對一道高考試題的探討

張全軍

高考試題：

已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx（x>0），f（x）的導函數(shù)是f ′（x），對任意兩個不相等的正數(shù)x1﹑x2，證明：

（Ⅰ）當a≤0時，f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）;

（Ⅱ）當a≤4時，|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|.

該題可以運用不等式和導數(shù)的有關知識給出證明.在這里提出這樣的問題：能否對題目中給出的a的條件作出進一步的加強，使得（Ⅰ）﹑（Ⅱ）仍然成立呢？

為了探討這個問題，首先給出一個定義和一個定理：

定義（函數(shù)凸凹性）： 已知函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）有定義，對任意的x1﹑x2∈（a，b）.

（1）若有f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22），則稱f（x）在區(qū)間（a，b）是凸函數(shù);

（2）若有f（x1）+f（x2）2

定理（微分中值定理）：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）連續(xù)，在區(qū)間[a，b]可導，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在一點ξ，使得

∣f（x1）-f（x2）∣=∣f ′（ξ）∣·∣x1-x2∣

利用上述定義和定理，我們來探討上面提出的問題：

對考題中的函數(shù)f（x），求導得f ′（x）=2x-

4x3-ax2，

f ″（x）=2+4x3-ax2.要使f（x）滿足f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）

，即f （x）是凸函數(shù)，只需滿足f ″（x）=2+4x3-ax2>0，即a<

2x2+4x.令g（x）=2x2+4x，則g′（x）=4x-4x2，g″（x）=4+8x3，所以函數(shù)g（x）在x=1處取到最小值g（1）=6，所以a<6.故考題（Ⅰ）可加強為：

已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx（a>0），f（x）的導函數(shù)是f ′（x），對任意兩個不相等的正數(shù)x1﹑x2，證明：當a<6時，f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）.

對于考題（Ⅱ），由微分中值定理知，對任意兩個不相等的正數(shù)x1﹑x2，在x1與x2之間存在一點ξ，使得︱f ′（x1）-f ′（x2）︱=︱f ″（ξ）︱·∣x1-x2∣，所以要使f（x）滿足|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|，只需︱f ″（x）︱=︱2+

4x3-ax2︱>1.由上可知，當a<6時，f ″（x）=2+4x3-ax2>0，所以︱f ″（x）︱=︱2+4x3-ax2︱=2+4x3-ax2>1，即x3-ax+4>0，a

2x-4x2，h″（x）=2+8x3，函數(shù)h（x）在32處取到最小值h（32）=334，所以a<334.故考題（Ⅱ）可加強為：

已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx（x>0），f（x）的導函數(shù)是f ′（x），對任意兩個不相等的正數(shù)x1﹑x2，證明：當a<334時，|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|.