機械結合面接觸特性參數(shù)的理論與實驗研究綜述

楊紅平，趙榮珍，李維謙

（l.天水師范學院 機電與汽車工程學院，甘肅 天水 741001；2.蘭州理工大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730050；3.天水星火機床責任有限公司，甘肅 天水 741024)

裝備制造業(yè)是一個國家綜合國力和國防實力的重要體現(xiàn)，裝備制造業(yè)的提升和發(fā)展為我國經(jīng)濟發(fā)展和國防建設提供技術裝備，它對推進經(jīng)濟結構戰(zhàn)略性調整、產業(yè)升級、擴大國內需求、實現(xiàn)經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展的戰(zhàn)略至關重要.[1]而機床行業(yè)又是裝備制造業(yè)的基礎行業(yè)，高檔數(shù)控機床產品的研發(fā)、分析與設計對提升高端裝備制造乃至整個裝備制造產業(yè)鏈的價值和水平，具有重要理論意義和應用價值.

機械結合面性能對機械裝備的動態(tài)特性、抗振性、運動響應敏捷性等性能有重要影響.研究表明，[2-3]機床整機剛度的50%取決于結合面剛度，整機阻尼的50～80%來自結合面阻尼.因此，提供具有準確性的結合面建模方法是進行機械裝備自主創(chuàng)新設計開發(fā)中迫切需要解決的關鍵基礎課題.本論文針對機械結合面特性參數(shù)理論計算和實驗研究現(xiàn)狀進行詳細總結和歸納，并指出了存在的不足.

1 國內外結合面研究現(xiàn)狀

零件、組件、部件之間通過許多相互接觸的相對運動表面或相對固定表面聯(lián)接起來，稱為“機械結合面”.機械結合面之間存在著接觸剛度和接觸阻尼，影響結合面剛度和阻尼的因素較多，[4-9]如：表面加工方法；材質及其熱處理方法；表面粗糙度和表面完整性；結合面的類型、尺寸、形狀；面壓及其分布；面間介質等.目前對結合面基礎特性參數(shù)的研究還處于不完善的階段，一般采用實驗的方法，通過設計專門的實驗裝置和測試系統(tǒng)，獲得有限配對副、材料、加工工藝等條件下的基礎特性參數(shù).但是，實驗法對實驗結果的精度要求很高，由于結合面物理、微觀和宏觀的幾何特性以及受力的復雜性，導致實驗數(shù)據(jù)不夠準確，并受到實驗環(huán)境和條件的限制.因此，國內外不少學者從結合面微觀接觸角度展開研究，揭示結合面接觸機理，獲取接觸特性參數(shù).

1.1 結合面表面形貌表征

機械結合面接觸問題是兩個粗糙表面間的接觸.1966年，Greenwood和Williamson[10]研究發(fā)現(xiàn)，機械加工表面由高度近似服從Gauss分布的微凸體組成，為粗糙表面接觸理論研究奠定了堅實的基礎.1970年，Whitehouse和Archard[11]進行三個基本形式的假設，即基于自相關函數(shù)為指數(shù)函數(shù)、各向同性和高斯分布，研究了聯(lián)合分布概率密度及峰高與峰頂曲率的相關性，從而提出了W-A理論.1971年Nayak將隨機表面模擬成一個二維正態(tài)過程，提出了統(tǒng)計幾何理論，但理論建立在表面輪廓高度、斜率和峰頂曲率服從高斯分布[12]基礎之上.1973年，Onion和Archard[11]結合W-A模型提出O-A模型，建立接觸面積和接觸載荷與粗糙表面間的分離關系，計算結果與GW模型相一致.沈萌紅等[13]通過對O-A模型進行擴展，研究了自相關函數(shù)和高斯高度分布函數(shù)模擬的各向異性光滑表面與粗糙彈性接觸時的接觸性能.饒柱石等[14]從材料的表面微觀特性角度出發(fā)，考慮了表面波紋度的影響，采用了彈性接觸理論和概率分析的方法.

采用傳統(tǒng)方法生成的粗糙表面廣泛應用于求解粗糙表面的接觸分析中.Patir[15]利用數(shù)字化生成儀獲得粗糙表面，通過生成的表面微凸體，其高度滿足高斯分布.Hu和Tonder[16]提出了基于高度標準差和自相關函數(shù)，構造三維粗糙表面的生成方法.

