribution of geoid height differences

圖5 曲面擬合后大地水準(zhǔn)面之殘差Fig.5 Distribution of geoid height residual errors after a curve fitting

表1給出了不同組合模型經(jīng)曲面擬合后的殘差統(tǒng)計(jì)。從中看出，所有組合模型精度都優(yōu)于EGM08模型，但效果卻沒有文獻(xiàn)［1－2］那么顯著，即使精度最高的Dir4＋EGM08 模型，精度也只提升了8%，原因可能是構(gòu)建EGM08模型時使用了美國高精度的地面重力數(shù)據(jù)，而EGM08在美國精度已經(jīng)很高了，提升空間較小。Tim4＋EIGEN－6C2和EIGEN－6C2精度一致，其原因從圖2可知，Tim4＋EIGEN－6C2的組合權(quán)很小，也就是說Tim4 在組合模型中幾乎沒有貢獻(xiàn)。相反，Dir4＋EGM08的組合權(quán)幾乎為1，即Dir4在計(jì)算大地水準(zhǔn)面時貢獻(xiàn)很大，因而其組合模型精度最高。

表1 不同模型大地水準(zhǔn)面差異統(tǒng)計(jì)／cmTab.1 Statistics of the geoid height differences from differentgravity field models／cm

3 結(jié) 語

1）聯(lián)合LAGEOS、GRACE 和GOCE 數(shù)據(jù)解算的直接法模型Dir4 精度明顯優(yōu)于只采用GOCE數(shù)據(jù)的時域法模型Tim4。

2）大地水準(zhǔn)面主要是由重力場中低位系數(shù)貢獻(xiàn)的，因而用GOCE＋EGM08 的組合模型能提高水準(zhǔn)面計(jì)算精度。

3）大地水準(zhǔn)面的累積誤差和美國實(shí)測數(shù)據(jù)表明，200階的Dir4和2 190 階的EGM08 組合模型表現(xiàn)最優(yōu)，其精度最高。

4）從文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［9］對我國西藏地區(qū)的分析來看，在缺乏地面重力信息的地區(qū)，GOCE 模型能有效地彌補(bǔ)重力場中高頻信號，因而拓展的GOCE超高階重力場模型在這些地區(qū)優(yōu)勢更明顯。

［1］張興福.多類重力場模型的精度分析及聯(lián)合確定GPS點(diǎn)正常高的方法［J］.測繪學(xué)報，2013，42（1）：6－12（Zhang Xingfu，et al.The Accuracy Analysis of Multiple Earth Gravity Field Models and Normal Height Determination of GPS Points Based on Combination Method［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2013，42（1）：6－12）

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［5］王正濤，黨亞民，晁定波.超高階地球重力位模型確定的理論與方法［M］.北京：測繪出版社，2011（Wang Zhengtao，Dang Yamin，Chao Dingbo.Theory and Methodology of Ultra－High－Degree Geopotential Model Determination［M］.Beijing：Surveying and Mapping Press，2011）

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［8］Kotsakis C.Evaluation of EGM08in Greece Using GPS and Leveling Heights［R］.IAG International Symposium on Gravity Geoid and Earth Observation，Chania，Greece，2008

［9］高春春.GOCE地球重力場模型在青藏地區(qū)的評價及分析［J］.測繪學(xué)報，2014，43（1）：21－29（Gao Chunchun.Evaluation and Analysis of GOCE Earth Gravity Field Model in Qinghai－Tibet Region［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43（1）：21－29）