可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)

王一

摘 要：可測(cè)函數(shù)是從測(cè)度觀點(diǎn)來(lái)研究函數(shù)時(shí)所必然要考慮的一類(lèi)函數(shù)，它一方面包含大家熟悉的連續(xù)函數(shù)作為特例，另一方面又在應(yīng)用上和理論上具有足夠的廣泛性。文章從可測(cè)函數(shù)的定義入手，給出簡(jiǎn)單函數(shù)的定義，還有提了幾個(gè)常見(jiàn)的簡(jiǎn)單函數(shù)，在此基礎(chǔ)上將討論可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)，比如任何非負(fù)可測(cè)函數(shù)都可以用單調(diào)遞增簡(jiǎn)單函數(shù)逐點(diǎn)逼近，對(duì)于一般的可測(cè)函數(shù)來(lái)說(shuō)也可以利用逐點(diǎn)逼近法，可測(cè)函數(shù)的收斂性，逐步進(jìn)入可測(cè)函數(shù)的主要應(yīng)用—— 積分領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：可測(cè)函數(shù) 簡(jiǎn)單函數(shù) 可測(cè)函數(shù)的逼近 可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)

中圖分類(lèi)號(hào)：O174.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）10（b）-0138-02

實(shí)變函數(shù)論的核心內(nèi)容是建立在可測(cè)函數(shù)類(lèi)上的Lebesgue積分理論，而可測(cè)函數(shù)是借助于測(cè)度論定義的。因此，三者關(guān)系能體現(xiàn)出可測(cè)函數(shù)是實(shí)變函數(shù)論的基本概念，理解與掌握它是學(xué)好Lebesgue積分理論的關(guān)鍵。由于通常將一般可測(cè)函數(shù)的L積分定義為它的正部與負(fù)部?jī)蓚€(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)L積分的差（要求其中至少一個(gè)積分值有限），因此研究非負(fù)可測(cè)函數(shù)L積分的定義具有重要意義。該文將研究非負(fù)可測(cè)函數(shù)L積分的定義方法，文中可測(cè)集與可測(cè)函數(shù)均指L可測(cè)集與L可測(cè)函數(shù)。

1 可測(cè)函數(shù)的定義

1.1 可測(cè)函數(shù)

（1）定義：設(shè)是定義在可測(cè)集的實(shí)函數(shù)，如果對(duì)于任何有限實(shí)數(shù)，[都是可測(cè)集，則稱(chēng)為定義在上的可測(cè)函數(shù)。

（2）定理：設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，下列任一條件都是在上可測(cè)的充要件：（1）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)，都可測(cè)；（2）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)，都可測(cè)；（3）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)，都可測(cè)；（4）對(duì)任何有限實(shí)數(shù)，都可測(cè)。

例如，區(qū)間[]上的連續(xù)函數(shù)及單調(diào)函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。

1.2 簡(jiǎn)單函數(shù)

定義：設(shè)的定義域可分為有限個(gè)互不相交的可測(cè)集，，使在每個(gè)上都等于某常數(shù)，則為簡(jiǎn)單函數(shù)。

例如，在區(qū)間[0，1]上的狄利克雷函數(shù)便是一簡(jiǎn)單函數(shù)。

2 可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)

2.1 基本性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：若是上的可測(cè)函數(shù)，可測(cè)，則限制在上也是可測(cè)函數(shù)；反之，若，限制在上是可測(cè)函數(shù)，則在上也是可測(cè)函數(shù)。