Willner等發(fā)現(xiàn)機械加工表面的微觀形貌具有分形特性，即使是原子尺度，表面形貌仍具有多尺度性、自仿射性、非平穩(wěn)等特性.之后，大量的研究表明：[18-20]機械加工的粗糙表面都具有統(tǒng)計自仿射分形特征.因此，Weierstrass等[11]利用分形函數(shù)用來模擬處處連續(xù)、處處不可導且具有自仿射分形特征的粗糙表面.Majumdar[11]以實測的粗糙表面計算出分形特性參數(shù)，將其真實表面特性參數(shù)代入分形函數(shù)中，獲得了模擬輪廓曲線，并與實測的輪廓曲線進行比較，發(fā)現(xiàn)兩者有很好的一致性.Vandenberg[21]利用數(shù)字圖像處理技術對分形維數(shù)和表面粗糙度空間進行了研究，證實了表面的分形特征可以由針式輪廓儀測量值的功率譜方法進行分析和計算.Zhou[22]提出了采用結構函數(shù)的方法計算工程表面形貌的分形維數(shù)，通過基于分形理論的機械工程表面研究了表面的摩擦和磨損.Srinivasan[23]首次提出基于分形理論的形狀公差的表面特征描述方法，并考慮公差帶內的輪廓結構特征.馮麗[24-25]運用分形理論，對粗糙表面磨損、磨合過程和分形表征進行表面分形特征描述、磨損預測、分形接觸等方面的研究取得了一定的成果.陳國安[26]利用分形維數(shù)研究了工程表面輪廓截面曲線磨合表面形貌的變化過程，指出表面輪廓分形維數(shù)在一定程度上克服了傳統(tǒng)粗糙度參數(shù)尺度相關的不足，能有效地反映表面粗糙度.楊紅平[27-31]等研究了工程表面輪廓截面曲線的磨削加工表面形貌的變化過程的分形維數(shù)，指出表面輪廓分形維數(shù)能有效地反映表面粗糙度.

1.2 結合面特性接觸實驗

由于結合面特性受到多種復雜因素的影響，因此，直接通過建立實驗平臺獲得在一定條件下的結合面基礎特性參數(shù)與其影響因素之間的關系，成為研究結合面接觸特性的參數(shù)的方法之一.

國外學者 Levina、Ostrovskii、Dollbey[14，33-34]等就對結合面的法向靜態(tài)特性進行了試驗研究，這些研究揭示了結合面的法向靜剛度與結合面粗糙度、實際接觸面積和法向面壓力有關，研究結果表明，結合面間的變形與法向面壓之間具有非線性函數(shù)關系，而且這種函數(shù)關系基本符合指數(shù)函數(shù)關系.Polacco[35]針對平面導軌研究，結果發(fā)現(xiàn)在法向加載曲線和卸載曲線間存在遲滯現(xiàn)象.Coonnoley[36]研究表明，兩個接觸的粗糙表面的加工刀具紋理對結合面法向接觸剛度產生一定的影響.Konowalski等[37]建立了結合面動靜態(tài)法向接觸剛度實驗平臺，通過一系列載荷與位移分析表明，在法向接觸載荷下，結合面間的接觸變形與接觸壓力間為非線性關系，通過動態(tài)實驗結果，進一步發(fā)現(xiàn)封閉的遲滯回線，這為研究結合面阻尼奠定了一定的實驗基礎.

國內許多學者對于結合面靜態(tài)和動態(tài)特性進行了深入的研究，取得了許多有意義的成果.黃玉美等[38]對結合面動態(tài)基礎特性參數(shù)的理論及其獲取方法進行了較為深入的研究，提出了通過實驗的方法獲得具有通用性的結合面特性參數(shù)的方法，設計了結合面動態(tài)基礎特性參數(shù)的實驗裝置，明確結合面動態(tài)基礎特性參數(shù)的實驗裝置的設計原則、影響因素的處理方法；提出了固定結合面間的微觀滑移阻尼耗能、微觀（局部）滑移阻尼耗能為主、微觀局部撞擊阻尼耗能為輔的固定結合面結合面是遲滯變形阻尼機理的本質所在.伍良生等[39]制作了大量的單位面積墊塊，研究了基于單位面積墊塊的基礎特性數(shù)據(jù)在各種不同的工況下對基礎特性進行識別，建立了簡單的結合面基礎特性參數(shù)，為其以后的復雜結構的動態(tài)特性預測奠定了基礎.史熙等[40-41]設計了結合面法向接觸阻尼和剛度的實驗平臺，通過實驗的方法獲得結合面基礎特性實驗數(shù)據(jù)，并進一步研究了改變結合面介質對接觸剛度和阻尼的影響程度.

