平臺巴西劈裂試驗確定巖石抗拉強度的理論分析

黃耀光，王連國， ，陳家瑞，張繼華

（1.中國礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州，221116；2.中國礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，江蘇 徐州，221116）

1 引 言

由于巖石屬于典型脆性材料，故采用直接拉伸試驗來確定其抗拉強度極為困難。因而，巴西圓盤劈裂試驗被作為測定巖石抗拉強度的間接方法[1]，其經(jīng)典力學(xué)簡化模型如圖1(a)所示。但該方法需對試樣施加對徑壓縮載荷，這使得加載線附近由于強烈應(yīng)力集中而發(fā)生壓破壞，違背了巴西劈裂試驗中心起裂[2－3]的假設(shè)，從而使所測抗拉強度與真實值存在較大差異。為了降低標(biāo)準(zhǔn)巴西劈裂試驗中對徑線加載所引起的應(yīng)力集中程度，一般有兩種方法：一種是弧形加載巴西圓盤試驗法[2，4－11]。文獻[6]用復(fù)變函數(shù)法得到巴西圓盤內(nèi)的全應(yīng)力和位移場理論解，并用試驗驗證了解的有效性。而文獻[5，7－8]通過試驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，得到不同弧形加載角下巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)和試樣破壞過程。文獻[9－11]求得了巴西圓盤受拋物線型載荷下的應(yīng)力和位移場，并考慮了不同加載角度和載荷類型對圓盤內(nèi)應(yīng)力和位移分布的影響。盡管弧形加載巴西劈裂試驗?zāi)芙档蛻?yīng)力集中程度，但由于加載困難以及加載弧上應(yīng)力的不均勻性，使其不易保證巴西試樣發(fā)生中心起裂。

另一種是圖1(b)所示的平臺巴西劈裂試驗。王啟智等[3，12]將文獻[13]提出的確定巖石斷裂韌度的平臺巴西劈裂試驗推廣用于確定巖石抗拉強度，借助標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤的應(yīng)力解，利用有限元數(shù)值法研究了平臺圓盤內(nèi)的應(yīng)力分布規(guī)律及位移解，得到保證巖石試樣中心起裂所需的臨界平臺加載角，進而得出巖石的抗拉強度經(jīng)驗公式。而后王啟智等[14]采用平臺巴西劈裂試驗測得大理巖的抗拉強度，證明該試驗的合理性。在此基礎(chǔ)上，尤明慶等[15－16]利用有限元數(shù)值法得到不同平臺加載角下圓盤內(nèi)的應(yīng)力分布特征：圓盤內(nèi)應(yīng)力隨平臺加載角增大而減??；并結(jié)合4類典型巖石的平臺巴西劈裂試驗指出，平臺加載角應(yīng)保持在20°～30°之間為最佳。于慶磊[17]、孟京京[18]等分別用有限元和離散元數(shù)值法研究了平臺加載角對非均質(zhì)巴西試樣的應(yīng)力狀態(tài)和劈裂破壞模式的影響。而喻勇等[19]利用三維彈性有限元法，較全面地分析了圓盤高徑比和泊松比等因素對平臺圓盤應(yīng)力分布的影響，并基于Mohr強度理論給出了平臺巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強度的數(shù)值計算公式。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)和平臺巴西劈裂試驗力學(xué)模型Fig.1 Mechanical models of standard and flattened Brazilian splitting tests

由于以上研究平臺巴西劈裂試驗時，主要采用的是有限元或離散元數(shù)值分析方法，并以標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力理論解來代替平臺巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，這使所得結(jié)果出現(xiàn)偏差，而且缺少相應(yīng)的理論分析作為支撐。因此，基于二維彈性理論，借助半無限平面體受豎直線荷載的符拉芒解，采用應(yīng)力疊加方法求得平臺巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力解析解，并用有限元數(shù)值法對該應(yīng)力解加以驗證。以此為基礎(chǔ)，從理論上分析了平臺加載角對圓盤應(yīng)力分布規(guī)律的影響，獲得保證平臺巴西圓盤試樣中心起裂的最優(yōu)加載角度以及計算巖石抗拉強度的理論公式。

