一種無(wú)奇異參數(shù)橢圓柱形電磁隱身斗篷的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)理論

劉冶，李竹影，趙林，俞翔，曹文康

（海軍工程大學(xué)，武漢 430033）

超材料電磁隱身斗篷是21世紀(jì)初提出的一類新型電磁隱身裝置，與采用吸波材料[1—2]、縮小散射截面、將波反射到其他方向、雷達(dá)干擾技術(shù)和偽裝技術(shù)等傳統(tǒng)隱身方式不同。隱身斗篷的實(shí)現(xiàn)是基于空間等效的原理，將超材料介質(zhì)所在的變換空間與原自由空間通過(guò)變換光學(xué)理論進(jìn)行等效[3—4]，使得電磁波在超材料介質(zhì)中的傳輸不產(chǎn)生散射現(xiàn)象。因此對(duì)外界觀測(cè)者而言，電磁波被認(rèn)為一直在自由空間中傳播而未曾遇到障礙物，從而實(shí)現(xiàn)了隱身斗篷及其內(nèi)部散射體對(duì)電磁波的隱身。隨著2006年世界上第一個(gè)圓柱形簡(jiǎn)化參數(shù)電磁隱身斗篷的問(wèn)世[5]，科學(xué)界很快掀起對(duì)隱身斗篷研究的熱潮[6—11]。正是在2006年，美國(guó)《Science》雜志將該項(xiàng)研究列為年度十大科技進(jìn)展之一。除了隱身斗篷外，人們將變換光學(xué)理論的應(yīng)用也拓展到了其他功能性電磁隱身裝置，如透明體[12]、聚焦器[13]、幻影裝置[14]、波長(zhǎng)變換器[15]、場(chǎng)旋轉(zhuǎn)器[16]等。

雖然理想?yún)?shù)的斗篷在理論上具有近乎完美的電磁隱身特性，但由于其理想?yún)?shù)存在奇異性（即在斗篷區(qū)域的內(nèi)邊界上電磁參數(shù)的值為無(wú)窮大），使得這類理想斗篷在物理實(shí)現(xiàn)上遇到很大的困難，要在工程上完全實(shí)現(xiàn)斗篷的理想?yún)?shù)基本不大可能。因此科學(xué)家們開始尋找克服斗篷參數(shù)奇異性的方法，如線變換方法[17]、“地毯式”斗篷的提出[18]、大尺度物體隱身裝置的設(shè)計(jì)[19]等?；趯?duì)前述設(shè)計(jì)原理與方法的研究，文中基于線變換法，對(duì)無(wú)奇異參數(shù)橢圓柱形斗篷的電磁參數(shù)設(shè)計(jì)進(jìn)行了理論研究和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，通過(guò)在直角坐標(biāo)系下設(shè)計(jì)出合理的空間坐標(biāo)變換式，最終完成對(duì)該無(wú)奇異參數(shù)斗篷的設(shè)計(jì)。

1 線變換法

從拓?fù)鋵W(xué)[20]的角度來(lái)看，應(yīng)用變換光學(xué)原理推導(dǎo)理想斗篷的電磁參數(shù)張量時(shí)會(huì)涉及到空間的壓縮，即原空間的一點(diǎn)將被拉伸為變換空間的一條封閉曲線，這種非同胚變換會(huì)導(dǎo)致奇異值的產(chǎn)生。線變換法的基本思路是通過(guò)引入遠(yuǎn)離模型中心點(diǎn)的封閉曲線，使得在空間變換過(guò)程中，該封閉曲線被拉伸為斗篷內(nèi)邊界曲線，此時(shí)的空間變換變?yōu)橥咦儞Q，使得斗篷電磁參數(shù)張量的奇異性消除。此處需要指出的是，線變換法中包含引入封閉曲線的近似處理，因此所設(shè)計(jì)的斗篷的隱身性能會(huì)受到一定影響。

2 無(wú)奇異參數(shù)橢圓柱形斗篷電磁參數(shù)張量的推導(dǎo)

2.1 斗篷對(duì)應(yīng)空間變換的設(shè)計(jì)

在原空間區(qū)域中引入一條封閉的且與斗篷內(nèi)外邊界同形的橢圓曲線，基于線變換的思想，得到空間變換圖，如圖1所示。

圖1 無(wú)奇異參數(shù)的橢圓柱形斗篷橫截面的空間變換Fig.1 The space transformation of the cross section of a non-singular elliptical cylindrical invisible cloak

從圖1中可以看出，無(wú)奇異參數(shù)的橢圓柱形斗篷的橫截面是由二維橢圓環(huán)狀空間壓縮而來(lái)。其中，從內(nèi)到外橢圓曲線的長(zhǎng)半軸分別為kc，ka，kb，短半軸為c，a，b，長(zhǎng)短軸比為k。此時(shí)，設(shè)原空間為（kc）2≤x2+k2y2≤（kb）2所圍成的橢圓環(huán)狀區(qū)域，變換后的橢圓環(huán)狀區(qū)域?yàn)椋╧a）2≤x2+k2y2≤（kb）2。因此，原空間任意一點(diǎn)M與變換空間的N點(diǎn)對(duì)應(yīng)，原空間曲線（x2+k2y2=（kc）2）上A點(diǎn)與變換空間曲線（x′2+k2y′2=（ka）2）上的C點(diǎn)對(duì)應(yīng)，曲線x2+k2y2=（kb）2，x′2+k2y′2=（kb）2在兩空間重合。上述空間變換過(guò)程在柱坐標(biāo)下的關(guān)系式為：

