具有潛在索賠的風險模型在重尾賠付下的極限性質(zhì)

肖鴻民,趙　婕,宋國龍

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州　730070)

具有潛在索賠的風險模型在重尾賠付下的極限性質(zhì)

肖鴻民,趙婕,宋國龍

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州730070)

摘要：研究一類帶有潛在索賠的風險模型.假設(shè)索賠額序列是獨立同分布的重尾隨機變量序列,不同保單發(fā)生實際索賠的概率不同.當潛在索賠額序列服從S族時,得到了有限時間破產(chǎn)概率的漸近表達式.

關(guān)鍵詞：有限時間破產(chǎn)概率；獨立隨機變量；S族；潛在索賠；更新過程

0引言

N(t)=sup{n≥1:Sn≤t},t≥0.

保險資本的盈余過程定義為

(1)

這里x是初始資金,μ是索賠額均值,常數(shù)ρ(ρ>0)為安全負載系數(shù),每張保單的保費為(1+ρ)μ;Xk是第k個客戶的潛在索賠額，對每一個k≥1,Bernonlli隨機變量Ik表示第k份保單是否發(fā)生索賠,Ik=1表示發(fā)生索賠.設(shè){Xn,n≥1}是同分布的隨機Weibull變量,索賠過程N(t)是參數(shù)λ=2的齊次Possion過程,當初始資金x=10 000,T=100時,我們得到了盈余過程的樣本軌道,見圖1.

圖1　盈余過程的樣本軌道

上述模型由文獻[4]首次提出后，已經(jīng)取得了豐富的研究結(jié)果.文獻[4]研究了該模型當潛在索賠額Xk是獨立同分布的ERV族隨機變量序列時,損失過程的精細大偏差；索賠額序列是負相關(guān)隨機變量且具有更一般的控制變化的尾情形下的研究結(jié)果參見文獻[5]；當{N(t):t≥0}為復合二項過程F∈ERV時,損失過程的精細大偏差可參見文獻[6],作者進一步得到了重尾索賠下有限時間破產(chǎn)概率的漸近性質(zhì).文獻[7]研究了當{N(t):t≥0}為一般更新計數(shù)過程,而潛在索賠額{xk}是負相依的L∩D族隨機變量序列時,破產(chǎn)概率的漸近表達式.本文放寬了文獻[7]的條件，將所討論的分布擴大到S族,得到了潛在索賠額風險模型的有限時間破產(chǎn)概率.

1預備知識

首先定義直到時刻T的有限時間破產(chǎn)概率為

(2)

定義1稱一個分布F屬于L族,如果對任意固定的y(或等價地對y=1),F滿足

定義2稱一個分布F屬于S族,如果F滿足

對于某個n≥2(或等價地對任意的n≥2),即

易知,上述重尾分布族具有如下關(guān)系:

S?L.

本文需要以下假設(shè)：

(K1)更新計數(shù)過程{N(t):t≥0}具有有限的均值函數(shù)m(t)=E[N(t)].

(K2){Ik:k≥1}是相互獨立的Bernonlli隨機變量序列,P(Ik=1)=θk;P(Ik=0)=1-θk,且存在θ>0,使得

(K3)索賠額{Xk:k≥1}是獨立的非負隨機變量序列,有共同的分布F,且F∈S族,均值μ<∞.

(K4)隨機變量族{Xk:k≥1},{Ik:k≥1},{N(t):t≥0}相互獨立.

引理1[8]如果F∈S族,那么對任意的ε>0,存在C(ε)>0,使得下列式子對所有的n=1,2,…和x≥0,一致地有

注1當{Ik:k≥1}同分布時，由S族的定義知{IkXk:k≥1}的分布屬于S,并且有{IkXk-(1+ρ)μ:k≥1}的分布屬于S.

引理2[9]在條件(K1)~(K4)下,對任意給定的正整數(shù)n,我們有

(3)

證明見文獻[9]命題5.1.

2主要結(jié)果及證明

定理1對模型(1),在條件(K1)~(K4)下,直到時刻T的有限時間破產(chǎn)概率滿足

(4)

證明由盈余過程的表達式(1),對每個t∈(0,T],有

根據(jù)有限時間破產(chǎn)概率的定義,我們有

且對于某個0≤t≤T,有

類似地有

所以,如果證明了

那么就證明了

選擇任意正整數(shù)N,對于t∈(0,T],有

首先考慮J2(x,t,N).由引理2可得

因此

對J1(x,t,N),有

因為

又因為

而對所有x,有

所以

下證

因為{IkXk-(1+ρ)μ:k≥1}∈L,則有

所以

定理得證.】

從而，當潛在索賠額序列服從S族時,我們得到了有限時間破產(chǎn)概率的漸近表達式.

參考文獻:

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[7]肖鴻民,劉建霞.帶負相依重尾潛在索賠額的風險模型的有限時間破產(chǎn)概率[J].山東大學學報:理學版,2011,46(9):117-121.

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[9]TANGQi-he,TSITSIASHVILIG.Randomlyweightedsumsofsubexponentialrandomvariableswithapplicationtoruintheory[J].Extremes,2003,6(3):171-188.

(責任編輯馬宇鴻)

E-mail:xiaohm9@126.com

Thelimitpropertiesforariskmodel

withheavy-tailedpotentialclaims

XIAOHong-min,ZHAOJie,SONGGuo-long

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu，China)

Abstract:In this paper a risk model with prospective-claim is studied,in which the customers’ potential claims are heavy-tailed random variables with independent identically distribution.Different insurance policy holders are allowed to have different probabilities to make actual claims.When customers’ potential claims belong to class S,an asymptotic expression of the finite-time ruin probability is derived.

Key words:finite-time ruin probability;independent random variables;class S;prospective-claim;renewal process

中圖分類號：O 211.4

文獻標志碼：A

文章編號：1001-988Ⅹ(2015)02-0009-03

作者簡介：肖鴻民(1967—),女,甘肅臨洮人,教授,博士.主要研究方向為概率極限理論與保險數(shù)學.

基金項目:國家自然科學基金資助項目(71261023)

收稿日期：2014-03-23;修改稿收到日期:2014-12-22