2 平臺巴西圓盤的應(yīng)力理論解

假定平臺巴西圓盤是均勻各向同性彈性體，并將實際試驗中的近似均布位移加載簡化為均勻?qū)ο逸d荷加載，從而建立如圖1(b)所示的直角坐標(biāo)系下的平臺巴西劈裂試驗力學(xué)分析模型。在應(yīng)力求解過程中，認(rèn)為平臺巴西圓盤所受對弦均布載荷是作用在半無限平面體邊界上的，其內(nèi)任意點的應(yīng)力是由上、下加載平臺所受均布載荷產(chǎn)生的徑向應(yīng)力疊加而成。由此，依據(jù)圣維南原理，可求得半無限平面體下平臺巴西圓盤邊界上和圓盤內(nèi)任意點的應(yīng)力解。但由于實際平臺巴西劈裂試驗并非是半無限平面體，其在圓盤邊界上應(yīng)保持自由邊界。所以，應(yīng)將所得圓盤邊界上的應(yīng)力解以反力的形式疊加到圓盤內(nèi)的應(yīng)力解之上，從而求得平臺巴西圓盤的應(yīng)力理論解。

2.1 平臺巴西圓盤邊界上的應(yīng)力解析解

在平臺巴西劈裂試驗中，設(shè)圓盤半徑為R，圓盤厚度為t，平臺加載角為2α，如圖2所示，則加載平臺寬度可表示為

式中：α為弧度。

假設(shè)試驗機所施加的集中力P 均勻作用在厚度為t 的加載平臺上，則力P 與平臺上的均布載荷q 之間滿足如下關(guān)系：

從而得到由集中力P 所表示的平臺上的均布載荷q為

為了求得平臺巴西圓盤邊界上任意點M 的應(yīng)力，可在上下加載平臺處任取一對稱微元ds，其微元力為dF=qd s。假定該微元力分別作用在兩個不同的半無限平面體上，則每個微元力都將在半無限平面體內(nèi)產(chǎn)生徑向分布應(yīng)力。因此，根據(jù)圣維南原理，可由彈性力學(xué)中半無限平面體受豎直線荷載的符拉芒解[20]得到M 點處的兩個徑向應(yīng)力分別為（以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)）

式中：r1和r2分別為微元力作用點與邊界點M 的距離；θ1和θ2則分別為r1、r2與鉛垂方向的夾角。

設(shè)直線τ為點M 所在圓周的切線，過M 作MN 與τ 垂直，則MN為圓盤直徑。同時由于平臺加載角相對較小，所以有：∠MAN≈∠MA′ N=，∠MBN≈∠MB ′N=。又由于在△MAN中，有∠MNA=θ2，則得∠AMN=；在△MBN中，∠MNB=θ1，則得∠BMN=具體見圖2。于是，根據(jù)Cauwelaert等[21]中的坐標(biāo)變換公式，采用應(yīng)力疊加方法可得點M 處的正應(yīng)力dσn和切應(yīng)力dστ分別為

圖2 平臺巴西圓盤邊界任意點的應(yīng)力計算示意圖Fig.2 Schematic diagram of stress calculation at arbitrary boundary points on flattened Brazilian disk

因在△MAN和△MBN中，存在如下幾何關(guān)系：

則將式（7）分別代入式（5）、（6）中，可得

而在△AMB中有：∠AMB=π -(θ1+θ2)，則由三角函數(shù)關(guān)系：可得

則將式（9）代入式（8）可得

因此，平臺巴西圓盤邊界上任意點M 處的應(yīng)力可沿受均布載荷q 的加載平臺進行積分求得

2.2 平臺巴西圓盤的應(yīng)力解析解

由2.1節(jié)可知，平臺巴西圓盤內(nèi)任意點 M (x ，y)處的徑向分布應(yīng)力仍可表示成式（4）的形式。利用彈性力學(xué)[20]和Cauwelaert[21]中的坐標(biāo)變換公式，可得直角坐標(biāo)系下圓盤內(nèi)的微元應(yīng)力分量為

