基于DELTA機(jī)器人的動力學(xué)逆解算法設(shè)計(jì)及應(yīng)用

徐 恒，李夢姣，陰雷鳴

（1.四川航天職業(yè)技術(shù)學(xué)院 四川 成都 610100；2.廣州數(shù)控設(shè)備有限公司 廣東 廣州 510165）

閉環(huán)的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)允許并聯(lián)機(jī)器人被基座上或附近的驅(qū)動部件驅(qū)動[1]。相反，串聯(lián)機(jī)器人通常由沿機(jī)構(gòu)鏈上各個關(guān)節(jié)驅(qū)動。安裝在機(jī)構(gòu)鏈上各個關(guān)節(jié)的驅(qū)動器會對機(jī)器人本身產(chǎn)生巨大的負(fù)重。然而并聯(lián)機(jī)器人的連桿通常沒有必要承受驅(qū)動器的重量。這使得并聯(lián)機(jī)器人的連桿重量比串聯(lián)機(jī)器人的連桿重量要輕許多。因此并聯(lián)機(jī)器人的輕重量帶來了許多有潛力的價值，并聯(lián)機(jī)器人的最大的缺點(diǎn)是它的工作空間比串聯(lián)機(jī)器人要小得多[2]。

1 機(jī)構(gòu)簡介

DELTA機(jī)器人由靜平臺（上平臺）、動平臺（下平臺）、3根主動桿、3個平行四邊形從動支鏈組成（結(jié)構(gòu)如圖1所示）?；脚_的三邊通過3條相同的運(yùn)動鏈分別連接到運(yùn)動平臺的三條邊上。每條運(yùn)動鏈中有一個由4個球鉸與桿件組成的平行四邊形閉環(huán)，此閉環(huán)再與一個帶轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的驅(qū)動臂相串聯(lián)，驅(qū)動臂的一端固定在靜平臺上，在電動機(jī)的驅(qū)動下作一定角度的反復(fù)擺動。這3條運(yùn)動鏈決定了運(yùn)動平臺的運(yùn)動特性[3]。運(yùn)動平臺不能繞任何軸線旋轉(zhuǎn)，但可以在直角坐標(biāo)空間沿x，y，z 3個方向平移運(yùn)動，即具有3個自由度。

圖1 DELTA機(jī)器人機(jī)構(gòu)圖Fig.1 DELTA robot mechanism map

2 DELTA機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解算法

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)研究是在連桿幾何約束下的機(jī)器人運(yùn)動。機(jī)構(gòu)學(xué)分析在不考慮引起機(jī)器人運(yùn)動的力或力矩的情況下進(jìn)行。機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)問題涉及把已知的機(jī)器人輸出連桿的位姿映射到能夠使機(jī)器人輸出連桿到達(dá)該位姿的輸入關(guān)節(jié)變量的集[4]。根據(jù)DELTA機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)，DELTA機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解問題是：已知DELTA機(jī)器人的動平臺中心點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的位置，求解DELTA機(jī)器人3根主動桿和固定平臺之間的角度[5]。

圖2 DELTA機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 DELTA robot mechanical structure schematic

給定運(yùn)動平臺中心點(diǎn)P在基座坐標(biāo)系中的坐標(biāo)Rxyz，如圖2所示，要求各驅(qū)動臂對基座平臺的張角。定義坐標(biāo)Ruvw系其 W 軸和Z軸重合，U 軸指向點(diǎn) Ai（i=1，2，3）。由基座坐標(biāo)系Rxyz到坐標(biāo)系Ruvw的坐標(biāo)變換矩陣為

則點(diǎn)P，Ai及Ci在坐標(biāo)系Ruvw中的坐標(biāo)為：

點(diǎn)Bi的運(yùn)動軌跡應(yīng)當(dāng)在以Ci為中心，半徑為從動桿m的球面上，于是得：

點(diǎn)Bi的運(yùn)動軌跡也應(yīng)當(dāng)在以Ai為圓心，半徑為n，且位于u-w平面內(nèi)的一個圓上，則有：

連立求解方程，一般可得到園和球面的兩個交點(diǎn)，其坐標(biāo)為

3 工作空間分析

工作空間運(yùn)用空間幾何來描述機(jī)器人的性能。機(jī)器人正常運(yùn)行時，機(jī)器人末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系原點(diǎn)能夠到達(dá)的所有點(diǎn)的集合構(gòu)成了機(jī)器人的工作空間。機(jī)器人的工作空間包括兩個基本問題的求解：機(jī)器人的工作空間分析和機(jī)器人工作空間的綜合[6]。本文運(yùn)用解析幾何的方法計(jì)算DELTA機(jī)器人的工作空間：

圖3 DELTA機(jī)器人坐標(biāo)圖Fig.3 DELTA robot plot

將上式化簡為：aisinθi+bicosθi-ki=0

因此可以得到不等式：

即為：

上面這個不等式即表示一個空間范圍，該空間邊界為Qi（x，y，z）=0 （i=1，2，3）。 以上的等式都是建立在固定坐標(biāo)系R（，，中，在此定義一個新的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 T（，），其中：

所移動平臺中點(diǎn)O′在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系T中的位置矢量為：

將空間邊界 Qi（x，y，z）=0 經(jīng)過簡化后在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中表達(dá)式為：

上面的形式與圓環(huán)的標(biāo)準(zhǔn)方程一致，其中：

圓環(huán)中心為（Δr，0）T=（Δr cosφi，Δr cosφi，0）R

4 結(jié)束語

DELTA機(jī)構(gòu)具有并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的諸多優(yōu)點(diǎn)，在不少領(lǐng)域有潛在的用途。研究其在大負(fù)載情況下的應(yīng)用，是一個重要的方面。本文提出了一種DELTA型并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解的幾何解法，充分利用DELTA機(jī)構(gòu)的特殊幾何特性及運(yùn)動約束條件，求解過程簡單、直觀，推導(dǎo)過程的每一步都有明確的幾何意義。

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