“ 腳手架”、變式與數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)

張嫦

數(shù)學(xué)中抽象的概念特別多，如自然數(shù)、點(diǎn)、線、面、體等。為幫助學(xué)生更好地理解抽象的、形式化的數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)清楚數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般過(guò)程，它主要涉及以下三個(gè)環(huán)節(jié)（途徑）：概念探究、變式教學(xué)、數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)。

一、通過(guò)合理設(shè)置的“腳手架”，探究概念的外延與內(nèi)涵。

“腳手架”理念與傳統(tǒng)課堂教學(xué)實(shí)踐中的鋪墊策略有許多相通之處。把這一概念推廣到教學(xué)中，主要有兩個(gè)用意：一是通過(guò)搭建“腳手架”降低任務(wù)的難度；二是在沒(méi)有完成低層次任務(wù)的情況下也可以從事高層次的任務(wù)。

由于數(shù)學(xué)概念相對(duì)比較抽象，因此在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中最基本的搭建“腳手架”的方法是將其具體化，如通過(guò)“手工操作”的方式來(lái)幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念。

筆者以“圓的認(rèn)識(shí)”為例具體闡述。“圓”的相關(guān)知識(shí)在2014人教版教材中出現(xiàn)兩次，第一次是在一年級(jí)下冊(cè)，第二次是在六年級(jí)上冊(cè)。在這兩次認(rèn)識(shí)中，我們可以分兩個(gè)層次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念探究。

第一層次（一年級(jí)下冊(cè)）：游戲中初步感悟。

師（出示一個(gè)盒子）：老師在這個(gè)盒子里裝了一些長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓，以及其他平面圖形，你能從中摸出一個(gè)圓嗎？

學(xué)生躍躍欲試，幾個(gè)學(xué)生上臺(tái)并準(zhǔn)確摸出了圓。

師：你們?yōu)槭裁床幻鲞@些圖形？（出示三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形）

師：你覺(jué)得圓和這些圖形各有哪些特點(diǎn)呢？

第二層次（六年級(jí)上冊(cè)）：活動(dòng)中二度建構(gòu)。

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合手中的學(xué)習(xí)材料，用圓片折一折，畫(huà)一畫(huà)，量一量。邊操作邊思考：同一個(gè)圓里的半徑有什么特點(diǎn)？直徑有什么特點(diǎn)？半徑和直徑又有什么關(guān)系？

學(xué)生帶著問(wèn)題，有的折，有的量，有的比一比，積極投入研究活動(dòng)，并在動(dòng)手操作和合作交流中自主建構(gòu)了圓半徑、直徑的特征，以及半徑與直徑之間的關(guān)系。

教師根據(jù)不同年齡段學(xué)生的心理認(rèn)知特點(diǎn)，引導(dǎo)他們進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖止げ僮?，幫助不同年?jí)的學(xué)生把幾何形狀和它們的性質(zhì)概念化，達(dá)到他們相應(yīng)年級(jí)應(yīng)該達(dá)到的水平。

需要注意的是，“腳手架”作為一種教學(xué)輔助手段，具有持續(xù)性與暫時(shí)性的特點(diǎn)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生在“腳手架”的功能區(qū)中取得了足夠的積累時(shí)，“腳手架”可能變得多余，教師應(yīng)給予“拆除”。同時(shí)，新的學(xué)習(xí)過(guò)程要求新的“腳手架”，它需要移動(dòng)至新的最近發(fā)展區(qū)。

二、通過(guò)各種變式，對(duì)概念進(jìn)行多角度的辨析與理解

1.在直觀具體的變式中建立聯(lián)系。

數(shù)學(xué)概念雖然抽象，但大多數(shù)概念直接來(lái)自具體的感性經(jīng)驗(yàn)。因此，引入概念的關(guān)鍵是建立感性經(jīng)驗(yàn)與抽象概念之間的聯(lián)系。

平行與垂直，這兩個(gè)概念比較抽象，學(xué)生不易理解。有經(jīng)驗(yàn)的教師通常會(huì)借助兩類(lèi)變式：一是通過(guò)桌面上兩支筆的不同擺放位置使學(xué)生理解垂直和平行研究的是在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。二是利用不同的圖形變式，使學(xué)生原有的感性經(jīng)驗(yàn)從具體直觀上升到圖形的水平。這里必須強(qiáng)調(diào)的是，在教學(xué)的適當(dāng)階段還應(yīng)盡可能地?cái)[脫具體或直觀的背景，使概念上升到抽象水平。

2.在非標(biāo)準(zhǔn)變式中突出概念的本質(zhì)屬性。

每個(gè)數(shù)學(xué)概念都有一個(gè)明晰的邊界，即它是一種外延性概念。從邏輯的角度看，外延性概念所包含的每個(gè)對(duì)象都是等價(jià)的。

