純滿同態(tài)的推廣對條件(P′)與條件(PE)的刻畫

喬虎生,楊麗麗

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

純滿同態(tài)的推廣對條件(P′)與條件(PE)的刻畫

喬虎生,楊麗麗

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州730070)

摘要：設(shè)S是幺半群,n是一個正整數(shù).設(shè)ψ:X→Y是S-滿同態(tài),如果ψ是2-純的,X滿足條件(P),那么Y滿足條件(P),但反之未必成立.本文給出了純滿同態(tài)的一些新推廣.利用這些新概念,我們給出了條件(P′)與條件(PE)的等價刻畫,即S-系Y滿足條件(P′)的充分必要條件是每個滿同態(tài)X→Y是弱2-純的,S-系Y滿足條件(PE)的充分必要條件是每個滿同態(tài)X→Y是PE-2-純的.最后，研究了新滿同態(tài)的有向上極限.

關(guān)鍵詞：純滿同態(tài);條件(P′);條件(PE)

0引言

設(shè)S為幺半群,As是單式右S-系.文獻(xiàn)[1-6]已經(jīng)研究了S-系的純性.

設(shè)ψ:X→Y是S-滿同態(tài),稱ψ為滿同態(tài),若對每個有限表示S-系A(chǔ)和每個S-同態(tài)f:A→Y,存在g:A→X,使得有以下交換圖:

S-系被稱作是強平坦的[2],若S-系滿足條件(P)與條件(E).稱A滿足條件(P),若對任意的a,a′∈A,任意的s,s′∈S,若as=a′s′,則存在a″∈A,u,v∈S使得us=vs′,a=a″u,a′=a″v.稱A滿足條件(E),若對任意的a∈A,任意的s,s′∈S,若as=as′,則存在a′∈A,u∈S使得us=us′,a=a′u.

1987年,Normak[7]證明了右S-系滿足條件(E)當(dāng)且僅當(dāng)每個滿同態(tài)ψ:X→Y是1-純的.滿同態(tài)ψ:X→Y被稱作是1-純的,若對每個y∈Y和關(guān)系ysi=yti,i=1,…,n,存在x∈X,使得對所有的i,有ψ(x)=y與xsi=xti成立.

2012年,Bailey和 Renshaw給出了n-純滿同態(tài)的概念,此為純滿同態(tài)的擴展.但是他們只利用2-純滿同態(tài)給出了滿足條件(P)的必要條件.本文給出關(guān)于純滿同態(tài)概念的一些新的推廣,從而得到相應(yīng)S-系的充分必要條件的刻畫,并且證明了這些新的滿同態(tài)關(guān)于有向上極限是封閉的.

1主要結(jié)果

定義1[8]稱A滿足條件(P′),如果對任意的a,a′∈A,任意的s,s′,z∈S,若as=a′s′,sz=s′z,則存在a″∈A,u,v∈S使得us=vs′,a=a″u,a′=a″v.

定義2設(shè)ψ:X→Y是滿同態(tài).我們稱ψ是弱2-純的,若對任意的y1,y2∈Y,任意的s,t,z∈S,若y1s=y2t,sz=tz,則存在x1,x2∈X使得ψ(x1)=y1,ψ(x2)=y2,并且x1s=x2t.

定理1設(shè)S是幺半群,則以下條件等價:

(1)Y滿足條件(P′).

(2)設(shè)ψ:X→Y是滿同態(tài),那么對每個y,y′∈Y,si,ti,z∈S和關(guān)系ysi=y′ti,siz=tiz,i=1,…n,存在x1,x2∈X使得對所有的i,有ψ(x1)=y,ψ(x2)=y′并且x1si=x2ti.

(3)每個滿同態(tài)ψ:X→Y是弱2-純的.

證明(1)?(2).假定ψ:X→Y是滿同態(tài),若ysi=y′ti以及siz=tiz,其中i=1,…,n,si,ti,z∈S并且y,y′∈Y.由于Y滿足條件(P′),所以對ys1=y′t1和s1z=t1z,存在u1,u1′∈S,y1∈Y,使得y=y1u1,y′=y1u1′并且u1s1=u1′t1.由于y1(u1s2)=y1(u1′t2)并且u1s2z=u1′t2z,所以存在u2,u2′∈S,y2∈Y使得y1u1=y2u2,y1u1′=y2u2′并且u2(u1s2)=u2′(u1t2).通過歸納,存在u,u′∈S,y″∈Y,使得y=y″u,y′=y″u′并且usi=u′ti.由于ψ是滿同態(tài),所以存在x′∈X使得ψ(x′)=y″.因此

并且很顯然有(x′u)si=(x′u′)ti.記

我們可得到結(jié)果.

