一類非共軛邊值問題Green函數(shù)定號(hào)的最優(yōu)區(qū)間
2015-02-02 03:01:42馮育強(qiáng)布昶昶
李 輝，馮育強(qiáng)*，布昶昶
(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢 430065)
一類非共軛邊值問題Green函數(shù)定號(hào)的最優(yōu)區(qū)間
李輝，馮育強(qiáng)*，布昶昶
(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430065)
摘要：證明了一類非共軛微分方程在非共軛邊值條件下Green函數(shù)定號(hào)的最優(yōu)區(qū)間的存在性，使得當(dāng)參數(shù)在此最優(yōu)區(qū)間時(shí),Green函數(shù)是定負(fù)的.隨后用逆向搜索法找到參數(shù)最優(yōu)區(qū)間的左、右端點(diǎn).
關(guān)鍵詞：Green函數(shù)；定號(hào)；最優(yōu)區(qū)間；三階微分方程
0引言
三階微分方程邊值問題因其在電磁波和重力驅(qū)動(dòng)流以及三層梁[1]等研究中的重要應(yīng)用，近年來引起了許多學(xué)者的關(guān)注.關(guān)于三階微分方程邊值問題的研究已經(jīng)出現(xiàn)了很多理論和方法，如：微分不等式方法[2,3]、非共軛性理論[4,5]、不動(dòng)點(diǎn)方法[6]、變分方法[7]、拓?fù)涠壤碚撘约敖獾南闰?yàn)界估計(jì)[8]、上下解方法[9],等等.
在討論三階微分方程邊值問題解的存在性、唯一性及其它性質(zhì)時(shí)，Green函數(shù)有著非常重要的作用：利用Green函數(shù)，可以將微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為積分方程求解.Torres[6]曾用自伴算子的譜理論得到了二階微分方程的周期邊值問題Green函數(shù)定號(hào)的條件.馬如云[5]用非共軛性理論討論了非自伴算子三階微分方程的共軛邊值問題，得到了一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的Green函數(shù)定號(hào)的最優(yōu)區(qū)間，但用非共軛性理論去解決非共軛邊值條件時(shí)上述理論完全失效.本文討論非自伴算子的三階微分方程非共軛邊值問題，首先證明該最優(yōu)區(qū)間的存在性，然后用逆向搜索法得到了Green函數(shù)定號(hào)的最優(yōu)區(qū)間.
1預(yù)備知識(shí)
定義1[10]令pk∈C[a,b]，k=1,…,n.如果一個(gè)n階線性微分方程
的任意非平凡解在區(qū)間[a,b]上有少于n個(gè)零點(diǎn)，那么該方程在區(qū)間[a,b]上被稱為是非共軛的，其中多重零點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)算.
定義2[5]對(duì)于三階微分方程
的(k,3-k)共軛邊值條件(這里k=1,2)，僅有下面兩種情形：
1)u∈{v∈C3[0,1]:v(0)=v′(0)=v(1)=0};
2)u∈{v∈C3[0,1]:v(0)=v(1)=v′(1)=0}.
本文將討論非共軛邊值條件的情形，即
2Green函數(shù)的計(jì)算
引理1設(shè)M=m3，考察邊值問題
(i)當(dāng)m≠0時(shí)，該問題的Green函數(shù)為
其中
(ii)當(dāng)m=0時(shí)，該問題的Green函數(shù)為
證明( i )當(dāng)m≠0時(shí)，對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的基礎(chǔ)解系為
設(shè)非齊次線性方程的特解為
利用常數(shù)變易法解得
故其特解為
由邊值條件u(0)=u′(0)=u′(1)=0，可解得c1,c2,c3，代入經(jīng)過化簡(jiǎn)，即得Green函數(shù)為
( ii )當(dāng)m=0而0≤s≤t≤1時(shí),因?yàn)?/p>
所以
將Ft,s(m),g(m)在m=0處泰勒展開，得到
所以
同理可得當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí),
所以
這個(gè)結(jié)果恰和文獻(xiàn)[10]的結(jié)果相符.】
注1對(duì)0≤s≤t≤1情形，由于s=0或t=s=1時(shí)G(t,s)=0.而0≤t≤s≤1情形，由于t=0或t=s=1時(shí)，G(t,s)=0，所以以下討論G(t,s)的符號(hào)時(shí)約定t,s∈(0,1).
3Green函數(shù)的最優(yōu)區(qū)間討論
引理2當(dāng)m<0時(shí)，有g(shù)(m)<0,h(m)>0.
