復(fù)雜船舶圍壁的傳熱多項(xiàng)式傳遞函數(shù)辨識

李偉光，楊海燕，李麗，李安邦，徐新華

1 中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北武漢430064

2 華中科技大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢430074

0 引 言

船舶空調(diào)系統(tǒng)耗能占船舶用能的很大比例，降低其能耗對整個船舶行業(yè)的節(jié)能減排具有重要意義。空調(diào)負(fù)荷計(jì)算是空調(diào)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，是選擇空調(diào)設(shè)備容量的依據(jù)。目前，船舶的空調(diào)負(fù)荷計(jì)算采用穩(wěn)態(tài)算法，但得到的空調(diào)負(fù)荷與艙室實(shí)際負(fù)荷相差很大。實(shí)際上，由于船舶的流動性，隨著艙外溫度、海水溫度、船舶行進(jìn)速度及太陽輻射條件的變化，艙室內(nèi)的空調(diào)負(fù)荷也隨之變化。同時，船舶圍壁本身存在蓄熱性，外界熱擾通過圍壁傳入艙室會有時間上的延遲和幅值的衰減。因此，分析船舶圍壁的動態(tài)傳熱對船舶空調(diào)負(fù)荷準(zhǔn)確計(jì)算和船舶節(jié)能具有重要意義。國內(nèi)外關(guān)于船舶圍壁傳熱的研究很少，大多采用穩(wěn)態(tài)計(jì)算，傳熱系數(shù)則直接根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)［1］和手冊［2］提供的參考值或者簡化算法來獲取。

目前，在建筑空調(diào)負(fù)荷計(jì)算和能耗分析中采用的動態(tài)傳熱計(jì)算方法為反應(yīng)系數(shù)法［3］和z 傳遞函數(shù)法［4］。通常采用直接求根法在頻域內(nèi)求解熱傳導(dǎo)偏微分方程和傅立葉方程獲得反應(yīng)系數(shù)和z傳遞系數(shù)，這種方法存在求根困難、失根等缺點(diǎn)。狀態(tài)空間法［5］、時域法［6］也可求取反應(yīng)系數(shù)和z 傳遞系數(shù)，但需要長時間的迭代過程。陳友明等［7］提出了一種計(jì)算圍護(hù)結(jié)構(gòu)動態(tài)傳熱的方法——頻域回歸法。該方法基于系統(tǒng)辨識理論，推導(dǎo)計(jì)算出圍護(hù)結(jié)構(gòu)動態(tài)傳熱的理論頻域熱特性，再用辨識算法從得到的理論頻域熱特性中獲得圍護(hù)結(jié)構(gòu)的一些簡單又等價的數(shù)學(xué)模型，即s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算圍護(hù)結(jié)構(gòu)傳熱的反應(yīng)系數(shù)與z傳遞函數(shù)。在已知室內(nèi)、外邊界的條件下，由圍護(hù)結(jié)構(gòu)傳熱的反應(yīng)系數(shù)或z 傳遞函數(shù)可以計(jì)算圍護(hù)結(jié)構(gòu)壁面的瞬時熱流。獲取船舶圍壁的傳熱傳遞函數(shù)是采用反應(yīng)系數(shù)法或者z 傳遞函數(shù)法計(jì)算船舶動態(tài)傳熱的前提，對于船舶圍壁等不規(guī)則結(jié)構(gòu)，其傳熱傳遞函數(shù)很難通過理論推導(dǎo)得出。

根據(jù)系統(tǒng)辨識理論，在系統(tǒng)頻域特征已知的情況下，可以通過參數(shù)辨識的方法獲取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。頻域有限差分（FDFD）法可以直接、快速地計(jì)算線性熱力系統(tǒng)的頻域熱特性［8］。本文擬通過建立復(fù)雜船舶圍壁的頻域有限差分模型來獲取該結(jié)構(gòu)的理論頻域熱特性，然后采用參數(shù)辨識方法，對構(gòu)造的復(fù)雜船舶圍壁s-多項(xiàng)式傳熱傳遞函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行辨識。s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)計(jì)算得到的頻域熱特性與FDFD 模型計(jì)算得到的頻域熱特性的比較結(jié)果說明了辨識的s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)能很好地反映船舶圍壁的動態(tài)熱特性。