再將式（12）中相同方向的微元應(yīng)力分量進行疊加，得到平臺圓盤內(nèi)的3個應(yīng)力分量為

又因在圓盤內(nèi)滿足如下關(guān)系式：

故將式（14）代入式（13），并沿著所受均布載荷的加載平臺進行積分，再疊加由2.1節(jié)所得的均布拉應(yīng)力，最后，在圣維南原理下可求得平臺巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力分量為

圖3 平臺巴西圓盤內(nèi)任意點的應(yīng)力計算示意圖Fig.3 Schematic diagram of stress calculation at arbitrary points inside flattened Brazilian disk

3 平臺加載角對巴西圓盤應(yīng)力分布的影響

3.1 標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤的應(yīng)力理論解

在標(biāo)準(zhǔn)巴西劈裂試驗中，對徑壓縮載荷下圓盤內(nèi)任意點的應(yīng)力經(jīng)典解可表示為[19，22]

而Wang等[3，12]以式（19）的應(yīng)力分量來代替平臺巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，并結(jié)合有限元數(shù)值分析法給出了平臺巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強度的經(jīng)驗公式為

3.2 平臺巴西圓盤應(yīng)力解的數(shù)值驗證

因為在實際的平臺巴西劈裂試驗中，平臺巴西圓盤受到近似均布位移加載作用，這與本文中的均布應(yīng)力加載作用存在差異。但根據(jù)圣維南原理，其影響主要集中在加載平臺附近，而對圓盤中心附近應(yīng)力結(jié)果影響較小。并且由于研究平臺巴西劈裂試驗的有限元數(shù)值分析法已較為成熟[3，12－13，15－17，19]，因此，采用該方法將不同平臺加載角下的圓盤應(yīng)力數(shù)值解與應(yīng)力理論解進行對比分析，以驗證求解平臺巴西圓盤應(yīng)力解析解方法的正確性。

在有限元數(shù)值分析中，選擇建立包含加載壓頭的平臺劈裂二維模型，通過加載壓頭和平臺巴西試樣之間的接觸單元[23]來保證實際試驗中的均布位移加載，其接觸摩擦系數(shù)設(shè)為0.05，以近似試驗中的理想光滑接觸。該模型的半徑R=25 mm，平臺加載角分別為10°、20°、30°、40°，其平臺處網(wǎng)格單元數(shù)目為10，而其他網(wǎng)格單元邊長為1 mm。平臺圓盤試樣的彈性模量E 取為80 GPa，其泊松比為0.2。又為了保證加載壓頭的剛度，取其彈模為試樣的100倍，而泊松比為0.3。模型下加載壓頭的左端節(jié)點固定x、y 向位移，右端節(jié)點固定y 向位移，并同時在上下加載壓頭處施加均布壓縮載荷q，q 值由式（3）計算所得，其中試驗載荷P=15 kN。數(shù)值計算模型如圖4所示。

經(jīng)數(shù)值計算后，選取平臺巴西圓盤加載直徑上的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy作為比較驗證對象，其應(yīng)力無量綱化（σ/(P/πRt)）后隨平臺加載角的變化規(guī)律分別由圖5、6給出。而表1則給出了不同加載角下圓盤內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比。需注明的是，由于加載點處應(yīng)力趨于無窮大，所以表1中的的最大應(yīng)力取自于近加載點處的值，而非加載點。

圖4 平臺巴西劈裂有限元數(shù)值計算模型Fig.4 Finite element numerical calculation model of flattened Brazilian splitting test

圖5 加載直徑上的無量綱水平應(yīng)力Fig.5 Non-dimensional horizontal stresses along loaded diameter

圖6 加載直徑上的無量綱垂直應(yīng)力Fig.6 Non-dimensional vertical stresses along loaded diameter

