小波變換和模糊凸集投影相結(jié)合的圖像復原方法研究

李欣

（華南理工大學廣州學院 電子信息工程學院，廣東 廣州 510800）

圖像復原，尤其是圖像去模糊技術(shù)，一直是圖像處理中的研究熱點。近年來，國內(nèi)外已有不少學者對此進行研究，提出了一些成熟的圖像復原算法，比如傳統(tǒng)的POCS（凸集投影）[1-3]算法、Lucy-Richardson（L-R）[4-5]算法、文獻[6]的算法，但還不能有效的解決圖像復原的病態(tài)性問題。一方面，圖像復原的很多方法都是基于已知的點擴散函數(shù)（PSF）實現(xiàn)圖像復原，如傳統(tǒng)的POCS算法。事實上，PSF往往是未知的，需要在頻域或者空域進行估計，但是估計出來的PSF也很難保證其準確性。另一方面，在對含噪的模糊退化圖像進行圖像復原時，噪聲的存在，會影響圖像復原的效果，尤其是在圖像信噪比低的情況，比如 Lucy-Richardson（L-R）算法、文獻[6]的算法。因此，在進行圖像復原時，必須有效的濾除噪聲。

本文結(jié)合圖像復原中去噪與去模糊的需要，提出了一種小波變換[7-8]與模糊凸集投影相結(jié)合的圖像復原方法。去噪方面引入小波變換，因其具有多分辨分析和小波包分析的特點，在時空兩域都具有表征信號局部特征的能力，很適合于含噪信號的探測分析及其成分展示；去模糊方面引入模糊凸集投影，將同一場景的不同觀測圖像進行小波分解，模糊凸集投影用來標識圖像小波系數(shù)的可靠性，這樣既能消除噪聲的影響，又可以保證結(jié)果圖像融合盡可能多且可靠的信息。

1 模糊凸集投影定義

本文的模糊凸集投影算法，與傳統(tǒng)的POCS算法相似，都是通過融合多幅觀測（退化）圖像的信息來實現(xiàn)降低圖像噪聲和提高圖像清晰度，只是運行在小波域。按照線性系統(tǒng)理論，多觀測圖像系統(tǒng)的退化模型可以表述如下：

其中f表示原始圖像，gi、hi和 ni分別表示第 i個觀測（退化）圖像、第i個觀測圖像的點擴散函數(shù)（PSF）、與第i個圖像的加性噪聲（通常為高斯噪聲）。

雖然觀測圖像中噪聲和模糊的存在，觀測圖像的小波系數(shù)也存在退化和失真，但由于不同觀測圖像包含的信息不同，從而有可能恢復或減少失真。

為了衡量小波系數(shù)的失真程度，本文引入了模糊凸集投影，其定義如下：

其中Af表示定義在E上的模糊集合，Aαf即為 Af的α截斷（0≤α≤1），而 μA（x）為 E 上的隸屬度函數(shù)，值域為[0，1]，表示x對E的隸屬程度。對普通集合A，μA（x）定義為：

為使Aαf滿足凸集的定義，僅需：

其中0≤λ≤1

2 本文算法

2.1 算法原理

現(xiàn)在將模糊凸集理論應用于圖像復原?？紤]到圖像小波系數(shù)的絕對值越大，其受到噪聲和模糊效應的影響就越小，及其可信度越大，屬于原始圖像的小波系數(shù)的可能性越大。因此，設每幅觀測圖像 gi（i=1，2，…，N）進行了 L級小波分解，其第 l級的小波系數(shù)細節(jié)系數(shù)為 Gli（u，v），則其隸屬度可以定義為：

其中 γl（l=1，2，…，L）為正數(shù)，考慮到越高級的小波細節(jié)系數(shù)受到低通濾波作用越大，受到的噪聲影響越小，因而在相同幅度的情況下，其隸屬度應比低級的小波細節(jié)系數(shù)的隸屬度高，即γ1≤γ2≤…≤γL。同時，小波變換的近似系數(shù)應該是可靠的，因此其隸屬度應該為1。為方便一致，將圖像gi（i=1，2，…，N）進行L級小波分解的近似系數(shù)子圖像與各級細節(jié)系數(shù)子圖像組合成的圖像記為 Gi（i=1，2，…，N），則隸屬度函數(shù)統(tǒng)一可以表示為：

從隸屬度函數(shù)的定義（6）看出，其對應的集合 Aαf是一個凸集，定義小波系數(shù)到該凸集的投影為：

將小波系數(shù)投影到凸集Aαf的意義在于將可信度過低的小波系數(shù)丟棄（置為0），保證算法結(jié)果的信息（小波系數(shù)）的可信度。

另外從隸屬度定義表達的小波系數(shù)越大，其受到退化因素影響越小，可信程度越高的概念出發(fā)，為保證最終融合的圖像具有盡可能多的可靠信息，在小波域為每個觀測圖像的（L級小波分解系數(shù)圖像）Gi定義一個凸集，以及原始圖像的（L級小波分解系數(shù)圖像）F到其凸集的投影：

