傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)反演識(shí)別*

李　想，湯智胤，吳　鋼，周　剛，畢　柯，張青枝

(1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院， 湖北 武漢　430033； 2.中國(guó)科學(xué)院 低溫工程學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京　100190)

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傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)反演識(shí)別*

李想1，湯智胤1，吳鋼1，周剛2，畢柯1，張青枝1

(1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院， 湖北 武漢430033； 2.中國(guó)科學(xué)院 低溫工程學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100190)

摘要：在傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體系統(tǒng)中，超導(dǎo)磁餅熱導(dǎo)率以及磁餅與導(dǎo)冷體之間的界面熱阻是影響熱輸運(yùn)的主要因素，也是傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體系統(tǒng)熱設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。為了獲得準(zhǔn)確的熱導(dǎo)率和界面熱阻參數(shù)，根據(jù) Levenberg-Marquardt算法提出通過(guò)表面測(cè)溫確定傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)的反演識(shí)別方法。搭建低溫實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)試平臺(tái)，建立高溫超導(dǎo)磁餅三維各向異性熱傳導(dǎo)模型。利用反演算法對(duì)傳導(dǎo)冷卻Bi2223高溫超導(dǎo)磁體在40～76K溫區(qū)的各向異性熱導(dǎo)率與界面熱阻進(jìn)行反演識(shí)別，并分析測(cè)溫誤差對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響。研究成果將為超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)的獲取提供一種新思路。

關(guān)鍵詞：高溫超導(dǎo)；熱導(dǎo)率；界面熱阻；各向異性；參數(shù)識(shí)別

近些年來(lái)，低溫制冷技術(shù)和新型高溫超導(dǎo)材料的發(fā)展，極大地推動(dòng)了超導(dǎo)磁體的應(yīng)用[1]。相比于液體浸泡冷卻超導(dǎo)磁體，傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體可以獲得更寬的運(yùn)行溫度，而且結(jié)構(gòu)緊湊、運(yùn)行維護(hù)方便、安全性好，是超導(dǎo)磁體應(yīng)用研究的重要方向[2]。傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)(主要包括超導(dǎo)磁餅各向熱導(dǎo)率以及超導(dǎo)磁餅與導(dǎo)冷結(jié)構(gòu)之間的界面熱阻)對(duì)傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體的熱設(shè)計(jì)和熱分析至關(guān)重要。

目前，超導(dǎo)磁餅熱導(dǎo)率主要采用以下幾種方法獲?。阂皇遣捎贸瑢?dǎo)帶材的熱導(dǎo)率作為磁餅的熱導(dǎo)率[3]；二是按照超導(dǎo)磁餅中各種材料組分比進(jìn)行熱導(dǎo)率參數(shù)的換算[4]；三是采用傳統(tǒng)的熱導(dǎo)率測(cè)試方法，從磁餅上切割標(biāo)準(zhǔn)樣品進(jìn)行測(cè)試[5-6]。然而磁餅是由高溫超導(dǎo)(High Temperature Superconducting,HTS)帶材纏繞而成，并經(jīng)過(guò)絕緣處理、環(huán)氧樹(shù)脂浸漬固化，其熱物性參數(shù)與帶材有較大不同，具有強(qiáng)烈的各向異性；第二種方法忽略不同組分材料之間的界面熱阻與組織結(jié)構(gòu)；第三種方法準(zhǔn)確性最高，但從磁餅上切割樣品進(jìn)行測(cè)試將會(huì)導(dǎo)致整個(gè)磁餅的報(bào)廢，代價(jià)太大。目前對(duì)于HTS磁體系統(tǒng)中的界面熱阻也有一定的研究[7-9]，但這些大都是基于單一材質(zhì)之間或者單一材質(zhì)與超導(dǎo)帶材之間的界面熱阻研究，而實(shí)際傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體系統(tǒng)熱分析中所涉及的界面熱阻主要體現(xiàn)在具有一定結(jié)構(gòu)特征的超導(dǎo)磁餅與導(dǎo)冷結(jié)構(gòu)之間。

當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外不僅缺乏完整的傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)數(shù)據(jù)，而且也缺乏有效的獲取方法。為此，提出了基于導(dǎo)熱反問(wèn)題的方法對(duì)傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)進(jìn)行反演識(shí)別。