表1 兩種圓盤內(nèi)的無量綱壓拉應(yīng)力比Table 1 Ratios of non-dimensional compressive stress to tensile stress inside two kinds of disk

綜合分析圖5、6可知，在4個不同的平臺加載角下，圓盤內(nèi)加載直徑上的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy的理論解和有限元數(shù)值解的變化曲線僅在加載平臺附近出現(xiàn)較大分離，而在遠(yuǎn)離加載平臺處基本重合。這主要是因為理論求解和數(shù)值求解時，平臺加載處的加載方式不同而引起的，其結(jié)果符合圣維南原理。因此，經(jīng)對比分析表明前文的理論求解方法是正確合理的。

從圖5中可以看出，水平拉伸應(yīng)力σx的最大值皆出現(xiàn)在圓盤中心附近，并從中心向兩加載平臺逐漸變小，甚至變?yōu)樗綁嚎s應(yīng)力。而且隨著平臺加載角增大，平臺巴西圓盤內(nèi)的水平拉伸應(yīng)力值緩慢減小，其從平臺加載角為5°時的0.99降低到50°時的0.65，而水平壓縮應(yīng)力卻從33.96急降到2.82，具體如表1所示。同時發(fā)現(xiàn)，平臺巴西圓盤內(nèi)的拉伸應(yīng)力區(qū)隨著平臺加載角的增大而逐漸向圓盤中心縮小，即增大加載角會縮小圓盤內(nèi)加載方向的拉應(yīng)力區(qū)。

而由圖6可知：平臺圓盤內(nèi)的垂直應(yīng)力σy都從兩端的加載平臺處向圓盤中心減小。而且在平臺巴西圓盤內(nèi)，隨著平臺加載角增大，加載平臺處的垂直壓應(yīng)力顯著減小，其值從平臺加載角為5°時的36.01降低到50°時的3.87。從表1中可知，標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比為50.20，若按通常巖石抗壓強度為抗拉強度的10倍計算，則標(biāo)準(zhǔn)巴西試樣將會在加載點附近由于壓應(yīng)力過大而發(fā)生壓破壞。但平臺巴西圓盤內(nèi)的壓拉應(yīng)力比會隨著平臺加載角增大而減小，當(dāng)加載角為20°時，其最大壓拉應(yīng)力比已經(jīng)降低到9.65，此時可認(rèn)為平臺巴西圓盤試樣不會發(fā)生加載處的壓破壞而是發(fā)生中心拉破壞。由此發(fā)現(xiàn)，增大平臺加載角可以明顯降低加載處的壓應(yīng)力值和應(yīng)力集中程度，從而降低巴西試樣在加載平臺附近發(fā)生壓縮破壞的可能，為試樣率先發(fā)生中心拉伸劈裂破壞創(chuàng)造條件。

3.3 標(biāo)準(zhǔn)和平臺巴西圓盤應(yīng)力分布對比分析

由于以上研究的僅是圓盤加載直徑上的應(yīng)力分布特征，缺乏一般性。為了對圓盤內(nèi)的應(yīng)力分布有更完整、直觀的認(rèn)識，在此取加載角為30°的平臺巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力解與標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤進行對比分析。圖7、8分別表示無量綱化后圓盤內(nèi)的水平應(yīng)力和垂直應(yīng)力等值線圖。

圖8 圓盤內(nèi)的無量綱垂直應(yīng)力(σy/(P/πRt))Fig.8 Non-dimensional vertical stress inside the disks (σy/(P/πRt))