引理：設(shè)與為上的可測(cè)函數(shù)，則都是可測(cè)集。

（2）性質(zhì)2：設(shè)，在上可測(cè)，則下列函數(shù)（假定它們?cè)谏嫌卸x）也在上可測(cè)：

①+；②||；③1/；④.；⑤都在上可測(cè)。

（3）性質(zhì)3：{}是上一列可測(cè)函數(shù)，則，也在上可測(cè)，特別當(dāng)存在時(shí)，它也在上可測(cè)。

證明（略）。

例：上的可微函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是可測(cè)函數(shù)。

注意：函數(shù)列收斂與函數(shù)列收斂于之間的不同。

（4）性質(zhì)4：R中的可測(cè)子集E上的單調(diào)函數(shù)必為可測(cè)函數(shù)。

定義：（幾乎處處成立）設(shè)是一個(gè)與集合的點(diǎn)有關(guān)的命題，如果存在的子集，適合，使得在＼上恒成立，也就是說(shuō)，＼[成立]=零測(cè)度集，則我們稱(chēng)在上幾乎處處成立，或說(shuō)a.e.于成立。

2.2 可測(cè)函數(shù)的收斂性關(guān)系與區(qū)別

定義：（依測(cè)度收斂）設(shè)是上的一列a.e.有限的可測(cè)函數(shù)，若有上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)滿(mǎn)足下列關(guān)系：對(duì)任一有，則稱(chēng)函數(shù)列依測(cè)度收斂于，或度量收斂于。記為：

改用說(shuō)法：對(duì)任意>0及，存在整數(shù)，使時(shí)，。

測(cè)度收斂和我們熟知的處處收斂或幾乎處處收斂概念是有很大區(qū)別的。

盡管兩種收斂區(qū)別很大，一種收斂不能包含另一種收斂，但是下列定理反映出它們還是有密切聯(lián)系的。

定理1：（里斯）設(shè)在上測(cè)度收斂于，則存在子列在上a.e.收斂于。

定理2：（勒貝格）設(shè)（1）；（2）是上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列；（3）在上a.e.于a.e.有限的函數(shù)，則。

上面定理說(shuō)明a.e.收斂的函數(shù)列在何時(shí)成為以測(cè)度收斂的。要注意，這個(gè)條件是不能去掉的。再結(jié)合例1，在條件下，測(cè)度收斂弱于a.e.收斂。

定理3：設(shè)，，則在上幾乎處處成立。

證明（略）。

2.3 可測(cè)函數(shù)的逼近

在數(shù)學(xué)分析中知道，一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，它能保證極限過(guò)程和一些運(yùn)算的可交換性。但一般而言，一個(gè)收斂的函數(shù)列在其收斂域上是不一定一致收斂的。例如在[]上不一致收斂。但是只要從[]的右端點(diǎn)去掉任何小的一段成為[]，則{}在其上就一致收斂了。其實(shí)這一現(xiàn)象在某種意義下是帶有普遍性的。但有兩個(gè)問(wèn)題是必須考慮的：（1）什么樣的函數(shù)可以用好的函數(shù)按某種收斂意義逼近？（2）幾種收斂性的關(guān)系如何？這就是下面要講的Egoroff定理。

引理：設(shè)，上的一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，a.e.于，且||a.e.于，則對(duì)任意和任意正整數(shù)n，作，我們有

推論：設(shè)，上一列a.e.收斂于一個(gè)a.e.有限的函數(shù)的可測(cè)函數(shù)列，則對(duì)任意有。

定理：（Egoroff）設(shè)，是上一列a.e.收斂于一個(gè)a.e.有限的函數(shù)的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意，存在子集，使在上一致收斂，且。

3 結(jié)語(yǔ)

本文章先給出了可測(cè)函數(shù)定義，討論了它的性質(zhì)，逐步進(jìn)入了并討論了一般函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)、可積函數(shù)以及它們之間的關(guān)系。這個(gè)定理告訴我們，凡是滿(mǎn)足定理假設(shè)的a.e.收斂的可測(cè)函數(shù)列，即使不一致收斂，也是“基本上”（指去掉一個(gè)測(cè)度可任意小的某點(diǎn)集外）一致收斂的。

參考文獻(xiàn)

[1] 程其蘘，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 江澤堅(jiān)，吳智泉，紀(jì)友清.實(shí)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 徐森林.實(shí)變函數(shù)論[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.endprint