1低溫實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

通過(guò)反演的方法獲取HTS磁餅各向異性熱導(dǎo)率，首先需要根據(jù)被研究對(duì)象結(jié)構(gòu)特征設(shè)置合適的邊界條件，使其內(nèi)部的熱物性特征通過(guò)外在的溫度場(chǎng)分布體現(xiàn)出來(lái)。要實(shí)現(xiàn)HTS磁餅徑向、軸向、周向熱導(dǎo)率的準(zhǔn)確識(shí)別，必須在這3個(gè)方向上形成明顯的溫度梯度。為此，對(duì)HTS磁餅的傳熱邊界條件設(shè)定如圖1所示，通過(guò)加熱器對(duì)超導(dǎo)磁餅上的區(qū)域Ω1施加均勻熱流；區(qū)域Ω2與導(dǎo)冷體的控溫面接觸。導(dǎo)冷體與磁餅之間的界面熱阻通過(guò)導(dǎo)冷體控溫面與磁餅接觸面之間的溫差體現(xiàn)出來(lái)。

圖1　邊界條件設(shè)置Fig.1　Settings of boundary

圖2　低溫實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2　Low temperature experiment system

為了實(shí)現(xiàn)上述邊界條件，建立了如圖2所示的低溫實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要包括低溫測(cè)量單元、低溫溫控單元、真空單元[10]。低溫溫控單元由低溫制冷機(jī)、溫控儀、加熱器、溫度傳感器組成。冷量主要由制冷機(jī)二級(jí)冷頭提供，并在一級(jí)冷頭和二級(jí)冷頭上安裝防輻射屏，減少輻射熱對(duì)樣品的影響，控溫過(guò)程中由溫度傳感器感受導(dǎo)冷體控溫面溫度變化并反饋給溫控儀，溫控儀通過(guò)調(diào)節(jié)加熱器電流大小來(lái)控制加熱量，從而使控溫面溫度達(dá)到設(shè)定值。真空單元由真空泵、復(fù)合真空計(jì)等組成，用來(lái)提供和監(jiān)測(cè)真空測(cè)試環(huán)境。

2導(dǎo)熱正問(wèn)題模型與數(shù)值求解

2.1　三維各向異性熱傳導(dǎo)模型

HTS磁餅截面如圖3所示，r0，r1分別為HTS磁體的內(nèi)、外徑；L0為HTS磁體的厚度；Ω為磁餅所有的邊界集合。HTS磁餅熱導(dǎo)率在軸向、徑向和周向是正交異性的，柱坐標(biāo)系下三維正交異性穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)微分方程為：

(1)

(2)

T(r,φ,z)=Tb-RCq(r,φ,z)∈Ω2

(3)

其他邊界面為絕熱，滿足

(4)

其中：T為HTS磁餅的溫度分布；r,z,φ分別為徑向、軸向和周向坐標(biāo)；kr，kz，kφ分別為HTS磁餅徑向、軸向和周向的熱導(dǎo)率；Tb為導(dǎo)冷體控溫面溫度；q′為磁餅邊界熱流密度。穩(wěn)態(tài)時(shí)由區(qū)域Ω1進(jìn)入磁餅的熱流等于由區(qū)域Ω2流出磁餅的熱流。如圖4所示，由于界面熱阻的存在，磁餅溫度邊界區(qū)域Ω2處的實(shí)際溫度邊界應(yīng)為T(mén)b-RCq，RC為磁餅與導(dǎo)冷體之間的界面熱阻，q為流經(jīng)接觸界面處的熱流密度。

圖3　HTS磁餅截面圖Fig. 3　Sectional view of HTS magnetic pancake

圖4　界面熱阻Fig.4　Thermal boundary resistance

2.2　正問(wèn)題求解

三維正交異性熱傳導(dǎo)正問(wèn)題求解通常很難獲得解析解，可以通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行求解。有限體積法是在有限差分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，同時(shí)吸收了有限元法的一些優(yōu)點(diǎn)，具有物理意義明確、計(jì)算精度高等特點(diǎn)。采用有限體積法三維均勻網(wǎng)格系統(tǒng)來(lái)離散求解域，柱狀體三維控制容積如圖5所示。節(jié)點(diǎn)P位于控制容積的中部，它有6個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)，分別位于東(點(diǎn)E)、西(點(diǎn)W)、南(點(diǎn)S)、北(點(diǎn)N)、上(點(diǎn)A)、下(點(diǎn)B)方向。e，w，s，n，t，b分別代表控制體的東側(cè)、西側(cè)、南側(cè)、北側(cè)、上側(cè)、下側(cè)邊界。

