基于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資策略研究

王永茂， 祁曉玉， 贠小青

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004； 2.燕山大學(xué) 里仁學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

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基于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資策略研究

王永茂1， 祁曉玉1， 贠小青2

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004； 2.燕山大學(xué) 里仁學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

基于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，對(duì)有限分紅率下公司分紅和注資的最優(yōu)策略進(jìn)行了深入研究，以便實(shí)現(xiàn)公司風(fēng)險(xiǎn)最小化或者股東凈收益最大化的目的.首先根據(jù)保險(xiǎn)公司的盈余過程推導(dǎo)了值函數(shù)V(x)的具體表達(dá)式，證明了值函數(shù)V(x)具有的某些性質(zhì)，然后建立V(x)滿足的HJB方程，通過對(duì)方程的研究得到保險(xiǎn)公司最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資策略，并給出了最優(yōu)注資上限和最優(yōu)注資下限.最后對(duì)公司面臨破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)是否選擇注資以及注資量大小進(jìn)行了探討.

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型； 分紅策略； 注資策略； HJB方程

0 引言

隨著保險(xiǎn)市場(chǎng)的高速發(fā)展，策略由分紅開始逐步拓展到注資、再保險(xiǎn)等領(lǐng)域.公司一般通過控制某些組合策略來滿足預(yù)定的目標(biāo)函數(shù)，從而得到最優(yōu)的分紅策略和注資策略，使公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，或者使股東的利益達(dá)到最大.在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下，文[1-2]認(rèn)為隨機(jī)控制問題很難找到清晰解，只能在閡值策略中尋求最優(yōu)解.文[3]研究了資產(chǎn)注入過程的最優(yōu)控制問題，文[4]對(duì)保險(xiǎn)效用最大化理論進(jìn)行了分析，文[5]給出了最優(yōu)分紅值的估計(jì)方法，文[6]對(duì)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，文[7]進(jìn)一步研究了分紅控制過程的最優(yōu)停止問題.

本文基于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，對(duì)有限分紅率下公司分紅和注資的最優(yōu)策略進(jìn)行了研究.

1 模型建立

設(shè)t時(shí)刻，保險(xiǎn)公司盈余表示為

其中，x∈R為初始準(zhǔn)備金，c>0為保費(fèi)收入率，{Ui,i≥1}是一列正的且相互獨(dú)立同分布的實(shí)際變量序列，表示第i次索賠的大小，分布函數(shù)為F(x)，{Nt,t≥0}為索賠計(jì)數(shù)過程，是一個(gè)參數(shù)為λ>0的Possion過程，{Ui,i≥1}和{Nt,t≥0}相互獨(dú)立.假設(shè)EUi=μ<∞且F(x)連續(xù).{Xt}在空間(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)上，Ex和Px代表初值為x的期望和概率.

用{Dt}和{Zt}表示截止到t時(shí)刻的累積分紅和累積注資，在原模型的基礎(chǔ)上，本文引入策略π={(Dt,Zt)}:

1) {Dt}是右連續(xù)的具有左極限的增的適應(yīng)過程，滿足D0-=0；

2) {Zt}是左連續(xù)的具有右極限的增的適應(yīng)過程，滿足Z0=0.

則新的盈余過程可以表示為

目標(biāo)函數(shù)是最大化股東的折現(xiàn)分紅與折現(xiàn)注資二者之差的期望值，即股東的凈收益.因此，定義π對(duì)應(yīng)的值函數(shù)為

2 值函數(shù)V(x)的性質(zhì)

定理1如果定義注資策略為

那么對(duì)于x∈R+，在任意可能的分紅策略下，值函數(shù)都有下界-φλμ/δ.

證明在定理1定義的注資策略假設(shè)下，公司破產(chǎn)的時(shí)刻為∞.股東可能承擔(dān)一切索賠，如果不考慮分紅，這時(shí)的值函數(shù)達(dá)到最小.第k個(gè)索賠的到達(dá)時(shí)刻Tk服從Γ(λ,k)分布，則

所以值函數(shù)有下界-φλμ/δ.