1.3 結合面接觸理論模型

人們嘗試著從結合面的微觀機理模型入手來研究結合面特性，期望能夠從理論上直接計算結合面基礎特性參數(shù).結合面基礎特性參數(shù)的理論計算主要有兩類理論體系，一類是以解析方法建模，主要包括統(tǒng)計接觸模型、分形接觸模型、多尺度接觸模型等；另一類是以數(shù)值方法建模，主要包括有限元方法、分子動力學方法、多尺度方法等.兩類研究體系都涉及微觀形貌模型和微觀接觸模型，都需要對粗糙表面微觀接觸幾何和微觀接觸力學進行各種假設和描述.G-W模型[11]是統(tǒng)計接觸模型中最經(jīng)典的代表，它將粗糙表面假設為一定密度的等曲率球狀微凸體按高斯分布覆蓋在名義表面上，微凸體變形符合Hertz彈性接觸規(guī)律，忽略了微凸體相互作用以及基體變形.自G-W模型提出以來涌現(xiàn)出各種改進的統(tǒng)計接觸模型，[42-49]這些模型的假設比經(jīng)典G-W模型更接近實際表面形貌和接觸狀態(tài)，即使如此，G-W模型的有效性仍然得到實驗證實.

盡管基于統(tǒng)計接觸模型可以研究兩個粗糙表面接觸問題，[50]但是多數(shù)研究將問題簡化為一個等效粗糙表面與一個剛性光滑表面的接觸模型.與儀器分辨率相關的統(tǒng)計學參數(shù)為基礎建立的統(tǒng)計接觸模型的計算結果一般具有不確定性，而以粗糙表面自仿射性分形幾何特征為基礎建立的分形接觸模型的分析結果具有唯一確定性.分形接觸模型主要包括M-B模型、改進M-B模型和擴展J-S模型等.

針對解析接觸模型在解決復雜形體接觸、大載荷壓力作用下表面微凸體之間的相互作用，以及接觸應力集中產生的塑性變形等方面的局限，有限元數(shù)值方法在粗糙表面接觸問題中逐漸得到廣泛應用，[51-37]但其高計算量和數(shù)值復雜性不適用于解決一般工程微觀接觸問題，而其他數(shù)值方法尚不能解決彈塑性問題.以往大多數(shù)研究只限于利用統(tǒng)計接觸模型、分形接觸模型和有限元接觸模型分析真實接觸面積和接觸壓力分布之間的關系.

1.4 結合面特性參數(shù)理論

當兩個粗糙表面受到載荷作用時，在加載初始階段，由于法向載荷較小，兩接觸表面接觸峰點產生彈性變形，結合面法向剛度表現(xiàn)為線性特性；隨著載荷的不斷增大，兩接觸表面間的變形經(jīng)歷了線性彈性、彈塑性共存、塑性三種變形，這種連續(xù)變化使結合面接觸剛度與載荷間表現(xiàn)出由線性向非線性變化特性.[54-57]Hjink[58]等對臥式銑床的結合面特性進行了研究，建立了臥式銑床的計算模型，并且獲得了機床的動態(tài)特性.日本的吉村允孝[15]對結合面對立式車床的整機性能影響進行了研究.研究發(fā)現(xiàn)，機床結構中的結合面阻尼對機床整體的性能影響很大，并加入了結合面的動態(tài)特性參數(shù)，計算與實驗測得的值非常接近，證明了結合面對機床整機動態(tài)特性的影響.Kartal等[59]將先進的數(shù)字相關技術引入到了結合面接觸剛度的測定中.用數(shù)字相關技術準確地測量了鈦合金粗糙表面間的接觸剛度.在法向面壓下，對切向接觸剛度與名義接觸面積和磨損的關系進行了分析.經(jīng)過反復試驗研究發(fā)現(xiàn)，切向接觸剛度與法向名義接觸面積的大小是成比例的，這一點與實際測量的結果是相符的.Shiro等[60]用超聲波測量方法成功獲取了接觸面法向和切向剛度.通過對比發(fā)現(xiàn)，這種用超聲波測量方法所獲取的接觸面法向和切向剛度與實際測得的剛度基本一致.Jiang等[61]利用分形接觸理論，得到了結合面法向接觸剛度和切向接觸剛度的分形模型.Shi等[39-40]利用統(tǒng)計接觸理論，得到了結合面的法向接觸剛度的理論計算模型.Tian等[62]將微觀接觸部分假設為虛擬的各向同性材料，利用分形接觸模型解析描述虛擬材料的法向和切向特性，并考慮二者的相互作用，將虛擬材料的解析模型應用到機床固定結合面的有限元模型，通過模態(tài)試驗證明了虛擬材料模型的有效性.

