Fibonacci數(shù)列一類推廣數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用

文/黃秋茂

(作者單位：汕頭市潮陽建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)校)

Fibonacci數(shù)列一類推廣數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用

文/黃秋茂

使用矩陣的方法，對(duì)Fibonacci數(shù)列的一類推廣數(shù)列{fn}進(jìn)行深入的討論，得到它的矩陣，并得到相應(yīng)的性質(zhì)，同時(shí)也涉及了這類數(shù)列的一些應(yīng)用問題。

Fibonacci數(shù)列;通項(xiàng)公式;矩陣

主要內(nèi)容

矩陣表示形式:

行列式形式:

隨著人們對(duì)Fibonacci數(shù)列的深入研究，F(xiàn)ibonacci數(shù)列的推廣形式也進(jìn)一步豐富起來，如彭黎霞的《三階Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用》，就通過對(duì)三階Fibonacci數(shù)列的分析，求得通項(xiàng)公式，并得到一些性質(zhì)，同時(shí)舉例加以應(yīng)用。本文利用高等代數(shù)的方法，對(duì)Fibonacci數(shù)列的推廣數(shù)列{fn}進(jìn)行定義，即f0=1,f1=1,f2=1,,當(dāng)n≥2時(shí),fn+1=fn+fn-2，同時(shí)求得相應(yīng)的矩陣，并得到與Fibonacci數(shù)列相似的性質(zhì)，并舉例加以應(yīng)用。

1.fn+1=fn+fn-2數(shù)列與fn+1=fn+fn-2矩陣

定義1數(shù)列{fn},f0=1,f1=1,f2=1,fn+1=fn+fn-2,n=2,3,4….稱數(shù)列{fn}為Fibonacci數(shù)列的推廣數(shù)列.

定理1對(duì)于{fn},有

證:當(dāng)n=3時(shí),

等式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立.即

當(dāng)n=k+1時(shí),

即等式成立.

綜上所述,對(duì)于一切大于或等于3的正整數(shù)n都成立.證畢.

2.Fibonacci數(shù)列一類推廣數(shù)列{fn}中的性質(zhì)

性質(zhì)1 對(duì)于{fn}中三個(gè)連續(xù)的數(shù),它們的最大公因子為1.即(fn+2,fn+1,fn)=1

證由推論1得

將它們按第一列展開得:

設(shè)(fn+2,fn+1,fn)=d,則有d=1,即(fn+2,fn+1,fn)=1.

3.數(shù)列{fn}通項(xiàng)的組合數(shù)和形式

設(shè)爬n階樓梯,一次可跨三階或一階,爬到n階時(shí)不同的方法有多少種?

即得.

定理4 對(duì)于Fibonacci數(shù)列一類推廣數(shù)列{fn},有

4.數(shù)列{fn}在組合上的應(yīng)用

例1有雌雄一對(duì)兔子,假定過三個(gè)月后,每個(gè)月便可繁殖雌雄各一的一對(duì)小兔子,小兔子經(jīng)過三個(gè)月后,每一對(duì)兔子每個(gè)月也能繁殖雌雄各一的一對(duì)小兔子.問過n個(gè)月后共有多少對(duì)兔子?

分析:設(shè)第n個(gè)月底,共有F(n)對(duì)兔子.易知F(1)=1,F(2)=1,F(3)=2.當(dāng)n≥4時(shí),第F(n)個(gè)月底,共有F(n)對(duì)兔子,他們可分成如下兩類:①在第n-1個(gè)月或以前出生的兔子.屬于此類的兔子共有F(n-1)對(duì).②在第n個(gè)月出生的兔子.屬于此類的兔子是由第n-3個(gè)月底的F(n-3)對(duì)兔子的繁殖.故共有F(n-3)對(duì)兔子.由加法原則,有F(n)=F(n-1)+F(n-3).

例2現(xiàn)有紅藍(lán)兩種顏色的小球(兩種小球的數(shù)量都足夠多)，將其排成一行，要求每個(gè)藍(lán)球的后面至少有兩個(gè)紅球，假設(shè)一行有n個(gè)位置，問滿足條件的排法有多少種。

分析：設(shè)共有f(n)種不同的排法。當(dāng)n=1時(shí)，這時(shí)只有一個(gè)位置，這時(shí)只能放紅球，藍(lán)球不滿足要求，這時(shí)只有一種排法，可得f(1)=1；當(dāng)n=2時(shí)，這時(shí)有兩個(gè)位置，但只能放兩個(gè)紅球，藍(lán)球放在任何一個(gè)位置都不合適，這時(shí)只有一種排法，可得f(2)=1；當(dāng)n>2時(shí)，這時(shí)有三個(gè)或更多的位置，如果第一個(gè)位置放置紅球，則后面的n-1個(gè)位置只要按要求排放即可，有f(n-1)中排法，如果第一個(gè)位置放藍(lán)球，根據(jù)要求后面兩個(gè)位置只能放紅球，則后面n-3個(gè)位置有f(n-3)種排法，綜合起來有f(n)=f(n-1)+f(n-3)，且f(1)=1，f(2)=1，即排法f(n)構(gòu)成Fibonacci數(shù)列。

例3某社團(tuán)社長(zhǎng)要把某個(gè)通知傳達(dá)下去，他決定在QQ上把通知傳達(dá)出去(不考慮群發(fā))，他把這則通知發(fā)給兩個(gè)社員，兩位社員收到消息后也立即轉(zhuǎn)發(fā)給其他人，假設(shè)兩位部長(zhǎng)每人轉(zhuǎn)發(fā)通知兩次，其他人收到通知后也會(huì)同樣轉(zhuǎn)發(fā)兩次，同時(shí)假設(shè)這中間沒有重復(fù)現(xiàn)象出現(xiàn)，發(fā)送和轉(zhuǎn)發(fā)一次需要1秒鐘，并且轉(zhuǎn)發(fā)后需要隔一秒鐘才能再轉(zhuǎn)發(fā)一次，則10秒鐘后，有多少人收到通知？

分析:根據(jù)題意可知，第一秒鐘，社長(zhǎng)發(fā)送通知，第二秒鐘有一個(gè)部長(zhǎng)接到通知，到了第三秒鐘，共有兩個(gè)人新接到通知，第四秒鐘就有1+2=3人接到通知，第五秒鐘發(fā)布社長(zhǎng)已經(jīng)通知了兩個(gè)部長(zhǎng)就不再通知其他人了，此時(shí)接到通知的人有1+3=4人，依次類推，到了第n秒鐘，接到通知的人數(shù)剛好是前一秒鐘接到通知人數(shù)與前三秒鐘接到通知人數(shù)的總和，如此則剛好構(gòu)成Fibonacci數(shù)列，則有10秒鐘后接到通知的人數(shù)是f0+f1+f2+…+f10=87。

(作者單位：汕頭市潮陽建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)校)

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黃秋茂，漢，汕頭市潮陽建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)校，助理講師，學(xué)歷：本科。

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