基于反演滑模的二元機翼顫振控制

趙志航，張 成，薛文濤

（江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

在航空領(lǐng)域，對顫振問題的研究對于飛行器的設(shè)計具有重要的意義。而顫振的主動抑制更是學(xué)術(shù)界和工程界研究的熱點。自20世紀80年代起，美國開展的主動氣動彈性記憶計劃，使得顫振主動抑制作為一項重要內(nèi)容和關(guān)鍵技術(shù)，開始向工程應(yīng)用邁進[1]。顫振主動抑制的主旨在于控制反饋改變原系統(tǒng)的極點分布，使開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)閉環(huán)且具有穩(wěn)定極點。而近年來，以現(xiàn)代控制理論方法為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制、魯棒控制以及智能控制等方法的發(fā)展，逐漸成為顫振主動抑制的設(shè)計手段，并取得了一定的成果[2-3]。

滑模變結(jié)構(gòu)控制[4]是變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一種控制策略。其主旨是在相空間設(shè)計一組滑模面和一系列切換函數(shù)，這些切換函數(shù)的目的是使系統(tǒng)狀態(tài)變量向滑模面運動，當(dāng)狀態(tài)變量到達滑模面時，控制使狀態(tài)變量按照設(shè)定的軌跡做滑模運動，最終漸近穩(wěn)定。由于滑模運動不受系統(tǒng)參數(shù)及外界擾動的影響，所以處于滑模狀態(tài)的系統(tǒng)具有很好的魯棒性，但傳統(tǒng)滑?？刂魄袚Q裝置的非理想性存在抖振現(xiàn)象，滑動模態(tài)精度會受采樣時間的影響，同時傳統(tǒng)滑模還存在相對階數(shù)的限制[5]。因此，考慮引入反演方法來改善滑?？刂频木C合性能。反演控制方法通過將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后引入中間虛擬量并設(shè)計每個子系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，使其滿足李雅普諾夫穩(wěn)定定理，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。反演與滑?？刂频慕Y(jié)合已經(jīng)被用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)的魯棒控制[6]。

本文以一個帶后緣控制面的二元機翼為研究對象，首先建立機翼氣動彈性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，然后將反演與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，設(shè)計一種反演滑?？刂破?，去抑制非線性機翼顫振，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 二元機翼系統(tǒng)建模

帶后緣面的二元機翼氣動彈性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，采用準定常氣動理論，可得到系統(tǒng)的運動方程[7]如下：

其中，h為浮沉位移，α為俯仰角，b為機翼半弦長，mt為主翼和控制部分的總質(zhì)量，mw為主翼的質(zhì)量，Iα為機翼慣性矩，xα是質(zhì)心到彈性軸的無量綱距離，ch和cα分別為浮沉位移和俯仰角阻尼系數(shù)，kh和kα（α）分別為浮沉位移和俯仰角的彈簧剛度系數(shù)，L和M分別為氣動力和力矩。這里的kα（α）可以表示一下式子：

圖1 二元機翼氣動彈性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 The structure of two-dimensional wing aeroelasticsystem

則有：

其中，a為機翼中心到彈性軸的無量綱距離，β為空氣密度，sp為翼剖面的跨度，clα和cmα分別為單位攻角所對應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù)，clβ和cmβ分別為后翼單位偏轉(zhuǎn)角對應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù)，cmα和cmβ分別為單位攻角和后翼單位偏轉(zhuǎn)角對應(yīng)的力矩派生系數(shù)，表示為

本實驗的模型在對稱機翼機構(gòu)條件下，cmα=0，適用于低頻、亞音速飛行條件。將（3）式帶入（1）式中，改寫狀態(tài)方程：

假設(shè)模型中u1=g1β，u2=g2β。方程中各項系數(shù)變量如下所示：

2 反演滑?？刂破髟O(shè)計

反演控制的基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后引入中間虛擬量并設(shè)計每個子系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，一直后退到整個系統(tǒng)，直到完成最終的控制器設(shè)計[8]。本文將反演控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，實際系統(tǒng)的不確定部分可以通過滑?？刂苼硌a償，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒性。