(2)?(3)是顯然的.

(3)?(1).不失一般性，我們選擇一個S-系X滿足條件(P′),ψ:X→Y是弱2-純滿同態(tài).假定y,y′∈Y,s,t,z∈S,使得ys=y′t,sz=tz.由于ψ是弱2-純的滿同態(tài),所以存在x,x′∈X使得ψ(x)=y,ψ(x′)=y′,xs=x′t.由條件(P′)可知，存在x1∈X,u,u′∈S使得

x=x1u,x′=x1u′,us=u′t.

又因為

所以Y滿足條件(P′).】

推論1設(shè)S是幺半群,ψ:X→Y是滿同態(tài),其中X滿足條件(P′),則Y滿足條件(P′)的充分必要條件是ψ是弱2-純的.

定義3[9]設(shè)I是擬序集(即I滿足自反性與傳遞性).稱S-系集(Xi)i∈I與S-同態(tài)集φi,j:Xi→Xj,i≤j∈I所形成的集族(Xi,φi,j)為正向系,若以下兩條性質(zhì)成立:

(1)φi,i=1Xi,i∈I.

(2)φj,k°φi,j=φi,k,i≤j≤k.

定義4[9]稱帶有S-同態(tài)的αi:Xi→X的S-系X為正向系(Xi,φi,j)的上極限,若以下兩條性質(zhì)成立:

(1)αj°φi,j=αi,其中i≤j.

(2)設(shè)Y是S-系,βi:Xi→Y是S-同態(tài),使得βj°φi,j=βi,其中i≤j,那么存在唯一的S-同態(tài)ψ:X→Y,使得對所有的i∈I,有以下交換圖:

若指標(biāo)集I滿足性質(zhì):對所有的i,j∈I,存在k∈I使得k≥i,j,那么稱指標(biāo)集I是有向集.假定指標(biāo)集I是有向集,則按上述定義可以得到正向系(Xi,φi,j)的有向上極限.

由文獻(xiàn)[1]，假定(Xi,φi,j)和(Yi,θi,j)是S-系的有向系,且對每個i∈I，存在S-同態(tài)ψi:Xi→Xj.進(jìn)一步，假定(X,βi)和(Y,αi)是有向系的有向上極限,使得對所有的i≤j∈I有以下交換圖:

那么稱ψ是ψi的有向上極限.

定理2設(shè)S是幺半群,弱2-純S-滿同態(tài)的有向上極限是弱2-純的.

證明假定(Xi,φi,j)和(Yi,θi,j)是S-系的有向系,假定對每個i∈I存在著一個弱2-純S-滿同態(tài)ψi:Xi→Xj.并且假定(X,βi)和(Y,αi)是正向系的有向上極限,其中αi是滿同態(tài),使得對所有的i≤j∈I有以下交換圖:

假定ysp=y′tp,spz=tpz,其中p=1,…,n,sp,tp,z∈S,y,y′∈Y,存在i,j∈I,yi∈Yi,yj∈Yj使得αi(yi)=y,αj(yj)=y′,因此有αi(yisp)=αj(yjtp),即有αi(yi)sp=αj(yj)tp.由于I是有向的,由文獻(xiàn)[1]的引理3.5知,存在k≥i,j,使得θi,k(yi)sp=θj,k(yj)tp.由于ψk是弱2-純S-滿同態(tài),所以存在x1,x2∈Xk使得ψk(x1)=θi,k(yi),ψk(x2)=θj,k(yj),x1sp=x2tp.最后,y=αi(yi)=αkθi,k(yi)=αkψk(x1)=ψ(βk(x1)),y′=αj(yj)=αkθj,k(yj)=αkψk(x2)=ψ(βk(x2))并且βk(x1)sp=βk(x2)tp.】

定義5[10]稱A滿足條件(PE),如果對任意的a,a′∈A,任意的s,s′∈S,若as=a′s′,則存在a″∈A,u,v∈S,e,f∈E(S)使得us=vs′,ae=a″ue,a′f=a″vf,es=s,fs′=s′.