國內結合面的實驗研究開始于上世紀60年代，饒柱石等[14]分析了材料表面的微觀特性，在研究了大量的兩個粗糙平面接觸時的剛度問題后，在相關數(shù)學理論基礎上，提出了一種接觸面接觸剛度計算的方法，并通過計算驗證了其結果.張學良等[63]提出了一種固定結合面的動態(tài)建模方法，通過研究經(jīng)典的赫茲接觸理論及分形幾何理論，提出了一種新的固定結合面動態(tài)建模方法.這種方法將結合面設置為一種虛擬材料，這種虛擬材料考慮到了結合面法向和切向的作用力，以及基本的材料屬性，包括彈性模量、剪切模量、泊松比和密度等，最后通過計算值與實驗值的對比，發(fā)現(xiàn)計算結果和實驗結果相吻合.黃玉美等[7]基于分形接觸理論提出了結合面法向接觸剛度模型，之后又給出了切向接觸剛度和切向接觸耗能的分形模型；陳天寧等[64]以分形接觸理論為基礎，建立了結合面法向接觸剛度分形模型，并通過分形參數(shù)表達的微凸體在彈性和塑性接觸區(qū)產生的彈性與塑性應變能，給出了與基體質量有關的接觸阻尼表達式；王世軍等人[65]通過表面形貌測量儀獲取粗糙表面的輪廓數(shù)據(jù)，擬合生成粗糙表面輪廓曲線，在此基礎上建立考慮摩擦的二維粗糙表面的有限元彈塑性接觸模型，用罰函數(shù)法計算加載過程中接觸層的應力、位移和接觸面積，進而得到結合面法向接觸剛度.劉恒等[66-67]將界面接觸層等效為一個和此界面接觸層等厚度的無界面彈塑性體和一個無厚度均質彈簧串聯(lián)構成的系統(tǒng)，利用有限元法計算出法向接觸剛度.楊紅平等[68-70]基于分形幾何理論和接觸力學理論，用分形理論表征粗糙表面微凸體參數(shù)，考慮微凸體由彈性變形向彈塑性變形以至最終向完全塑性變形轉化的過程，建立各變形階段微凸體的接觸剛度模型.在此基礎上，提出機械結合面法向接觸剛度計算模型，該模型揭示了在不同的塑性指數(shù)下，結合面法向接觸載荷與法向接觸剛度之間的關系，結果表明模型與實驗相吻合.

2 結合面接觸研究存在的不足

綜上所述，在結合面特性參數(shù)和實驗研究中取得了不少成果，但還存在一定的不足.

2.1 結合面表面相貌理論

雖然傳統(tǒng)模型如G-W模型等是基于粗糙表面形貌的結合面接觸研究，基于表面分形參數(shù)的研究較多，并用基于分形理論計算了有限條件下的結合面特性參數(shù)，但如何準確描述不同加工，材料等粗糙表面參數(shù)，粗糙表面的分形對結合面接觸特性參數(shù)的影響等問題研究較少.

2.2 結合面接觸特性實驗

雖然用實驗方法研究結合面特性參數(shù)比較多，但是從已設計的實驗裝置結構講，還沒有盡可能多地排除由于實驗裝置結構帶給實驗結果，使得實驗誤差與實際結果較大，同時實驗數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的精度不夠；溫度對結合面特性參數(shù)的影響的實驗裝置較少.