從圖7、8可知，標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤內(nèi)的水平應(yīng)力經(jīng)過加載點而形成中部寬、兩端狹長的拉應(yīng)力區(qū)。而平臺巴西圓盤內(nèi)的水平應(yīng)力是在加載點下方形成環(huán)狀拉應(yīng)力區(qū)，即加載方向上的拉應(yīng)力區(qū)縮小了，這不利于實現(xiàn)巴西劈裂試驗從中心起裂并向兩端擴展而發(fā)生拉破壞的條件。但相比于標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤，平臺巴西圓盤內(nèi)的水平壓應(yīng)力和垂直應(yīng)力值在加載點處都有極大地降低，而且在加載點附近的應(yīng)力分布更加均勻，如圖7(b)、8(b)所示。這顯著地降低了巴西圓盤加載點附近的應(yīng)力集中程度，有利于減小試樣由于加載點處的壓應(yīng)力強烈集中而發(fā)生壓破壞的可能性，從而滿足巴西試驗的中心起裂條件。由此發(fā)現(xiàn)，平臺巴西圓盤的加載角是控制巴西試驗?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵因素，過大或過小的加載角都不利于巴西試驗的進行。因此，有必要確定出最優(yōu)的平臺加載角來同時滿足降低壓應(yīng)力集中和保持圓盤內(nèi)具有較大拉應(yīng)力區(qū)的要求。

4 平臺巴西劈裂試驗的最優(yōu)加載角及抗拉強度

4.1 平臺巴西劈裂試驗的最優(yōu)加載角

巖石屬于典型脆性材料，因此，巖石的破壞通常滿足Griffith強度準(zhǔn)則[24]。當(dāng)以拉應(yīng)力為正，且3個主應(yīng)力滿足 σ1≥σ2≥ σ3關(guān)系時，Griffith強度準(zhǔn)則可寫成如下形式：

式中：σG為Griffith等效應(yīng)力；σT為巖石的抗拉強度。

由第2節(jié)分析可知，平臺巴西圓盤內(nèi)的加載直徑附近是拉應(yīng)力最大的區(qū)域，其成為巴西試樣的潛在破壞區(qū)。在圓盤加載直徑上有x=0，由式（17）計算可得其上剪應(yīng)力τxy=0，因此，可知加載直徑上的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy分別為最大最小主應(yīng)力，其可由式（15）、（16）計算得到為

所以，式（21）中給出的Griffith強度準(zhǔn)則的判定條件可表示為

為了得出Griffith判定條件的大小，將不同加載角下的無量綱化Griffith判定條件值繪于圖9中，其中的2α=0°即為標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤。從圖9中可知，當(dāng)加載角小于50°時，有 σ1+3σ3＜ 0恒成立，所以由式（21）可得平臺巴西圓盤試樣的強度破壞條件為

再將式（22）、（23）代入式（26）即得平臺巴西圓盤加載直徑上的Griffith等效應(yīng)力為

將Griffith等效應(yīng)力進行無量綱化后，其值隨平臺加載角2α 的變化關(guān)系如圖10所示。

圖9 加載直徑上的無量綱Griffith判定條件Fig.9 Non-dimensional Griffith decision conditions along loaded diameter

圖10 加載直徑上的無量綱Griffith等效應(yīng)力Fig.10 Non-dimensional Griffith equivalent stresses along loaded diameter

從圖10可知，當(dāng)2α＜20°時，平臺巴西圓盤加載直徑上的Griffith等效應(yīng)力σG從圓盤中心開始向兩端呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律，即σG并非在圓盤中心最大，這表明此類平臺巴西圓盤并不是從圓盤中心起裂，違背了巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強度的基本假定，故其不適于用來測定巖石的抗拉強度；當(dāng)加載角大于等于20°時，平臺巴西圓盤加載直徑上的Griffith等效應(yīng)力σG從圓盤中心開始向兩端呈逐漸減小趨勢，即σG在圓盤中心最大。因此，依據(jù)Griffith強度破壞準(zhǔn)則可知此類平臺巴西圓盤將從圓盤中心開始破壞，其滿足巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強度的中心起裂條件，故可選用2α≥20°的平臺巴西圓盤來測定巖石的抗拉強度。