定義6設(shè)ψ:X→Y是滿同態(tài).稱ψ是PE-2-純的,若對任意的y1,y2∈Y,任意的s,t∈S,y1s=y2t,存在x1,x2∈X,e,f∈E(S)使得ψ(x1)e=y1e,ψ(x2)f=y2f并且x1s=x2t,es=s,fs′=s′.

定理3設(shè)S是幺半群,Y滿足條件(PE)的充分必要條件是每個滿同態(tài)ψ:X→Y是PE-2-純的.

證明必要性.假設(shè)ψ:X→Y是滿同態(tài),并且y1s=y2t,其中y1,y2∈Y,s,t∈S.由于Y滿足條件(PE),所以存在u,v∈S,y′∈Y,e,f∈E(S),使得y1e=y′ue,y2f=y′vf,us=vt,es=s,fs′=s′.又因為ψ是滿同態(tài),所以存在x′∈X使得ψ(x′)=y′,因此

并且顯然有(x′u)s=(x′v)t.記x1=x′u,x2=x′v,則結(jié)論成立.

充分性.設(shè)X滿足條件(PE)且ψ:X→Y是PE-2-純滿同態(tài),假定y1,y2∈Y,s,t∈S使得y1s=y2t,由于ψ是PE-2-純的,所以存在x1,x2∈X,e,f∈E(S)使得ψ(x1)e=y1e,ψ(x2)f=y2f,x1s=x2t,es=s,fs′=s′.由條件(PE),存在x′∈X,u,v∈S,e,f∈E(S),使得x1e=x′ue,x2f=x′vf,us=vt.又因為y1e=ψ(x1)e=ψ(x′u)e=ψ(x′)ue,y2f=ψ(x2)f=ψ(x′v)f=ψ(x′)vf,并且ψ(x′)∈Y,所以Y滿足(PE).】

推論2設(shè)S是幺半群,ψ:X→Y是滿同態(tài),其中X滿足條件(PE),則Y滿足條件(PE)的充分必要條件是ψ是PE-2-純的.

定理4設(shè)S是幺半群,PE-2-純S-滿同態(tài)的有向上極限是PE-2-純的.

證明假定(Xi,φi,j)和(Yi,θi,j)是S-系的正向系,假定對每個i∈I存在一個PE-2-純S-滿同態(tài)ψi:Xi→Yi,并且假定(X,βi)和(Y,αi)是正向系的有向上極限,其中αi是滿同態(tài),使得對所有的i≤j∈I有以下交換圖:

假定ysp=y′tp,其中p=1,…,n,sp,tp∈S,y,y′∈Y,則存在i,j∈I,yi∈Yi,yj∈Yj使得αi(yi)=y,αj(yj)=y′,因此αi(yisp)=αj(yjtp),即有αi(yi)sp=αj(yj)tp.由于I是有向的,所以由文獻(xiàn)[1]的引理 3.5知,存在k≥i,j,使得θi,k(yi)sp=θj,k(yj)tp.由于ψk是PE-2-純S-滿同態(tài),所以存在x1,x2∈Xk,e,f∈S使得ψk(x1)e=θi,k(yi)e,ψk(x2)f=θj,k(yj)f,x1s=x2t,es=s,fs′=s′.最后,

并且βk(x1)s=βk(x2)t.】

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Characterizations of condition (P′) and condition (PE)by

generalizationsofpureepimorphisms

QIAO Hu-sheng,YANG Li-li

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

Abstract:Let S be a monoid and n a positive integer.Let ψ:X→Y be an S-epimorphism in which X satisfies condition (P),if ψ is 2-pure then Y satisfies condition (P),but the converse is not true.Some new generalizations of pure epimorphisms are given.Using these new concepts,some characterizations of condition (P′) and condition (PE) are obtained,that is,a S-act Y satisfies condition (P′),if and only if every S-epimorphism is weak 2-pure,and a S-act Y satisfies condition (PE),if and only if every S-epimorphism is PE-2-pure.Finally,the directed colimits of these new epimorphisms are investigated.

Key words:pure epimorphism; condition (P′);condition (PE)

中圖分類號：O 153.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-988Ⅹ(2015)02-0001-03

作者簡介：喬虎生(1974—),男,甘肅靈臺人,教授,博士.主要研究方向為半群理論.E-mail:qiaohs@nwnu.edu.cn

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11461060);甘肅省高校基本科研業(yè)務(wù)費項目

收稿日期：2014-09-13;修改稿收到日期:2015-01-06 2014-04-22;修改稿收到日期:2014-07-22