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    淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的抽象

    2015-02-04 06:54張秋爽
    關(guān)鍵詞:規(guī)律面積分類

    張秋爽

    提到數(shù)學(xué)思想,我們就會想到轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、對應(yīng)、函數(shù)、分類等?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》),明確了數(shù)學(xué)的“基本思想”主要有數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)模型的思想,因為這些思想既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的根本,也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以后應(yīng)該具備的思維能力。本文筆者將結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)剬?shù)學(xué)抽象的理解、分類及實踐。

    一、多角度地理解數(shù)學(xué)抽象

    數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科,無論概念、運算律還是公式等都是高度概括的結(jié)果。數(shù)學(xué)抽象就是把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部。人類通過數(shù)學(xué)抽象,從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則,從而建立了數(shù)學(xué)學(xué)科。如1,2,3,4等數(shù)是從具體實物抽象的結(jié)果,a-1,a,a+1這三個連續(xù)的自然數(shù)(a∈N且a≥1)也是從大量確定的實例中抽象出來的結(jié)果,點、線、面、體也是抽象出來的。

    那么對于數(shù)學(xué)抽象可以從哪幾個維度去理解呢?筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)抽象從教學(xué)內(nèi)容上分可以分為概念抽象、關(guān)系抽象、規(guī)律抽象和方法抽象等。

    (一)概念抽象

    這里的概念抽象是從廣義上而言的,教學(xué)內(nèi)容分別包括:數(shù)的抽象、圖形的抽象、概念、法則以及定律的抽象等。

    經(jīng)歷數(shù)的抽象過程:“2”是由“2個蘋果、2支筆、2粒扣子、2張桌子”等具體實物抽象出來的;分?jǐn)?shù)是測量或者分東西得不到整數(shù)的情況下產(chǎn)生的;負(fù)數(shù)表示意義相反的量,是從生活中的溫度計中的零下5℃、電梯的地下2層、吐魯番盆地的海拔高度、工資卡支出的錢數(shù)等實例中抽象出來的。

    經(jīng)歷圖形的抽象過程:空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形,從這句話中可以看出幾何圖形也是抽象出來的。如什么是圓?圓在生活中普遍存在,它是軸對稱圖形和中心對稱圖形。圓的認(rèn)識過程可以通過摸一摸、折一折、描一描、量一量等方法,讓學(xué)生建立對圓的直觀認(rèn)識,是脫離了生活中的光盤、井蓋、車輪子等具體實物的物理屬性而對形狀進(jìn)行抽象的結(jié)果。

    經(jīng)歷概念的抽象過程:封閉圖形一周的長度叫作周長;物體表面或平面圖形的大小叫作面積;含有未知數(shù)的等式叫作方程。這些概念本身只是描述性的定義,學(xué)生會背誦就代表他們已經(jīng)理解了嗎?顯然不是的,概念同樣需要讓學(xué)生經(jīng)歷抽象的過程。

    以“平均分”這個概念的學(xué)習(xí)為例,教師可舉多個例證,來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念的抽象。

    把8朵花放在2個花瓶里,每個花瓶里放4朵,每瓶插的同樣多就是平均分;

    把9個蘋果分給3個人,每個人分3個,每人得到同樣多就是平均分;

    把50本數(shù)學(xué)書分給50個人,每人得到1本,每人得到同樣多就是平均分。

    教師在給學(xué)生舉了多個例子之后,學(xué)生就能逐步感悟:分什么都可以,分多少份都行,只要每一份同樣多就是平均分。

    經(jīng)歷計算算理的抽象過程:對于計算教學(xué),“理解算理,掌握算法”是重中之重,要讓學(xué)生體會算理直觀和算法抽象的過程。以數(shù)的加減法為例,整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法,教師可給學(xué)生提供直觀模型:小棒、方格紙、人民幣等,讓學(xué)生體會計數(shù)單位相同才能相加減。

    經(jīng)歷計算算法的抽象過程:在計算算法的抽象中,以“萬以內(nèi)數(shù)的加法”一課為例,教師可以給學(xué)生出幾個算式,讓學(xué)生知道第一步要相同數(shù)位對齊,逐步體會“個位滿十向十位進(jìn)1,十位滿十向百位進(jìn)1,百位滿十向千位進(jìn)1”,當(dāng)然也包括連續(xù)進(jìn)位的例子。學(xué)生有了這些實例的體驗和感悟,就能抽象出“哪一位滿十就向前一位進(jìn)1”的結(jié)論。這個抽象過程運用了數(shù)學(xué)推理中的合情推理。

    (二)規(guī)律抽象

    “探索規(guī)律”在第一學(xué)段和第二學(xué)段都有涉及,《課程標(biāo)準(zhǔn)》對于第一學(xué)段的要求是“探索簡單情境下的變化規(guī)律”;對于第二學(xué)段要求是“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢”?!疤剿饕?guī)律”既是一個發(fā)現(xiàn)關(guān)系、發(fā)展思維的過程,也是經(jīng)歷規(guī)律獲得的抽象過程?!疤剿饕?guī)律”包括數(shù)的規(guī)律、形的規(guī)律、式的規(guī)律等,都是用已知推想未知。