圖5　單元體極坐標(biāo)Fig.5　Unit under polar coordinates

有限體積法通過(guò)對(duì)控制體積的積分來(lái)實(shí)現(xiàn)方程的離散，在控制容積內(nèi)對(duì)式(1)進(jìn)行積分，則得到節(jié)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的離散方程：

aPTP=aETE+aWTW+aNTN+aSTS+aATA+aBTB+Su

(5)

3導(dǎo)熱反問(wèn)題熱輸運(yùn)參數(shù)識(shí)別

3.1　導(dǎo)熱反問(wèn)題參數(shù)識(shí)別描述

導(dǎo)熱反問(wèn)題熱輸運(yùn)參數(shù)反演識(shí)別的本質(zhì)是通過(guò)對(duì)待識(shí)別熱輸運(yùn)參數(shù)初始假設(shè)按照一定算法不斷修正，并代入正問(wèn)題求解模型獲得相應(yīng)溫度分布，以期找到一組熱輸運(yùn)參數(shù)使檢測(cè)點(diǎn)的求解溫度分布與其真實(shí)溫度分布相吻合。檢測(cè)點(diǎn)的求解溫度與實(shí)際測(cè)試溫度的吻合程度可以采用目標(biāo)函數(shù)S(P)來(lái)衡量。

(6)

3.2　Levenberg-Marquardt反問(wèn)題算法

Levenberg-Marquardt算法是一種簡(jiǎn)單、收斂速度快的優(yōu)化算法[12]。它通過(guò)使目標(biāo)函數(shù)最小化來(lái)確定反問(wèn)題的解。通過(guò)對(duì)式(6)求偏導(dǎo)可得到S(P)最小化條件：

(7)

其中，J(P)=?T(P)/?PT。將T(P)在Pk處按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并去掉高階項(xiàng)，同時(shí)在結(jié)果中加入衰減參數(shù)μ調(diào)節(jié)收斂速度，得到P的迭代公式：

(8)

其中：上標(biāo)k表示迭代次數(shù)，Pk是第k次迭代得到的識(shí)別參數(shù)向量，T(Pk)、Jk分別是在參數(shù)向量Pk下計(jì)算得到的檢測(cè)面溫度和敏感系數(shù)矩陣；μ為一個(gè)取正值的調(diào)節(jié)系數(shù)，W為一對(duì)角矩陣。

4實(shí)例與結(jié)果分析

采用Bi2223高溫超導(dǎo)磁餅為研究對(duì)象，圖6為其實(shí)物結(jié)構(gòu)，其外徑r1=135mm，內(nèi)徑r0=75mm，厚度h=10mm。根據(jù)磁餅的結(jié)構(gòu)設(shè)置磁餅的熱邊界條件如圖7所示，扇形區(qū)域Ω1為熱流邊界，扇形區(qū)域Ω2為恒定的溫度邊界。

圖6　Bi2223高溫超導(dǎo)磁餅Fig.6　HTS Bi2223 pancake coils

在HTS磁體上依次設(shè)置4個(gè)熱電偶監(jiān)測(cè)溫度，設(shè)置位置如圖7所示。采用紫銅作為導(dǎo)冷體與超導(dǎo)磁餅上區(qū)域Ω2接觸，并在兩界面之間填充低溫導(dǎo)熱脂。導(dǎo)冷體的溫度控制在Tb=40K，磁餅上區(qū)域Ω1的熱流密度為q=5000W/m2。