投影為：

由于定義了統(tǒng)一的隸屬度函數(shù)與凸集投影，為了方便，下面的表述中不再區(qū)分近似系數(shù)與各級細節(jié)系數(shù)。

2.2 算法步驟

通過上面的定義和分析，本文提出的模糊凸集投影算法的過程可以表述如下：

步驟 1：初始化 αmax，αmin與 αstep，以及 γl（l=1，2，…，L），將各觀測圖像 gi（i=1，2，…，N）進行 L 級小波分解，得到小波系數(shù)圖像 Gi（i=1，2，…，N）；

步驟 2：令 α=αmax，i=1，F(xiàn)^=Gl，F(xiàn)^表示原始圖像的 L 級小波分解系數(shù)圖像的近似圖像；

步驟 3：對每個小波系數(shù)F^（u，v），投影到 Gi對應的凸集

步驟4：若i=N，轉(zhuǎn)到步驟5，否則i=i+1，返回步驟3；

步驟 5：對每個小波系數(shù)F^（u，v），投影到凸集 Aαf：F^（u，v）=Pα（u，v））；

步驟 6：α=α-αstep，若 α<αmin，轉(zhuǎn)到步驟 7，否則 i=1，轉(zhuǎn)到步驟3；

步驟7：將F^進行小波反變換，得到最終的融合圖像f^，f^就是原始圖像f的估計值。

上述步驟中，步驟3保證了最終圖像f^盡可能的融合最多與最重要的信息，步驟5保證了所融合信息的可靠性，而且通過步驟6的循環(huán)，逐漸的縮小α，使得凸集Aαf逐漸膨脹，從而使得每個小波系數(shù)根據(jù)其可靠性的順序逐步被包含在f^中。

3 對比實驗

實驗在Matlab平臺上進行。本實驗使用“sym4”小波的5級小波分解進行實驗， 選擇 αmax=0.99，αmin=0.05，αstep=0.01，γ1=5.0e-3，γ2=γ3=4.5e-3，γ4=γ5=4.0e-3， 并產(chǎn)生了 5 幅退化圖像。退化圖像的產(chǎn)生是根據(jù)圖像退化模型（見式1）產(chǎn)生的，每一個退化圖像的PSF由運動模糊與高斯模糊的卷積產(chǎn)生，加性噪聲選擇σ2n=5高斯白噪聲。

實驗中，本文算法與Lucy-Richardson（L-R）算法、文獻[6]的算法進行了對比。如圖1是對大小為的Lena圖像進行實驗的結(jié)果。其中圖1（a）是原圖像加模糊和噪聲后的其中一幅退化圖像。

為了客觀評價各算法復原結(jié)果，引入峰值信噪比PSNR，算法運行時間，以及圖像復原相關(guān)測度K為

它們的對比結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，本文提出的算法取得比L-R算法和文獻[6]更好的復原效果，因為L-R算法僅采用一幅退化圖像的信息進行復原，而文獻[6]與本文算法均使用了對5幅退化圖像進行信息融合的方法，因而獲取的原始圖像信息更多，復原效果更好；另外，文獻[6]采用的頻率域復原方法，根據(jù)系數(shù)的可靠程度，舍去不可靠系數(shù)（置為0），因此其去噪性能與模糊性能沖突很大，而本文采用的算法在小波域進行圖像復原，利用了小波變換的特點，使得能夠在不同細節(jié)層次上對圖像進行不同程度的處理，減少了去噪對圖像去模糊的影響。從相關(guān)測度K值上也可以看出，本文算法更接近1，也就是3種算法中，本文算法圖像復原誤差最小，感官視覺上更接近原圖像。綜合考慮以上3個指標，本文算法圖像復原效果最好。

圖1 Lena復原效果對比圖Fig.1 Lena restoration effect comparison chart

表1 各算法復原Lena圖像的PSNR比較結(jié)果Tab.1 The algorithm of restoration image （Lena） PSNR results

為了考察觀測圖像（退化圖像）數(shù)目對融合結(jié)果圖像的影響，下面對Lena圖像數(shù)目在3、5、8和10的情況下進行實驗，具體如表2所示。

表2 觀測圖像數(shù)目對融合結(jié)果圖像的影響Tab.2 Effect of observations on number of image fusion results

從表2看出，在一定圖像數(shù)目范圍內(nèi)，獲得的觀測圖像（退化圖像）數(shù)目越多，復原圖像的質(zhì)量越高，越接近原始圖像。然而，當觀測圖像數(shù)目增加到5幅以上，圖像復原的質(zhì)量并沒有隨著圖像數(shù)目的增加而增加。這是因為，觀測圖像數(shù)目到了一定程度，新增加的觀測圖像不能帶來更多的新信息，導致復原圖像的PSNR增長緩慢或基本保持不變。

4 結(jié) 論

文中提出了小波變換與模糊凸集投影相結(jié)合的圖像復原算法。該算法在處理圖像模糊時，不需要使用PSF，而是通過小波域分解的圖像信息融合，提高圖像的清晰度。在圖像融合過程中引入的模糊凸集投影衡量小波系數(shù)，保證了圖像融合過程的可靠性，也有效的抑制了噪聲。最后，選擇在小波域進行融合，能利用小波變換的特性，減少了噪聲對圖像融合效果的影響，節(jié)省了算法運行時間，提高了圖像復原的效果。

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