理性把握數學本質

周衛(wèi)東

一、在生活與數學、經驗與探究的理性把握中彰顯數學的本質

1.從“生活數學”走向“學校數學”。

數學是研究數量關系和空間形式的科學。生活中的數學感性成分很多，但數學作為對客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，其本質又是理性的。數學教學應該從數學和生活的角度出發(fā)，給學生提供更多理性思考的力量。

【教學片段1】

師：同學們，確定位置在我們身邊隨處可見。仔細觀察這張座位圖（出示教材情境圖），張亮的位置在哪兒，你能用自己的方法說一說嗎？

生1：張亮在第2排第3個。

生2：第5排第3個。

……

師：為什么同一個位置說法卻不一樣呢？

生：每個人看的方法不一樣，每個人看的角度也不同……

師：角度不同，說法自然也不同。這樣交流起來，就會有些……

生：有些麻煩，不夠統(tǒng)一，不容易理解。

師：怎樣才能統(tǒng)一、正確、簡明地描述張亮的位置呢？今天這節(jié)課我們繼續(xù)來研究確定位置。

用數對確定位置的前提便是認識列與行，基于此，許多教師在執(zhí)教本課時總喜歡創(chuàng)設情境，如“猜班長”“猜朋友”等。其實在生活中真正用數對確定位置的方法是不多見的，更多的是一種類似方法的應用。從這個意義上說，我們應將生活中的實物看作數學知識在生活中的原型，而不是數學知識本身。直接從教材的場景圖出發(fā)，讓學生用自己的語言來描述張亮的位置，同樣激活了學生已有的生活經驗。學生的描述可能簡練但不夠準確，也可能準確但不夠統(tǒng)一，但簡短的互動交流已然使學生認識到已有表示方法的不足，產生用統(tǒng)一、簡明的方式來確定位置的需求。

因而，在教學中要處理好數學與生活的關系，關注生活語言，更要關注數學語言；關注生活現(xiàn)象，更要關注數學問題；關注生活事例，更要關注數學原型；關注生活經驗，更要關注數學經驗等?！皵祵W化”是數學的本質，生活化是數學的外延，數學問題不能囿于生活范疇，必須合理地把握數學的本質特點進行教學。

2.從“客觀經驗”走向“主觀探究”。

數學是一種客觀存在，但也是人的一種主觀建構，因此更應該關注學生學習數學的主觀作用。在關注學生學習數學知識的同時，更應該關注學生數學經驗的獲取，讓數學從靜態(tài)走向動態(tài)，從客觀存在走向與主觀獲取的和諧共生。

【教學片段2】

教師向學生介紹列和行的規(guī)定，并確定張亮的位置。

師：和剛開始你們自己的方法對比一下，你有什么感受？

生：變得簡單了一些，變得統(tǒng)一起來。

師：不過數學是一種國際語言，追求簡潔明了，能否寫得再簡單些呢？

教師給出足夠的時間，讓學生自主“創(chuàng)造”自己的寫法。

師：比較一下，你認為哪種方法最不可能被人們接受？

學生在充分的交流之后，黑板上留下了如下幾種方法。

師：這幾種方法中，都有哪些共同的特點？

生1：都有4和2這兩個數字。

生2：都是先寫4，再寫2的。

生3：中間都有一個符號。

教師借機引出數對名稱。

已確定的規(guī)則性內容，是客觀存在的，學生可以直接接受的，就沒有太多的價值進行探索研究。“列與行”的概念，教者直接告知學生，讓學生在認知結構中建立用“第幾列第幾行”的方法確定位置，并觀察從座位圖到點子圖的變化過程，感受確定位置的統(tǒng)一性和準確性，便于學生建立數對的表象理解。但在教學數對含義時，教者先讓學生即興創(chuàng)作、自由發(fā)揮，舍棄了“次品”后，留下的則是逼近數對本質的“正品”了，雖不盡合理與完美，但浸染著學生對知識本質的洞悉和領悟，難能可貴。引導學生對已有方法進行思考比較，水到渠成般抽象出數對的結構特點，“人為規(guī)定”的數對含義在學生的主動參與中獲得了更為鮮活的意義。

數學本質的理性把握，要去兒童化、生活化，但其必然基于兒童主觀經驗的基礎。完全脫離兒童主觀經驗的數學是不理性的，也是不可取的，極易導致數學的經驗化和抽象化。數對概念的教學可以直接告知，也可直接去創(chuàng)造，但對已有方法的比較讓“簡明寫法”的探索有了方向，兒童的主觀經驗得到充分的尊重，使得數學客觀存在與兒童主觀經驗有機契合。