1 船舶圍壁物理模型

船舶圍壁結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，文獻(xiàn)［1］列出了不同隔熱材料、尺寸的船舶圍壁隔熱結(jié)構(gòu)形式。隔熱結(jié)構(gòu)可分為有金屬骨架的和無金屬骨架的絕熱結(jié)構(gòu)，絕熱結(jié)構(gòu)由絕熱材料、面板和木襯條組成。本文選取其中典型的一種有空氣層的隔熱結(jié)構(gòu)［9］進(jìn)行分析研究。該種船舶圍壁結(jié)構(gòu)組成及尺寸（單位：mm）如圖1 所示，各部分材料的物理特性參數(shù)如表1 所示。船舶圍壁內(nèi)部空氣層不考慮對流作用，認(rèn)為是純導(dǎo)熱，空氣層的導(dǎo)熱系數(shù)取為當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)［2］，圍壁內(nèi)、外表面換熱系數(shù)分別取為8 W/（m2·K）和80 W/（m2·K）［1］。

圖1 船舶圍壁結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of ship casing wall

表1 結(jié)構(gòu)各部分的物理特性參數(shù)Tab.1 Physical parameters of ship casing wall material

2 傳遞函數(shù)法

2.1 船舶圍壁傳遞函數(shù)的基本描述

系統(tǒng)的s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)G(s) 表征了系統(tǒng)的特性，定義為：初始條件為零時，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。當(dāng)已知熱擾T(s)時，由圍壁的s 傳遞函數(shù)G(s)，就可以得到圍壁的輸出響應(yīng)，即Q(s)=G(s)T(s)。船舶圍壁材料的物理特性參數(shù)可以認(rèn)為是定常的，因此船舶圍壁系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)，具有疊加性。船舶圍壁傳熱的輸入、輸出響應(yīng)可以用傳遞矩陣（1）表示：

式中：GX(s)，GZ(s)為圍壁內(nèi)表面和外表面吸熱s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)；GY(s)，GY'(s)分別為圍壁由外到內(nèi)和由內(nèi)到外的橫向傳熱s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)；Tout(s)為艙外空氣綜合溫度；Tin(s)為艙內(nèi)空氣溫度；Qout(s)為圍壁外表面熱流；Qin(s)為圍壁內(nèi)表面熱流。對于平板型圍護(hù)結(jié)構(gòu)，G(s)可以通過對其傳熱微分方程作拉氏變換推導(dǎo)得出。但是船舶圍壁結(jié)構(gòu)不規(guī)則，其傳熱傳遞函數(shù)無法通過理論推導(dǎo)得出。由于船舶圍壁是線性定常系統(tǒng)，可以認(rèn)為其傳熱傳遞函數(shù)具有多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的形式，即

本文將通過建立船舶圍壁的FDFD 模型來計(jì)算該結(jié)構(gòu)的頻域熱特性，并采用參數(shù)辨識的方法來辨識復(fù)雜船舶圍壁s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的系數(shù)。

2.2 頻域有限差分模型

FDFD 模型的基本原理是：采用經(jīng)典有限差分法將二維模型離散成一系列的單元格，每個單元格由4 個熱阻和1 個熱容組成，如圖2 所示；然后建立各單元的傳熱方程并進(jìn)行頻域求解，最終得到模型的頻域熱流響應(yīng)。熱容節(jié)點(diǎn)的溫度可以表示成振幅為、頻率為ω、初相位為Φ 的復(fù)指數(shù)形式，如式（3）所示。每個單元格與相鄰4 個單元格的能量平衡方程如式（4）所示。將式（3）的表達(dá)式代入式（4），可以得到式（5）的熱流平衡方程。最后，聯(lián)立每個節(jié)點(diǎn)的熱流平衡方程得到船舶圍壁整個計(jì)算區(qū)域內(nèi)的熱流平衡方程組。

圖2 船舶圍壁的離散模型Fig.2 Discrete model of ship casing wall

給定不同頻率的邊界諧波熱擾，對船舶圍壁整個計(jì)算域內(nèi)的熱流平衡方程組進(jìn)行求解，可以得出各個節(jié)點(diǎn)的u 和v，即獲得了船舶圍壁的頻域熱特性。從而進(jìn)一步由式（1）可以得到船舶圍壁的內(nèi)表面吸熱理論頻域熱特性GX(jω)、外表面吸熱理論頻域熱特性GY(jω)以及橫向傳熱理論頻域熱特性GZ(jω)。