如圖1所示，第一列中的兩條直線都是互相垂直的；第二列中的兩個(gè)圖形都是平行四邊形；第三列標(biāo)示的都是三角形的高；第四列表示的都是圓的半徑和直徑。以上陳述在概念的對(duì)象集合中是等價(jià)的，但在學(xué)生的概念理解系統(tǒng)中，這些對(duì)象的地位并不相同。學(xué)生由于受到感性經(jīng)驗(yàn)的影響，或在引入概念時(shí)有“先入為主”等多種原因的干擾，學(xué)生很容易判斷出第一排圖形是概念圖形，因?yàn)樗鼈兙哂袠?biāo)準(zhǔn)的形式而稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)變式；而對(duì)于第二排圖形，學(xué)生就會(huì)感到遲疑或不能確定它們是不是概念圖形，我們把這種非標(biāo)準(zhǔn)的形式稱(chēng)為“非標(biāo)準(zhǔn)變式”。

在這兩種概念變式中，標(biāo)準(zhǔn)變式是把雙刃劍，一方面它有利于學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確把握，另一方面卻容易限制學(xué)生的思維，從而人為地縮小概念的外延。解決這個(gè)問(wèn)題的有效辦法就是不斷變換概念的非本質(zhì)屬性，充分利用非標(biāo)準(zhǔn)變式，突出其本質(zhì)屬性。

3.在非概念變式中明確概念的外延。

除了在內(nèi)涵上下工夫，數(shù)學(xué)概念作為一種外延性概念，教師應(yīng)充分利用“非概念變式”，讓學(xué)生明確概念所包含對(duì)象的清晰邊界。

如圖2所示，平行與垂直，通過(guò)非概念圖形與概念圖形的比較，可以十分直觀地理解概念的本質(zhì)屬性。而在“圓的認(rèn)識(shí)”中，學(xué)生認(rèn)識(shí)了半徑與直徑兩個(gè)概念后，教師可以讓學(xué)生從圖3這么多線段中找出哪些是半徑？哪些是直徑？并重點(diǎn)說(shuō)一說(shuō)理由。這樣操作可以預(yù)防學(xué)生在理解概念時(shí)可能出現(xiàn)的混淆，進(jìn)一步明確半徑與直徑這兩個(gè)概念的內(nèi)涵和外延，并進(jìn)行多角度的辨析與理解。由此可見(jiàn)，運(yùn)用“非概念變式”，學(xué)生能夠準(zhǔn)確地把握概念變式的本質(zhì)特征。

三、通過(guò)數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)與已有的相關(guān)概念建立聯(lián)系

任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都不是孤立的，把新獲得的概念與已有的相關(guān)概念相互聯(lián)系，從而形成一個(gè)概念的網(wǎng)絡(luò)，即數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)。通常情況下，數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)有以下三種基本形式。

1.新信息與已有理解之間的聯(lián)結(jié)。如教學(xué)“容積”的概念后，可以出示兩個(gè)體積一樣大（容積不同）的盒子，問(wèn)它們的容積一樣大嗎？使學(xué)生關(guān)聯(lián)、對(duì)比容積和體積之間的聯(lián)系與區(qū)別，理解要計(jì)算長(zhǎng)方體容器的容積要從里面量長(zhǎng)、寬、高的必要性。

2.不同數(shù)學(xué)概念及其表征之間的聯(lián)結(jié)。在“圓的認(rèn)識(shí)”中，注意讓學(xué)生把圓和三角形、正方形、長(zhǎng)方形進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)一說(shuō)它們有什么相同的地方？有什么不同的地方？這樣做的目的是讓學(xué)生感受到：圓和三角形、正方形、長(zhǎng)方形一樣，都是平面圖形，但圓是由一條曲線圍成的封閉圖形，而其他圖形則是由幾條線段圍成的。這就把不同的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行了聯(lián)結(jié)。在學(xué)習(xí)了質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩個(gè)概念后，學(xué)生往往把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和偶數(shù)的概念混淆起來(lái)。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？是不是所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)？是不是所有的偶數(shù)都是合數(shù)？是不是所有的合數(shù)都是偶數(shù)？將不同數(shù)學(xué)概念及其表征進(jìn)行聯(lián)結(jié)，進(jìn)一步明確奇數(shù)和偶數(shù)，質(zhì)數(shù)和合數(shù)是按照不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類(lèi)的結(jié)果。

3.數(shù)學(xué)概念與日常生活中的相關(guān)現(xiàn)象之間的聯(lián)結(jié)。學(xué)習(xí)了“圓的認(rèn)識(shí)”后，讓學(xué)生解釋?zhuān)很?chē)輪為什么是圓的？車(chē)軸應(yīng)裝在什么位置？如果體育老師要在操場(chǎng)上畫(huà)一個(gè)大大的圓，該怎么辦？學(xué)生將眼光投向生活，將新概念與生活緊密聯(lián)系起來(lái)，有利于感知新概念的實(shí)際意義。

概念的理解從心理層面講應(yīng)該是這樣的：當(dāng)我理解了，我就感到愉快，我就自信；我可以忘掉所有細(xì)節(jié)，而在需要的時(shí)候重新構(gòu)造；我覺(jué)得它已經(jīng)屬于我，我可以把它解釋給別人聽(tīng)。

（作者單位：福建省廈門(mén)市湖明小學(xué)）