推論1當(dāng)m<0且0 引理3存在α<0,β>0,滿足： (1)當(dāng)m∈(α,0)時(shí)，對(duì)?0 (2)當(dāng)m∈(0,β)時(shí)，對(duì)?0 (3)當(dāng)m=0時(shí)，G(t,s)<0. 證明(1)當(dāng)m∈(α,0)時(shí),對(duì)?0 所以有 故存在α<0，當(dāng)m∈(α,0)時(shí)，對(duì)?0 (2)當(dāng)m>0時(shí)，由前面的計(jì)算可知 故存在β>0，當(dāng)m∈(0,β)時(shí)，對(duì)?0 (3)當(dāng)m=0時(shí)， 由于當(dāng)0 設(shè) 則由引理3知T0≠?,T1≠?. 引理4T0,T1是有界集. 證明取m1=-4.3,s1=0.004,t1=0.946，則有 故m1?T0.即知T0以m1為下界. 又當(dāng)m2=3.1,s2=10-3,t2=10-3時(shí)，有 故m2?T1.即知T1以m2為上界.】 定義 易知T2≠?.設(shè) 引理5設(shè)函數(shù) 的最小正零點(diǎn)為m=λ,而函數(shù) 的最小正零點(diǎn)為m=μ,則當(dāng)m>0時(shí)， (1)對(duì)?0 (2)對(duì)?0 (3)τ=min{τ1,τ2}=τ1. 證明(1) 當(dāng)0 但是存在s0=1+(θ0-1)λ/τ2,θ0∈(0,1)，使得 因?yàn)楫?dāng)τ2(1-s0)<λ，即1-λ/τ2 (2)當(dāng)0 所以存在t1=s1=(1-λ/τ1)/10 ，使得 事實(shí)上只要τ1(1-s1)>λ，即0 所以 所以τ1≤λ，故τ2≥τ1. (3)由(1)、(2)可得.】 由引理4、引理5可知 定理1存在一個(gè)最優(yōu)區(qū)間(τ0,τ1)，使得當(dāng)m∈(τ0,τ1)時(shí)G(t,s)<0. 4最優(yōu)區(qū)間的近似搜索 算法(逆向搜索法)僅對(duì)τ0說明，τ1類似. 在Ft,s(m)中，想要直接找出參數(shù)m的最優(yōu)取值范圍(區(qū)間的左端點(diǎn)),使得當(dāng)m∈U-(0;δ)時(shí)，對(duì)?0 為縮小搜索范圍，我們可先確定左端點(diǎn)的大致范圍，然后再按上述方法做精確搜索.為此可以先讓m值從-10到10的范圍內(nèi)以步長(zhǎng)0.001進(jìn)行編程搜索.對(duì)于 給定一個(gè)m值對(duì)應(yīng)一個(gè)二元函數(shù).下面將s,t以小步長(zhǎng)離散化，求出每當(dāng)給定一個(gè)m值時(shí)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)的最小值，并繪制出m隨著該二元函數(shù)最小值變化的曲線圖，得到左端點(diǎn)的圖1. 圖1 m隨二元函數(shù)Ft,s(m)的 圖2 m隨二元函數(shù)Ft,s(m)的 從圖1可以看出左端點(diǎn)大約在-4.5到-4之間，并且當(dāng)m∈(τ0,0)時(shí),Ft,s(m)的最小值都是大于0的，滿足要求.但當(dāng)時(shí)最小值就是小于0的.由于s,t是離散的，所以圖1顯示在-4.5到4之間有間斷點(diǎn)出現(xiàn). m1=-4.3,s1=0.004,t1=0.946 用同樣搜索技巧得到的右端點(diǎn)見圖2.從圖2可以看出，右端點(diǎn)大約在3到3.5之間，并且當(dāng)m∈(0,τ1)時(shí)Ft,s(m)的最大值都小于0，滿足要求.有了大致范圍就可用逆向搜索法做精確搜索了. 結(jié)論τ0≈-4.2332,τ1≈3.0167. 參考文獻(xiàn): [1]GREGUS M.ThirdOrderLinearDifferentialEquations[M].Mathematics and Its Applications.Dordrecht：Reidel,1987. [2]KLAASENG.Differentialinequalitiesandexistencetheoremsforsecondandthirdorderboundaryvalueproblems[J].J Differential Equations,1971,10:529-537. [3]JACKSONLK.Existenceanduniquenessofsolutionsofboundaryvalueproblemsforthirdorderdifferentialequations[J].J Differential Equations,1973,13:432-437. [4]FENGYu-qiang,LIUSan-yang.Multiplicityofsolutionsforanonlinearthird-orderboundaryvalueproblem[J].J Engineer Math,2003,20:109-112. [5]MARu-yun.Disconjugacyandextremalsolutionsofnonlinearthird-orderequations[J].Commun Pur Appl Anal,2014,13:1223-1236. [6]TORRESPJ.Existenceofone-signedperiodicsolutionsofsomesecond-orderdifferentialequationsviaaKrasnoselskiifixedpointtheorem[J].J Differential Equations,2003,190:643-662. [7]WARDJRJr.Periodicsolutionsofordinarydifferentialequationswithboundednonlinearities[J]. Topol Method Nonl Anal,2002,19:275-282. [8]MAWHINJ.Topologicaldegreeandboundaryvalueproblemsfornonlineardifferentialequations[M]//FURIM,ZECCAP.Topological Methods for Ordinary Differential Equations.LectureNotesinMathematicsVol1537.NewYork:Springer,1993:74-142. [9]CABADAA.Themethodofloweranduppersolutionsforsecond,third,fourthandhigherorderboundaryvalueproblems[J].J Math Anal Appl,1994,185:302-320. [10]COPPELWA.Disconjugacy[M].LectureNotesinMathematicsVol220.Berlin:Springer,1971. (責(zé)任編輯馬宇鴻) E-mail:675130385@qq.com *通訊聯(lián)系人，男，教授.主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析.E-mail:fengyuqiang@wust.edu.cn The optimal interval for Green’s function having a constant sign of a non-conjugate boundary value problem LI Hui,FENG Yu-qiang，BU Chang-chang (School of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065，Hubei，China) Abstract:The existence of the optimal interval is proved,such that the Green’s function of a disconjugate differential equation with non-conjugate boundary condition will get negative sign when the parameter is in this interval.Then,the left and right endpoints of this interval are found by backward searching method. Key words:Green’s function;constant sign;optimal interval;third-order differential equation 中圖分類號(hào)：O 175.08 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1001-988Ⅹ(2015)02-0004-05 作者簡(jiǎn)介：李輝(1987—)，男，湖北潛江人，碩士研究生.主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析. 基金項(xiàng)目:教育部高等學(xué)校博士點(diǎn)基金項(xiàng)目(20134219120003);湖北省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2013CFA131);冶金工業(yè)過程的系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目(z201302)