2.3 s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)參數(shù)辨識

本文對船舶圍壁的s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的辨識實(shí)質(zhì)是求得合適的s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的系數(shù)，以使其頻域熱特性與理論頻域熱特性（由FDFD 模型計(jì)算得到）相一致。船舶圍壁的多項(xiàng)式傳遞函數(shù)如式（2）所示，將s=jω 代入其中，就可以得到該多項(xiàng)式函數(shù)的頻域熱特性。船舶圍壁傳遞函數(shù)的辨識過程可以描述為一個最優(yōu)化問題：求得系數(shù)β0，β1，β2，…，βr和α1，α2，…，αm使得在給定頻域范圍內(nèi)的目標(biāo)函數(shù)（9）最小。本文采用最小二乘法求解此優(yōu)化問題，所選取的頻域范圍為10-8～10-3rad/s，具體的求解過程可參考文獻(xiàn)［7］。

式中：ωk表示第k 個頻率點(diǎn)；IM(·)表示取復(fù)數(shù)的虛部；RE(·)表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部；N 表示所選取頻率點(diǎn)的總數(shù)。

3 計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)FDFD 模型計(jì)算得到10-8～10-3rad/s 頻域范圍內(nèi)船舶圍壁的頻域熱特性，進(jìn)而通過參數(shù)辨識得到等價的s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)，如式（10）～式（12）所示。

將s=jω 代入式（10）～式（12）便可得到s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的頻域熱特性，即FDFD 模型可以計(jì)算得到船舶圍壁的理論頻域熱特性，即GX(jω)，GY(jω)，GZ(jω)。s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的頻域熱特性與FDFD 模型的理論頻域熱特性的比較如圖3～圖5 所示。

由圖可見，兩者的頻域熱特性曲線非常吻合，變化趨勢一致。在低頻區(qū)域，船舶圍壁內(nèi)表面吸熱頻域熱特性與橫向傳熱頻域熱特性的幅值基本不變，相位角接近于0。在高頻區(qū)域，頻域熱特性的幅值和相位角隨頻率的變化較大，船舶圍壁內(nèi)表面吸熱頻域熱特性的幅值是隨頻率的增加而增加，橫向傳熱頻域熱特性的幅值是隨頻率的增加而減小，內(nèi)表面吸熱和橫向傳熱頻域熱特性的相位角隨頻率增加而減小。在頻率為10-5rad/s（周期為174 h，即7 d）時，船舶圍壁內(nèi)表面吸熱頻域熱特性與橫向傳熱頻域熱特性的幅值和相位角開始出現(xiàn)較大變化，船舶圍壁傳熱呈現(xiàn)出明顯的動態(tài)特征。結(jié)果說明，由參數(shù)辨識方法得到的s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)可以很好地反映船舶圍壁（FDFD 模型）的動態(tài)熱特性。圖3～圖5 的頻域熱特性也進(jìn)一步說明了在實(shí)際周圍環(huán)境的周期變化下，圍壁的動態(tài)特性很強(qiáng)，在進(jìn)行傳熱計(jì)算時需要考慮其動態(tài)特性。

圖3 船舶圍壁內(nèi)表面吸熱頻域熱特性曲線Fig.3 Frequency responses of internal heat conduction of ship casing wall

圖4 船舶圍壁外表面吸熱頻域熱特性曲線Fig.4 Frequency responses of external heat conduction of ship casing wall

圖5 船舶圍壁橫向傳熱頻域熱特性曲線Fig.5 Frequency responses of cross heat conduction of ship casing walls

4 結(jié) 語

本文構(gòu)造了復(fù)雜船舶圍壁的多項(xiàng)式傳熱傳遞函數(shù)，以該圍壁的FDFD 模型計(jì)算的理論頻域熱特性為參考，采用參數(shù)辨識算法辨識了多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的系數(shù)。s-多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的頻域熱特性曲線與FDFD 模型的理論頻域熱特性曲線能很好地吻合，在低頻區(qū)域，船舶圍壁內(nèi)表面吸熱頻域熱特性與橫向傳熱頻域熱特性的幅值和相位角基本不變，在高頻區(qū)域（周期約小于7 d），頻域熱特性的幅值和相位角隨頻率的變化較大，船舶圍壁傳熱呈現(xiàn)明顯的動態(tài)特征。結(jié)果表明，通過參數(shù)辨識得到的多項(xiàng)式傳遞函數(shù)可以很好地反映船舶圍壁的動態(tài)熱特性，也進(jìn)一步說明了在實(shí)際周圍環(huán)境的周期變化下圍壁的動態(tài)特性很強(qiáng)，在進(jìn)行傳熱計(jì)算時需要考慮其動態(tài)特性。

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