二、在認知與思維、方法與思想的理性把握中彰顯數學的本質

數學的本質是要學會數學地思維，在已有的認知基礎上引導兒童將思考不斷深入、將思維不斷深刻、將方法不斷體悟、將思想不斷領悟，讓兒童由“學會數學地思維”向“通過數學學會思維”發(fā)展，感悟數學核心價值的思維特點，并在掌握學科方法的同時，感悟數學思想的美妙。

1.從“感性認知”走向“深入思維”。

兒童對于數學的理解首先是感性的，唯有在感性認知的基礎上引導兒童走向數學思維的深入，進而改變兒童的思維方式，讓學習與數學認知同行，讓方法與數學思維共存，及時優(yōu)化兒童的思維方式，在思維中體會數學的巨大力量，直抵數學的本質。

【教學片段3】

師：有位同學（4，1）的點描在這里，難道這個數對有兩個對應的點嗎？

生1：不對，他畫錯了。

生2：他把第4列第1行看成了第4行第1列了。

師：那這個點對應的數對是多少？（1，4）

師：而這個點對應的數對才是？（4，1）

師：看來，一個數對只能對應著一個？（一個點）

師：一個點只能對應著一個？（一個數對）

師：原來這點和數對是一一對應的。

學生根據數對找點的過程應該是感性的，但在感性的過程中卻產生了有意義的錯誤資源，這或許是對數對結構的混淆，亦或許是對數對特征的難以分辨。但在比較的過程中，學生卻看到了更有意義的東西——數對與點最本質的“一一對應”的思想，巧妙而又不著痕跡。從感性的認知出發(fā)，進行合理的猜想，在歸納類比中再認識，這本身就是思維方式的熏陶與提升。

數學是認識世界的思維工具，數學的抽象性有助于學生理解事物的共性和本質。在學生主動從事觀察、實驗、類比、歸納等，探索與發(fā)現(xiàn)性的思維活動，在自主探索的過程中真正掌握數學思維、學會數學地思維，這才是數學教學的本質。

2.從“具體方法”走向“思想觀念”。

在數學教學中，應該有效地引導學生經歷知識形成的過程，讓學生在對特殊實例的觀察、實驗、分析、歸納、抽象或概括的過程中，看到知識背后所蘊涵的思想觀念，并點化學生領悟這些思想觀念，那么學生掌握的知識才是生動的、鮮活的、可遷移的，學生的數學素養(yǎng)才能得到質的飛躍。

【教學片段4】

師：你能用數對表示方格紙上這個點的位置嗎？

展示：

師：為什么同一個點會寫出兩個不同的數對呢？

生：它們的起點的數不同，寫的數對不同。一個是以1為起點，一個是以0為起點。

師：其實這兩種寫法都是合理的，只不過它們的起點不同。數學上一般用以什么為起點？（以0為起點）

師：那這張方格圖，它的“0起點”會在哪兒呢？（電腦演示“0起點”）

師：一般情況下，方格圖都會以0為起點。

在方格圖上用數對確定位置，這才是真正意義上的坐標數對。教材例1是在現(xiàn)實情境中用數對確定位置，它與方格圖最大的矛盾就是增加了表示起點的列（縱軸）與行（橫軸），這也是許多教師在教學中無法突破的地方。利用學生熟悉的方格紙巧妙過渡到在方格圖上用數對確定點的位置，但由于方格紙上并沒有表示列和行對應的數，學生形成了兩種不同的數對。再將兩個數對展開比較與辨析，學生感悟到在方格圖上用數對確定位置首先要選擇“0起點”，感受原點的重要性，引導學生逼近重要的坐標思想，真正在學生心中建立起坐標的雛形。張奠宙教授指出：笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何是數學上一個巨大的進步，小學里面先學第一步，就是把坐標建立起來，而建立坐標，首先就是選擇原點。其實用數對確定位置的本質便是坐標思想的滲透。

當下，許多學生的數學理解只能停留在被告知的水平，缺乏一種自我建構的需求。數學課堂應該極力讓學生觸及數學知識的本質，引導學生在理解數學方法的同時感受數學知識背后隱藏的數學思想，體驗數學知識的產生過程。在這種數學本質的洗禮下，學生會更加洞悉數學的本來面目，也更能啟迪智慧。

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬小學）