圖7　測(cè)溫點(diǎn)設(shè)置Fig.7　Setting of temperature measuring points

圖8中反演識(shí)別結(jié)果顯示Bi2223超導(dǎo)磁餅軸向、周向和徑向的熱導(dǎo)率分別為kz=4.07W·m-1K-1，kφ=225.46W·m-1K-1，kr=0.538W·m-1K-1；導(dǎo)冷體與磁餅之間的界面熱阻為Rc=1.74×10-3m2K·W-1。由圖9可知，Levenberg-Marquardt算法在熱傳導(dǎo)反問(wèn)題熱輸運(yùn)參數(shù)識(shí)別中具有較高的精度和較快的收斂速度。為了考慮測(cè)溫誤差對(duì)反演識(shí)別結(jié)果的影響，假設(shè)溫度測(cè)量誤差服從正態(tài)分布，TP=(1+σ·ξ)Te為含有測(cè)量誤差的測(cè)點(diǎn)溫度信息，Te為測(cè)點(diǎn)溫度信息的真實(shí)值，σ為系統(tǒng)測(cè)溫誤差水平，ξ為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。表1為不同測(cè)溫誤差水平下熱輸運(yùn)參數(shù)的定量識(shí)別結(jié)果，當(dāng)測(cè)溫誤差小于0.3K時(shí)，熱導(dǎo)率的識(shí)別誤差小于16.1%。

圖8　熱輸運(yùn)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程Fig.8　Process of heat transfer parameter identification

圖9　收斂精度Fig.9　Convergence precision

表1　測(cè)溫誤差對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響

5結(jié)論

1)根據(jù)HTS磁體的結(jié)構(gòu)特征，提出了通過(guò)反問(wèn)題算法與低溫實(shí)驗(yàn)相結(jié)合手段，同時(shí)確定傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體中磁餅各向異性熱導(dǎo)率以及超導(dǎo)磁餅與導(dǎo)冷體之間界面熱阻的方法。

2)通過(guò)該方法獲得了高溫超導(dǎo)Bi2223磁餅在工作溫區(qū)軸向、徑向和周向熱導(dǎo)率以及磁餅與Cu導(dǎo)冷體之間界面熱阻數(shù)據(jù)，能夠?yàn)閭鲗?dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁餅的熱分析和熱設(shè)計(jì)提供參考。

3)反演識(shí)別結(jié)果表明經(jīng)過(guò)環(huán)氧樹(shù)脂固化的Bi2223高溫超導(dǎo)磁餅具有嚴(yán)重的各向異性：磁餅周向熱導(dǎo)率比軸向熱導(dǎo)率高2個(gè)數(shù)量級(jí)，比徑向熱導(dǎo)率高3個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，采用文獻(xiàn)[3-6]中簡(jiǎn)單方法確定的磁餅的熱導(dǎo)率是很難滿足磁體精確化熱設(shè)計(jì)需求的。

4)低溫下導(dǎo)冷體與磁餅之間存在較大的界面熱阻，在傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體的熱設(shè)計(jì)過(guò)程中不容忽視。

5)采用Levenberg-Marquardt算法對(duì)傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運(yùn)參數(shù)進(jìn)行反演識(shí)別，具有收斂速度快，收斂精度高等優(yōu)點(diǎn)。

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http://journal.nudt.edu.cn

Inversion identification of heat transport parameters of conduction cooling high temperature superconducting magnet

LIXiang1,TANGZhiyin1,WUGang1,ZHOUGang2,BIKe1,ZHANGQingzhi1

(1. College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;

2. Key Laboratory of Cryogenics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Abstract：In conduction cooling high temperature superconducting (HTS) magnet system, thermal conductivity of HTS magnetic pancakes and thermal boundary resistance between magnetic pancake and cooling body are the major factors affecting heat transport, and the difficult points for the thermal design of conduction cooling HTS magnet as well. A new method, based on the Levenberg-Marquardt algorithm, to simultaneously identify each heat transport parameter from the temperature distribution on the inspection surface was put forward. A low temperature experiment platform was setup, and a three-dimensional orthotropic heat transfer model of magnetic pancake was built. The orthotropic thermal conductivity and thermal boundary resistance of conduction cooling Bi2223 HTS magnet at 45～72 K were obtained with the method mentioned above. The influence of temperature measurement error on identification results was analyzed. The research result provides a new thought for obtaining heat transport parameters of conduction cooling superconducting magnet.

Key words：high temperature superconducting; thermal conductivity; thermal boundary resistance; orthotropic; parameter identification

中圖分類(lèi)號(hào)：O511.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2486(2015)06-150-05

作者簡(jiǎn)介：李想(1986—)，男，河南信陽(yáng)人，博士研究生，E-mail：suplixiang@163.com； 吳鋼(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：gangwu206@hotmail.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51076165)；中國(guó)科學(xué)院重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目(CRYO201221)

收稿日期：*2014-12-23

doi:10.11887/j.cn.201506027