2.3 結合面接觸特性參數(shù)理論模型

無論是傳統(tǒng)的統(tǒng)計學方法還是分形方法，均假設表面峰高或者接觸點數(shù)服從某種函數(shù)分布，這種假設函數(shù)無法考慮機械加工表面實際三維粗糙峰的尺寸及空間分布，不能全面描述粗糙表面的形貌特征，而在粗糙峰之間的變形行為分析方面，絕大多數(shù)學者將兩個粗糙表面的接觸簡化為剛性平面和等效粗糙面的接觸，并對此種等效模型下的接觸力學行為進行了比較研究，但實際兩個粗糙表面發(fā)生接觸時，微凸體之間的接觸不僅僅只是峰對峰完全對稱接觸.因此，現(xiàn)有在假設前提下的機床結合面接觸特性參數(shù)的模型計算值與實際值相比存在一定的偏差.

[1]國務院關于加快培育和發(fā)展戰(zhàn)略性新興產業(yè)的決定[D].國發(fā)[2010]32號，2010.

[2]PEN Y.BEARDS C.F.Identification of effective linear joints using coupling and joint identification techniques[J].ASME，Journal of Vibration and Acoustics，1998，120(2)：331-338.

[3]IBRAHIM R.A.PETIT C.L.Uncertainties and dynamic problems of bolted joints and other fasteners[J].Journal of Sound and Vibration，2005，279(35)：857-936.

[4]CIULLI E，F(xiàn)ERREIRA L.A.PUGLIESE G.et al.Rough contacts between actual engineering surfaces Part I.Simple models for roughness description[J].Wear，2008，264：1105-1115.

[5]SONBATY I.A.KHASHABA U.A.SELMY A.I.et al.Prediction of surface roughness profiles for milled surfaces using an artificial neural network and fractal geometry approach[J].Journal of materials processing technology，2008，200：271-278.

[6]BUCZKOWSKI R.KLEIBER M.Elasto-plastic statistical model of strongly anisotropic rough surfaces for finite element 3D contact analysis[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2006，195：5141-5161.

[7]FU W.P.HUANG Y.M.ZHANG X.L.et al.Experimental investigation of dynamic normal characteristics of machined joint surfaces[J].ASME Journal of Vibration and Acoustics，2000，122(4)：393-398.

[8]ERITEN M，LEE C.H，POLYCARPOU A.A.Measurements of tangential stiffness and damping of mechanical joints：Direct versus indirect contact resonance methods[Z].Tribology International，2012.

[9]張學良.機械結合面動態(tài)基礎特性與應用[M].北京：中國科學技術出版社，2002.

[10]MAJUMDAR A.TIEN C.L.Fractal characterization and simulation of rough surfaces[J].Wear，1990，136：313-327.

[11]GREENWOOD J.A.WILLIAMSON J.B.Contact of nominally flat surfaces[J].Proceedings of Royal Society A，1966，295：300-319.

[12]NAYAKP.R.RandomProcessmodelofroughsurface[J].ASME，1971，93(5)：398-407.

[13]沈萌紅.各向異性粗糙表面的接觸性能研究[J].浙江大學學報，1990，57(5)：647-654.

[14]饒柱石.粗糙平面接觸剛度的研究[J].機械強度，1994，35(2)：71-75.

[15]PATIR N.A numerical procedure for random generation of rough contacts[J].Wear，1978，47：263-277.

[16]HU Y.Z.TONDER K.Simulation of 3-D random surface by 2-D digital filter and Fourier analysis[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture，1992，32：82-90.

[17]WILLNER K.Elasto-plastic normal contact of three-dimensional fractal surfaces using halfspace theory[J].Journal of Tribology，2004，126：28-33.

[18]ERITEN M.POLYCARPOU A.A.BERGMAN L.A.Physics-based modeling for partial slip behavior of spherical contacts[J].International Journal of Solids and Structures，2010，47：2554-2567.

[19]SEPEHRI A.FARHANG K.On elastic interaction of nominally flat rough surfaces[J].ASME Journal of Tribology，2008，130/011014：1-5.

[20]JI C.C.ZHU H.JIANG W.et al.Running in test and fractal methodology for worn surface topography characterization[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2010，23(5)：600-605.

[21]VANDENBERG S.OSBOME C.F.Digital image processing techniques，fractal dimensionality and scale-space applied to surface roughness[J].Wear，1992，159：17-30.