定理2V(x)在(-∞，+∞)上是增的Lipschitz連續(xù)的函數(shù)，并且

證明V(x)是增函數(shù)是顯然的.當(dāng)x<0時(shí)，若定義策略π：Zt=Ut=0，則V(x)≥Vπ(x)=0.因?yàn)閂(x)是增函數(shù)，所以V(x)≥0，x∈R.若Zt=0，Ut=u0,則

(1)

由定理1，則

當(dāng)x≥0時(shí)，令h>0充分小，定義

因此

根據(jù)V(x)的有界性，

0≤V(x+ch)-V(x)≤V(x+ch)(1-e-(λ+δ)h)≤

V(x+ch)(λ+δ)h≤u0δ-1(λ+δ)h.

當(dāng)x<0時(shí)，股東注資h后，應(yīng)用最優(yōu)策略，則

V(x)≥V(x+h)-φh，

即V(x+h)-V(x)≤φh,由此可證明V(x)在(-∞,+∞)上的Lipschitz連續(xù)性.

3 HJB方程和最優(yōu)策略

c為保費(fèi)收入率，u表示分紅率，δ,φ分別表示折現(xiàn)因子和罰金因子，由文[8]以及V(x)滿足的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理,

可以得到V(x)在[0,∞]上滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman方程為

(2)

首先，由于u(1-V′(x))關(guān)于u是線性的，最大化u(1-V′(x))的u*為

若V(x)在[0,∞]是凹的，那么存在最優(yōu)分紅限b=inf{x:V′(x)≤1}滿足

并且存在邊界a0=sup{x,V′(x)≥φ}.若盈余小于a0，根據(jù)z*，股東會(huì)采取如下策略：

1) 若赤字大于z*，股東選擇拒絕注資，公司破產(chǎn)；

2) 若赤字小于z*，如果注資，就必須讓盈余過程恢復(fù)a0.若a0<0，注資不會(huì)使公司擺脫破產(chǎn).

綜上考慮，本文定義注資上限為a=a0∨0.

4 結(jié)論

由于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型具有索賠不確定性，索賠很大時(shí)很可能會(huì)產(chǎn)生赤字，因此每一次注資都相當(dāng)于投資，投資能不能得到合理的回報(bào)，就要股東進(jìn)行判斷，選擇出最佳的注資策略. 用b表示最優(yōu)分紅限，若值函數(shù)V(x)在[0,∞]是凹的，那么對(duì)于股東來說，最優(yōu)策略是公司盈余在(0，b)上，不采取分紅和注資.若超出了b，公司就要以最大分紅率u0對(duì)股東進(jìn)行分紅.公司發(fā)生赤字時(shí)，如果赤字小于z*，股東應(yīng)選擇注資至0點(diǎn)，使公司繼續(xù)經(jīng)營，而如果赤字超過z*，就無需注資，公司選擇破產(chǎn).

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(責(zé)任編輯：王海科)

Optimal Dividend and Capital Injection Strategy in Classical Risk Model

WANG Yong-mao1， QI Xiao-yu1， YUN Xiao-qing2

(1.DepartmentofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China;2.CollegeofLiren,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

Based on the classical risk model, the optimal dividend and injection were studied to minimize the risks for the company or maximize the shareholder’s profit when the dividend was restricted. Firstly, the surplus process of insurance company was explored, and the value functionV(x) was presented. Secondly, some properties of the value functionV(x) were examined, then the HJB equations were established. And the optimal dividend and capital injection strategies were found. At the same time, the capital injection boundary was put forward. Finally, whether to inject and the amount of injection were discussed when facing the risk of bankruptcy.

classical risk model; dividend strategy; capital injection strategy; HJB equation

2015-01-13

王永茂(1958-)，男，河北阜城人，教授，主要從事保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)分析、金融數(shù)學(xué)研究，E-mail:mrymw@ysu.edu.cn；通訊作者：祁曉玉(1988-)，女，河北石家莊人，碩士研究生，主要從事壽險(xiǎn)精算研究，E-mail:qxysjz@sina.com.

王永茂，祁曉玉，贠小青. 基于經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅和最優(yōu)注資策略研究[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015,47(2)：37-40.

F842.62

A

1671-6841(2015)02-0037-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.008