封閉解法求解3-PRS并聯(lián)機構(gòu)的位置正解

山西中北大學機械與動力工程學院 郝亮亮

引言

目前位置正解包括數(shù)值解法和封閉解法[1]。韓方元等[2]提出快速求解3-RPS并聯(lián)機構(gòu)正解的數(shù)值解法。劉奇帥等[3]采用遺傳算法求解位置正解。程世利等[4]研究6-SPS并聯(lián)機構(gòu)正解問題。

本文對3-PRS并聯(lián)機構(gòu)應用封閉解法進行位置正解的求解。將位置反解所得結(jié)果作為輸入條件，借助MATLAB編程數(shù)值計算，驗證該解法的正確性。繪制了姿態(tài)圖，形象了解了工作狀態(tài)，有助于實時控制。

1 3-PRS并聯(lián)機構(gòu)描述構(gòu)型

圖13 -PRS機構(gòu)簡圖

3-PRS并聯(lián)機構(gòu)由靜平臺A1A2A3、動平臺R1R2R3以及3條PSR支鏈組成，如圖1所示。靜、動平臺為正三角形，O1中心O2與端點Ri距離為r。滑塊Pi安裝在導軌上，動平臺由等長連桿Li連接，滑塊與連桿通過球鉸副Si連接，靜平臺與連桿通過旋轉(zhuǎn)副Ri連接。中心為O2坐標作為輸出；滑塊Pi與zi為輸入。

2 3-PRS并聯(lián)機構(gòu)位置正解求解

由球副Si在靜坐標系的位置向量和轉(zhuǎn)動副Ri點間距不變可得約束方程組（1），其中 Ai，Bi，Ci，Di，Ei，F(xiàn)i，Gi為已知參數(shù)L,R,r,zi的表達式。求解式（1）的方程就解得連桿與導軌法線的夾角φi，本文運用換元法將該方程轉(zhuǎn)化成單參數(shù)且系數(shù)是關(guān)于單參數(shù)的不高于四次的函數(shù)方程。

將其關(guān)系表示成矩陣的形式，可以求解出該矩陣有非零解，及其系數(shù)矩陣|A|=0。

其中矩陣 |A|代表與 L，R，r，zi相關(guān)的表達式，求出夾角φi，然后可以得到安裝工具O2輸出坐標。

3 算例分析

根據(jù)Ri，Si共面約束條件，即可得到滑動塊的輸入zi。本文以某曲面數(shù)控加工機床為例。設(shè)置反解初始結(jié)構(gòu)參數(shù)：R=130mm，r=75mm，L=160mm； 設(shè) 置Z-X-Y形式歐拉變換角為：-γ=α=π/12，β=π/6。輸出 O2坐標為(-2.5,-3.8,-260.0)；輸入滑塊 Pi位置z1=79.29，z2=118.16，z3=138.20。利用結(jié)構(gòu)數(shù) L，R，r和 zi，在 MATLAB中運算可得關(guān)于單參數(shù)的16次方程，求解得到16個解，根據(jù)空間約束條件，篩選出8組實數(shù)解。最終可得動平臺中心的O2輸出坐標(x,y,z)/mm如下：(-2.45,-3.86,-259.81);(-5.85,-25.01,-240.23);(26.54,32.12,-201.56);(6.87,-33.99,-216.00);(30.24,8.80,-235.11);(-3.19,-2.89,-259.33);(-36.87,-5.46,-230.12);(-180.21,36.0,-215.34)。

由數(shù)據(jù)繪制姿態(tài)圖2，圖中第一幅圖是所給機構(gòu)的初始位姿。另外圖示位姿受到干涉不符合約束條件，實際中不能達到。

圖2 正解對應的動平臺位姿

4 結(jié)論

本文應用封閉矢量環(huán)建立3-PRS并聯(lián)機構(gòu)正解模型，最終得到單參數(shù)16次方程表達式。將反解結(jié)果作為正解輸入條件，計算得16個正解，最后篩選出合理的8組解，經(jīng)過正反解的對比驗證了方法的正確性，得到3-PRS并聯(lián)機構(gòu)在一定約束下正解唯一。

[1]黃真,趙永生,趙鐵石.高等空間機構(gòu)學 [M].北京:高等教育出版社,2006:142-158.

[2]韓方元,趙丁選,李天宇.3-RPS并聯(lián)機構(gòu)正解快速數(shù)值算法[J].農(nóng)業(yè)機械學報,2011,42(04):229-233.

[3]劉奇帥,楊熙,杜翠國等.利用遺傳算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡求解并聯(lián)機構(gòu)位置正解[J].煤礦機械,2013,34(02):11-12.

[4]程世利,吳洪濤,姚裕等.6-SPS并聯(lián)機構(gòu)運動學正解的一種解析化方法[J].機械工程學報,2010,46(09):26-31.