同時由前文分析可知，當(dāng)2α＞30°以后，增大加載角并不能顯著降低平臺圓盤內(nèi)的壓拉應(yīng)力比，如表1所示。因此，綜合分析認(rèn)為，當(dāng)2α=20°～30°時，平臺巴西劈裂試驗既能明顯降低圓盤內(nèi)的壓拉應(yīng)力比，又能滿足中心起裂條件，故確定平臺巴西圓盤的最優(yōu)加載角為20°～30°。這與Wang[12]和尤明慶[15－16]通過數(shù)值和試驗方法所得結(jié)果相一致。

4.2 平臺巴西劈裂試驗確定的巖石抗拉強度

當(dāng)平臺巴西劈裂試驗處于最優(yōu)加載角度時，依據(jù)Griffith強度準(zhǔn)則知試樣將從圓盤中心率先開始破壞。因在圓盤中心有x=0，y=0，故由式（24）可知，A1=A3=R2，B1=B3=R2sin αcosα，C1=C3=-α，則由式（26）可得用平臺巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強度的計算公式為

而在弧形加載巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強度的研究中，Satoh[2]首先得到的巖石抗拉強度公式為

至此，文中給出了3種計算巖石抗拉強度的理論公式，其主要差異是建立力學(xué)分析模型時對巴西圓盤受力的簡化形式不同。Wang[12]將圓盤受力簡化為作用在有限圓弧上的均勻垂直載荷。Satoh[2]則認(rèn)為圓盤受力是作用在有限圓弧上的均勻徑向載荷。而本文分析中是將圓盤受力簡化成作用在加載平臺上的均布載荷。圖11為無量綱化后的各抗拉強度隨加載角的變化規(guī)律。從圖中可知，相比于Wang[12]和Satoh[2]所得的巖石抗拉強度，本文式（27）所得巖石抗拉強度偏小，且隨加載角的增大而下降較快，即過大的加載角將使平臺巴西劈裂試驗失敗。但在最優(yōu)加載角20°～30°之間時，3個抗拉強度的最大相對誤差小于4.5%，這即表明所求抗拉強度公式與已有抗拉強度經(jīng)驗公式相符較好。而且表2表明，本文所得抗拉強度理論值與試驗值的最大相對誤差約為22%，最小相對誤差約為4%?？紤]到抗拉強度試驗的離散型，可認(rèn)為抗拉強度理論公式是正確的。由此綜合證明，前文理論推導(dǎo)巖石抗拉強度的方法是合理的。

圖11 無量綱抗拉強度隨加載角的變化Fig.11 Variation of non-dimensional tensile strength with loading angle

表2 3類巖石的平臺劈裂理論與試驗抗拉強度比較Table 2 Comparison of theoretical and experimental tensile strengths for three kinds of rocks

5 結(jié) 論

（1）基于二維彈性理論，采用應(yīng)力疊加法求得平臺巴西圓盤內(nèi)的應(yīng)力解析解，其與有限元數(shù)值解相一致，證明該應(yīng)力解析解是正確的。

（2）通過研究不同加載角對平臺巴西圓盤內(nèi)應(yīng)力分布的影響表明：增大平臺加載角，可以顯著降低平臺加載處的壓應(yīng)力和應(yīng)力集中程度，減小試樣發(fā)生壓裂破壞的可能；但平臺巴西圓盤內(nèi)的拉應(yīng)力和拉伸區(qū)也將緩慢減小，其不利于保證巴西劈裂試驗的中心起裂條件。

（3）理論研究得出，過大或過小的加載角都不利于平臺巴西劈裂試驗的成功，而其最優(yōu)的平臺加載角在20°～30°之間。此時，平臺巴西圓盤內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比相對于標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤有明顯減小，其值已小于巖石試樣慣用的抗壓拉強度比10，故該加載角下的平臺巴西劈裂試驗最宜被用于確定巖石的抗拉強度。

（4）基于Griffith強度破壞準(zhǔn)則，推導(dǎo)得到采用平臺巴西劈裂試驗測定巖石抗拉強度的理論計算公式，通過比較發(fā)現(xiàn)，其與已有的抗拉強度經(jīng)驗公式及試驗值相符較好。

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