根據(jù)變換光學(xué)理論[2]，可以推導(dǎo)得到柱坐標(biāo)下，無(wú)奇異參數(shù)的橢圓柱形斗篷的電磁參數(shù)張量表達(dá)式為：

式（2）—（5）中，有：

2.2 橢圓柱形斗篷電磁參數(shù)的無(wú)奇異性驗(yàn)證

在推導(dǎo)出斗篷的電磁參數(shù)張量后，采用Matlab軟件計(jì)算出該張量表達(dá)式在斗篷坐標(biāo)區(qū)域的數(shù)值，已驗(yàn)證斗篷電磁參數(shù)張量的無(wú)奇異性。

在2.1節(jié)中的斗篷模型中，設(shè)內(nèi)外橢圓以及引入的小橢圓的短半軸分別為a=0.02 m，b=0.04 m，c=0.001 m，共形橢圓的長(zhǎng)短軸比均為k=4。應(yīng)用Matlab軟件對(duì)式（2）—（5）中的各個(gè)表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到的各個(gè)電磁參數(shù)值如圖2所示。

圖2 橢圓柱形斗篷的各個(gè)電磁參數(shù)分量值Fig.2 Each value of the electromagnetic components of elliptical cylindrical invisible cloak model in calculation

提取圖2中所顯示數(shù)值的極值，見表1。

表1 斗篷各個(gè)電磁參數(shù)的最大值和最小值Table 1 Maximum and minimum value of each electromagnetic parameter of the cloak

從表1可以看到，經(jīng)過(guò)線變換的處理后，橢圓柱形斗篷電磁參數(shù)各個(gè)分量的奇異性已消除，此時(shí)斗篷電磁參數(shù)表達(dá)式（2）—（5）的值均為有限值。

3 無(wú)奇異參數(shù)橢圓柱形斗篷的隱身性能驗(yàn)證

3.1 斗篷的仿真模型

采用2.2節(jié)中橢圓曲線的形狀參數(shù)，建立橢圓柱形斗篷的仿真模型如圖3所示。

圖3 無(wú)奇異參數(shù)的橢圓柱形斗篷的仿真模型Fig.3 The sketch map of the non-singular elliptical cylindrical invisible cloak model in simulation

如圖3所示，在仿真條件中，波源設(shè)為單位強(qiáng)度的平面橫磁波（TM平面波），工作頻率為8.5 GHz，求解域設(shè)為0.46 m×0.36 m的矩形區(qū)域。該區(qū)域的邊界設(shè)置為吸收邊界，橢圓曲線x′2+k2y′2=（kb）2設(shè)置為連續(xù)邊界，橢圓曲線x2+k2y2=（kc）2和x′2+k2y′2=（ka）2設(shè)置為理想磁導(dǎo)體邊界。電磁波的入射條件是TM波從矩形區(qū)域的左邊界進(jìn)行垂直入射。斗篷以外的區(qū)域設(shè)置為自由空間區(qū)域，即εr=μr=1?；谏鲜龇抡鏃l件，采用COMSOL Multiphysics有限元仿真軟件進(jìn)行數(shù)值分析，最終得到的仿真結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看到，當(dāng)TM波進(jìn)入斗篷區(qū)域時(shí)，其等相位面開始平滑地沿著斗篷的內(nèi)邊界彎曲，而當(dāng)TM波從斗篷區(qū)域透射至外部自由空間區(qū)域時(shí)，該波的等相位面又基本恢復(fù)成為平面，從而保持了初始的波形。從自由空間區(qū)域的磁場(chǎng)分布情況來(lái)看，在求解域的中軸線及附近位置處出現(xiàn)了磁場(chǎng)的擾動(dòng)，但從TM波在自由空間區(qū)域的整體傳播情況來(lái)看，TM波的波形基本上沒有發(fā)生明顯的變化。從求解域磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)值來(lái)看，其最大值為1.362 A/m，最小值為-1.312 A/m，與入射前波源的單位強(qiáng)度1 A/m相差并不大，說(shuō)明求解域中波的散射現(xiàn)象并不明顯，進(jìn)而反映了該斗篷對(duì)電磁波的隱身性能較好。從上述的仿真結(jié)果來(lái)看，基于線變換方法所設(shè)計(jì)的無(wú)奇異參數(shù)的橢圓柱形斗篷仍然具有良好的電磁隱身性能。

圖4 無(wú)奇異參數(shù)的橢圓柱形斗篷的磁場(chǎng)分布Fig.4 The magnetic field distribution of non-singular elliptical cylindrical invisible cloak

4 結(jié)論

基于線變換方法，通過(guò)設(shè)計(jì)合理的坐標(biāo)表達(dá)式，消除了橢圓形隱身斗篷電磁參數(shù)張量的奇異性。數(shù)值仿真結(jié)果顯示，電磁波在求解域傳播的過(guò)程中，在自由空間區(qū)域存在一定的磁場(chǎng)擾動(dòng)現(xiàn)象，但電磁波的波形在該區(qū)域基本保持不變，且電磁波在斗篷區(qū)域傳播時(shí)其波形產(chǎn)生了明顯的彎折，繞過(guò)了斗篷內(nèi)部區(qū)域。因此可以認(rèn)為，該斗篷雖然不能實(shí)現(xiàn)理想?yún)?shù)斗篷的完美隱身特性，但仍然具備良好的電磁隱身性能。

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