[22]ZHOU G.Y.LEU M.C.BLACK D.Fractal geometry model for wear prediction[J].Wear，1993，170：1-14.

[23]SRINIVASAN R.S.A form tolerancing theory using fractals and wavelets[J].Journal of Mechanical&Design，1997，119：185-192.

[24]馮麗，謝沛霖.基于分形幾何的表面微觀形貌模擬及粘著彈性接觸計算研究[J].潤滑與密封，2007，32(6)：74-77.

[25]李成貴，張國雄等.分形維數(shù)與表面粗糙度參數(shù)的關系[J].工具技術，2007，31(12)：36-38.

[26]陳國安，葛世榮，張曉云.磨合過程中表面形貌變化的分形表征[J].潤滑與密封，1999，2：55-56.

[27]楊紅平，傅衛(wèi)平，王雯，等.小波系數(shù)表征機械加工表面分形特征的計算方法[J].儀器儀表學報，2010，31(7)：1454-1459.

[28]周超，高誠輝.基于離散傅里葉變換的分形粗糙表面輪廓合成與研究[J].機械工程學報，2011，47(17)：99-103.

[29]GOERKE D.WILLNER K.Normal contact of fractal surfac-es-Experimental and numerical investigations[J].Wear，2008，264：589-598.

[30]葛世榮，朱華.摩擦學的分形[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[31]BIGERELLE M.NAJJAR D.IOST A.Relevance of roughness parameters for describing and modelling machined surfaces[J].Journal of Materials Science，2003，38：2525-2536.

[32]宋森熠，王立華，薛二鵬.分形理論及其在機械結合面中的應用[J].機械，2008，35(10)：1-4.

[33]CIAVARELLA M.MUROLO G.DEMELIO G.Elastic contact stiffness and contact resistance for the weierstrass Profile[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2004，52(6)：1247-1265.

[34]WANG F S.BLOCK J.M.CHEN W.W.et al.A multilevel model for elastic-plastic contact between a sphere and a flat roughsurface[J].ASME，JournalofTribology，2009，131/021409：1-5.

[35]POLACCO A.PUGLIESE G.CIULLI E.et al.Investiga-tion on thermal distress and scuffing failure under micro EHL conditions[J].The Netherlands，2006，(8)：321-332.

[36]COONNOLEY R.CONNLLY R，H.Determining the normal stiffness of joint faces[J].ASME，1967.

[37]KONOWALSKI K.Experimental research and modeling of normal contact stiffness and contact damping of machined joint surfaces[J].Advances in Manufacturing Science and Technology，2009，33(3)：53-68.

[38]張學良，黃玉美.機械結合面靜態(tài)基礎特性參數(shù)的建模及其應用[J].機床，l997，(11)：8-10.

[39]SHI X.ANDREAS A.A.Measurement and modeling of nor mal contact stiffness and contact damping at the meso scale[J].ASME，Journal of Vibration and Acoustics，2005，127：125-136.

[40]SHI X.ANDREAS A.Investigation of contact stiffness and contact damping for magnetic storage head-disk interfaces[J].ASME，Journal of Tribology，2008，130/021901：1-9.

[41]YOSHIMURAM.Computeraideddesignimprovementofmachine tool structure incorporating joint dynamic date[J].Annals of CIRP，1979，18(1)：241-46.

[42]SELLGREN U.BJORKLUND S.ANDERSSON S.A finite element-based model of normal contact between rough surfaces[J].Wear，2003，254(11)：1180-1188.

[43]趙永武，呂彥明，蔣建忠.新的粗糙表面彈塑性接觸力學模型[J].機械工程學報，2007，43(3)：95-101.

[44]GAO Y.F.BOWER A.F，KIM K.S.et al.The behavior of an elastic-perfectly plastic sinusoidal surface under contact loading[J].Wear，2006，261(2)：145-154.

[45]ALMQVIST A.SAHLIN F.LARSSON R.et al.On the dry elasto-plastic contact of nominally flat surfaces[J].ASME，Journal of Tribology，2007，40：574-579.

[46]JENG Y.R.PENG S.R.Elastic-plastic contact behavior considering asperity interactions for surfaces with various height distributions[J].ASME，Journal of Tribology，2006，126：620-625.