定義系統(tǒng)的狀態(tài)向量及參考輸入：

定義Lyapunov函數(shù)：

對求導(dǎo)有：

為了是V˙1≤0，需要進一步定義新的Lyapunov函數(shù)。根據(jù)上述定義的Z2，求得其導(dǎo)數(shù)為：

定義滑模面函數(shù)：

其中，k2>0，k4>0。

定義如下Lyapunov函數(shù)：

則的導(dǎo)數(shù)為：

假設(shè)滑?？刂破鞯内吔蔀椋?/p>

其中，η1，η2，η3，η4均為正常數(shù)。

則我們得到的切換率為：

將（12）式代入（10）式中得到：

若能保證|Q1|≥0，|Q2|≥0，η1≥0，η2≥0，η3≥0，η4≥0，從而V˙2≤0，滿足 Lyapunov 穩(wěn)定性條件，z11，z12，z21，z22均以指數(shù)形式漸進穩(wěn)定，從而保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

當(dāng)飛行器的速度較大時，機翼的浮沉和俯仰角自由度可能偏離設(shè)定值產(chǎn)生較大的變化，這時就要求控制器的輸出絕對值有較大的控制量，實際情況機翼后緣控制面的偏轉(zhuǎn)角是不能過大的。為了避免控制器輸出絕對值偏大，我們加入飽和限幅函數(shù)對偏轉(zhuǎn)角進行限制。飽和函數(shù)如圖2所示。非線性二元機翼的閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 二元機翼反演滑模控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 The structure of two-dimensional aerofoilbackstrpping sliding mode control system

3 仿真分析

系統(tǒng)的初始狀態(tài) x（0）=[α，α˙，h，h˙]為[15°，0°/s，0.15 m，0 m/s]。開環(huán)顫振速度為U=19.062 5 m/s，機翼的浮沉和俯仰自由度參考值 x1d=0，x3d=0。 考慮外部擾動 d1=0.1sin（t），d2=0.02sin（t）。

二元機翼氣動彈性系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。

表1 氣動彈性系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 Sim ulation parameter for aeroelastic system

控制器的參數(shù)取值如下：k1=k3=2，k2=k4=7，η1=η3=3，η2=η4=2。

如圖4所示為反演滑模控制的氣動彈性系統(tǒng)的仿真，其中俯仰角和浮沉位移的時間響應(yīng)分別如圖（a）和圖（b）所示，俯仰角和浮沉位移的相平面軌跡分別如圖（c）和圖（d）所示。可以看出，機翼的俯仰角初始狀態(tài)給予15°的偏差，但經(jīng)過控制后俯仰運動6 s內(nèi)收斂到零位，如圖（a）所示，機翼的浮沉位移初始狀態(tài)給予0.15 m的偏差，但經(jīng)過控制后浮沉運動在1 s內(nèi)收斂到零位，如圖（b）所示。機翼俯仰運動和浮沉運動的收斂過程平穩(wěn)，并且控制器能夠使系統(tǒng)變量穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，有效抑制系統(tǒng)的顫振。從相平面軌跡看，機翼的俯仰角和浮沉位移的相平面軌跡穩(wěn)定地收斂到原點，保證了非線性機翼系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文中的提出的反演滑?？胤椒ǎ軌蚴苟獧C翼的浮沉位移和俯仰角平穩(wěn)、快速地收斂到零，保證了氣動彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定，且顫振得到了有效抑制。

4 結(jié) 論

圖4 反演滑?？刂品抡娼Y(jié)果Fig.4 The simulation results of backstepping sliding mode control

針對非線性二元機翼氣動彈性系統(tǒng)的顫振問題，通過反演控制與滑模控制相結(jié)合的控制策略來控制氣動彈性系統(tǒng)的浮沉運動與俯仰角，并利用Lyapunov理論證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，在開環(huán)顫振速度下，閉環(huán)系統(tǒng)的浮沉與俯仰狀態(tài)能夠快速的收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，控制器能有效地控制非線性機翼系統(tǒng)的顫振。

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