    (三)關(guān)系抽象

    小學(xué)數(shù)學(xué)是一門關(guān)系學(xué)科,包括數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等。數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系有大小關(guān)系、相差關(guān)系、比率關(guān)系等。如王阿姨買了2千克梨、4千克蘋果。那么梨比蘋果少2千克,蘋果比梨多2千克;買的蘋果是梨的2倍,梨是蘋果的;蘋果和梨的比是2:1。這里倍數(shù)、份、分?jǐn)?shù)和比有著密切的聯(lián)系,它們的本質(zhì)是比率關(guān)系。

    在“數(shù)與代數(shù)”這個領(lǐng)域,除了數(shù)之間的關(guān)系,還有數(shù)量關(guān)系。加、減、乘、除四種運算體現(xiàn)著不同的數(shù)量關(guān)系。以乘法為例,隨著知識的豐富、年級的升高,學(xué)生認(rèn)識了單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系,理解了速度、時間、路程之間的關(guān)系,也掌握了工作效率、工作時間、工作總量之間的關(guān)系,就會發(fā)現(xiàn)其實它們都是求每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系,也就是乘法模型。這是一個循序漸進(jìn)、逐步抽象的過程。

    在“圖形與幾何”領(lǐng)域,圖形之間可以有全等關(guān)系或相似關(guān)系等;從圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系角度可以分為包含關(guān)系、交叉關(guān)系等。如在平面圖形中,長方形、正方形和平行四邊形都是四邊形,它們之間具有怎樣的關(guān)系呢?正方形是特殊的長方形,長方形是特殊的平行四邊形??梢杂孟聢D表示它們之間的關(guān)系:

    (四)思想方法的抽象

    由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的下一層次的思想包括:分類、集合、數(shù)形結(jié)合、“變中有不變”、符號表示、對稱、對應(yīng)、有限與無限的思想等。教師在教學(xué)中,不僅要讓學(xué)生習(xí)得方法,更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程,并在教學(xué)中有意識地滲透思想方法。

    如“分類”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會遇到分類問題,如數(shù)的分類、圖形的分類、代數(shù)式的分類、函數(shù)的分類等。在研究數(shù)學(xué)問題中,常常需要通過分類討論解決問題,分類的過程就是對事物共性的抽象過程。

    “分與合”也是一種重要的思想方法。數(shù)的認(rèn)識中就有“分與合”的思想,如1234是由1個千、2個百、3個十和4個一組成的,10.34是由1個10、3個0.1和4個0.01組成的……數(shù)的計算也是如此,計算123×4,就是把100個4、20個4和3個4合起來;除數(shù)是一位數(shù)的除法,先分整捆的,再分單根,最后把分的結(jié)果合起來。計算中也運用到了“分與合”的思想,如以下算式:endprint

    平面圖形面積的學(xué)習(xí)則離不開“轉(zhuǎn)化”。長(正)方形面積的計算方法是利用小的面積單位密鋪得到的,每行的個數(shù)乘行數(shù)就是面積;接下來學(xué)習(xí)的平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積、圓的面積等都是通過“轉(zhuǎn)化”成已學(xué)過的圖形,在保證等積變形的基礎(chǔ)上獲得新圖形面積的計算方法的。

    二、有層次地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的分類

    數(shù)學(xué)抽象從認(rèn)知層面可以分為三個層次:抓住事物特征、語言表達(dá);抓住事物本質(zhì)、符號表達(dá);抓住事物關(guān)聯(lián)、模型表達(dá)。層層深入,共同作用,完成學(xué)生對概念的深入理解和掌握。

    如對周長、面積、體積本質(zhì)的理解可以用語言來表達(dá):周長是長度單位個數(shù)的累加;面積是面積單位個數(shù)的累加;體積是體積單位個數(shù)的累加。讓學(xué)生體會度量的思想。

    乘法分配律的抽象既可以用語言表達(dá)、用符號表達(dá),也可以用模型表達(dá)。

    兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘,可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘,再把兩個積相加,結(jié)果不變。這就是語言表達(dá); (a+b)×c= a×c+b×c,這是符號表達(dá)。

    又如“正比例的意義”的學(xué)習(xí),通過學(xué)生能理解的多個素材獲得對概念的抽象過程,也可以用三種抽象來表達(dá)。

    語言表達(dá):兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定,也就是商一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。

    教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點和接受程度,讓學(xué)生的抽象概括能力分階段、有層次地發(fā)展,在循序漸進(jìn)中獲得對概念的豐富理解。

    三、有意識地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的實踐

    小學(xué)生受自身思維和認(rèn)識水平的制約,在學(xué)習(xí)中必須借助感性認(rèn)識才能實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念、公式、數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等的掌握,因此需要教師精心設(shè)計活動,有必要讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程,了解知識的來龍去脈,感受概念的抽象概括歷程。

    對于抽象的數(shù)學(xué)知識,可以借助教具的演示、多樣化學(xué)具的操作,讓抽象知識形象化。

    對于抽象的數(shù)學(xué)定律,需要找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點,能夠在已知和未知之間架起一道橋梁,讓數(shù)學(xué)的抽象水到渠成。

    對于抽象的關(guān)系,要從生活中尋找原型,多舉實例,從概念的動作表征、表象表征和符號表征等多個表征理解概念,能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

    對于抽象的數(shù)學(xué)概念,要像泡壓縮餅干一樣慢慢泡開,體現(xiàn)舉三反一的過程,并在生活中應(yīng)用概念,詮釋舉一反三的含義。與此同時,要和數(shù)學(xué)的推理、數(shù)學(xué)的模型結(jié)合在一起,貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,共同承擔(dān)對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)。

    (北京市順義區(qū)教育研究考試中心 101300)endprint

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