[47]CIAVARELLA M.GREENWOOD J.A，Paggi M.Inclusion of interaction in the Greenwood and Williamson contact theory[J].Wear，2008，265(5)：729-734.

[48]YEO C.D.KATTA R.R.Lee J.Y.et al.Effect of asperity interactions on rough surface elastic contact behavior Hard film on soft substrate[J].Tribology International，2010，43：1438-1448.

[49]NOGUEIRA I.Robbe-Valloire F.Gras R.Experimental validations of elastic to plastic asperity-based models using normal indentations of rough surfaces[J].Wear，2010，269：709-718.

[50]SEPEHRI A.FARHANG K.Closed-form equations for three dimensional elastic-plastic contact of nominally flat rough surfaces[J].ASME，Journal of Tribology，2009，131(4).

[51]LIOU J.L.LIN J.F.A modified fractal microcontact model developed for asperity heights with variable morphology parameters[J].Wear，2010，268：133-144.

[52]GOEDECKE A.JACKSON R.L.Mock R.A fractal expansion of a three dimensional elastic-plastic multiscale rough surface contact model[Z].Tribology International，2012.

[53]YANG J.KOMVOPOULOS K.A mechanics approach to static friction of elastic-plastic fractal surfaces[J].ASME，Journal of Tribology，2005，127(2)：315-324.

[54]PEI L.MOLINARI J.F.et al.Finite element modeling of elasto-plastic contact between rough surfaces[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2005，53(11)：385-409.

[55]BRIZMERA V.KLIGERMANA Y.ETSIONA I.Elastic-plastic spherical contact under combined normal and tangential loading in full stick[J].Tribology Letters，2007，25(1)：61-70.

[56]劉天祥，劉更，謝琴，等.二維自適應粗糙表面彈塑性接觸模型[J].機械工程學報，2007，43(9)：91-95.

[57]YASTREBOV V.A.DURAND J.PROUDHON H.et al.Rough surface contact analysis by means of the Finite Element Method and of a new reduced model[J].Comptes Rendus Mecanique，2011，339：473-490.

[58]HJINK J.Analysis of A milling machine：Computed results Versus Experiment Date[J].M.T.D.R，1973，14(1)：58-61.

[59]KARTAL M.E.MULVIHILL D，M.Measurements of pressure and area dependent tangential contact stiffness between rough surfaces using digital image correlation[J].ASME，Journal of Tribology，2011，44：1188-1198.

[60]SHIRO B.SHUNSUKE H.Stiffness evaluation of contacting surfaces bybulk and interface waves[J].Ultrasonics，2007，47：123-129.

[61]JIANG S Y.ZHENG Y.J.ZHU H.A contact stiffness model of machined plane joint based on fractal theory[J].ASME Journal of Tribology，2010，132.

[62]TIAN H.L.LI B.A new method of virtual material hypothesis-based dynamic modeling on fixed joint interface in ma-chine tools[J].ASME，Journal of Tribology，2011，51：239-249.

[63]張學良，溫淑花，蘭國生，等.平面結合面切向接觸阻尼分形模型及其仿真[J].西安交通大學學報，2011，45(5)：74-77，136.

[64]尤晉閩，陳天寧.結合面法向動態(tài)參數(shù)的分形模型[J].西安交通大學，2009，43(9)：91-94.

[65]王世軍，趙金娟，張慧軍，等.一種結合面法向剛度的預估方法[J].機械工程學報，2011，47(21)：111-115，122.

[66]劉恒，劉意，王為民.接觸界面法向剛度等效的新方法[J].機械工程學報，2011，47(17)：37-43.

[67]李輝光，劉恒，虞烈.粗糙機械結合面的接觸剛度研究[J].西安交通大學學報，2011，45(6)：69-74.

[68]楊紅平，傅衛(wèi)平，王雯，等.基于分形幾何與接觸力學理論的結合面法向接觸剛度計算模型[J].機械工程學報，2013，49(1)：102-107.

[69]MEDINA S.OLVER A.V.DINI D.The influence of surface topography on energy dissipation and compliance in tangentially loaded elastic contacts.ASME，Journal of Tribology，2012，134.

[70]MISRA A.HUANG S.P.Effect of loading induced anisotropy on the shear behavior of rough interfaces[J].Tribology International，2011，44：627-634.