纖維混凝土受壓細(xì)觀統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型研究

關(guān) 虓，牛荻濤，吳 博，王家濱

(西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055)

近些年來(lái)，眾學(xué)者將不同纖維摻入到普通混凝土中，對(duì)其力學(xué)性能進(jìn)行了研究，取得了不少的有益成果[1-3].與普通混凝土相比，纖維混凝土，由于其中亂向分布的纖維能夠分擔(dān)混凝土所承受的應(yīng)力，可提高混凝土的力學(xué)性能.而混凝土在單軸受壓作用下的損傷機(jī)制實(shí)質(zhì)上由拉應(yīng)力引起的，纖維的加入可以有效的抑制這種拉應(yīng)力引起的裂紋，故研究纖維混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)具有重要意義.

隨著連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論的逐步發(fā)展及對(duì)混凝土在不同尺度上進(jìn)行的大量基礎(chǔ)研究，基于損傷理論的本構(gòu)模型研究取得了一些有益的成果，但如何定義損傷變量及損傷變量如何與宏觀力學(xué)量建立聯(lián)系依然是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題[4-6].李兆霞、余壽文等[7-12]認(rèn)為基于細(xì)觀統(tǒng)計(jì)損傷理論的模型可以將細(xì)觀損傷變量與宏觀力學(xué)量較好的聯(lián)系起來(lái)，將是今后損傷力學(xué)的發(fā)展趨勢(shì).

基于細(xì)觀統(tǒng)計(jì)損傷理論及平行桿模型[13]，建立了損傷變量為極限應(yīng)變的損傷演化方程，并對(duì)具有統(tǒng)計(jì)意義（樣本空間大于30）的應(yīng)力應(yīng)變?cè)囼?yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析及假設(shè)檢驗(yàn)，以此確定了微損傷系統(tǒng)的概型分布，導(dǎo)出了確定該分布函數(shù)變化的統(tǒng)計(jì)演化方程，提出了考慮塑性變形及損傷閾值的纖維混凝土單軸受壓細(xì)觀統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型.

1 統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的建立

根據(jù)文獻(xiàn)[13]的力學(xué)模型基礎(chǔ)，將混凝土試件視為由無(wú)窮多個(gè)微元體組成的，各微元體由相互平行且等間距分布的彈脆性鏈桿來(lái)模擬，鏈桿的斷裂表示微損傷的產(chǎn)生.在宏觀裂縫出現(xiàn)之前各微元體都可能發(fā)生損傷，且發(fā)生斷裂的鏈桿是隨機(jī)的.

假設(shè)鏈桿的斷裂應(yīng)變服從某一分布函數(shù)F(x)，并且我們視混凝土材料的損傷現(xiàn)象為一連續(xù)過(guò)程，即F(x)在其自變量取值空間域中為連續(xù)的，則存在一個(gè)f(x)，使得

我們給微元體施加一個(gè)微小擾動(dòng)εΔ，使得整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)變變?yōu)棣纽?Δ，根據(jù)概率分布函數(shù)的性質(zhì)可知，增加的微小擾動(dòng)εΔ所引起鏈桿斷裂的概率可表示為

則微元體的平均斷裂密度函數(shù)為

對(duì)上式取極限即為當(dāng)系統(tǒng)壓應(yīng)變?yōu)棣艜r(shí)，鏈桿斷裂的概率密度函數(shù)，表達(dá)式如下：

它反映了密度函數(shù) f(x)在系統(tǒng)應(yīng)變?yōu)棣艜r(shí)，在其領(lǐng)域（ ε ± Δε,Δ ε→0）范圍內(nèi)的密集程度，即變化率.

如前所述，材料的損傷變量D是反映材料損傷程度的一種度量，即混凝土在損傷過(guò)程中表示微單元損傷率的一種度量，而損傷程度則與鏈桿斷裂的數(shù)量有關(guān)，鏈桿的斷裂則直接由斷裂應(yīng)變得大小所決定，故我們可認(rèn)為鏈桿的斷裂應(yīng)變?chǔ)排c損傷變量D之間存在著某種映射關(guān)系，即某種函數(shù)關(guān)系g(ε)，令

式(3)反映了損傷變量D，在系統(tǒng)應(yīng)變?yōu)棣艜r(shí)，在其領(lǐng)域（ ε ± Δε,Δ ε→0）范圍內(nèi)的變化率.根據(jù)式(2)的性質(zhì)可知， g (ε)和 f (ε)具有相同的函數(shù)性質(zhì)及幾何意義，故可用密度函數(shù) f (ε)表達(dá) g (ε)，則

對(duì)式(4)進(jìn)行積分，即為損傷變量D，表達(dá)式如下：

式中：f(x)為鏈桿極限斷裂應(yīng)變服從的概率密度函數(shù)，F(xiàn)(x)為其分布函數(shù).

混凝土在變形過(guò)程中，有很大一部分應(yīng)變是不可恢復(fù)的，我們稱這種不可恢復(fù)的變形為塑性應(yīng)變，塑性應(yīng)變隨應(yīng)變的增大而增大.系統(tǒng)應(yīng)變?chǔ)庞蓮椥詰?yīng)變?chǔ)舉和塑性應(yīng)變?chǔ)舙兩部組成，即ε = εe+εp.

根據(jù)內(nèi)變量理論[14]，不考慮溫度影響時(shí)，各向同性材料的損傷狀態(tài)可以通過(guò)彈性應(yīng)變?chǔ)舉、塑性應(yīng)變?chǔ)舙以及損傷因子D來(lái)描述.通常假定材料的彈性自由能勢(shì)與塑性自由能勢(shì)不相關(guān)，則 Helmholtz自由能勢(shì)可以表示為

式中：d為損傷內(nèi)變量，εp為塑性內(nèi)變量.

根據(jù)熱力學(xué)第二定律可知，并考慮等溫絕熱條件，則可得下式：

其中，eTs=-Φ為Helmholtz自由能狀態(tài)函數(shù).

對(duì)式(7)及Helmholtz自由能狀態(tài)函數(shù)微分，并代入Clausius-Duheim不等式，并考慮εe的任意性，可得

將式(5)及式(7)代入式(8)，即可得到混凝土損傷本構(gòu)方程為

2 試驗(yàn)概況

2.1 混凝土配合比

所用鋼纖維為剪切波浪型鋼纖維，長(zhǎng)30 mm，直徑0.5 mm，長(zhǎng)徑比為60，抗拉強(qiáng)度＞380 MPa.水泥為 P·O42.5R普通硅酸鹽水泥.霸河中砂，細(xì)度模數(shù)2.7.粗骨料為碎石，粒徑5～20 mm.效減水劑摻量為1 %.采用3種混凝土配合比，水膠比均為0.46，鋼纖維體積摻量ρs為1 %，聚丙烯纖維體積摻量ρp也為1 %，具體配合比如表1所示，其中編號(hào)“PC”表示鋼纖維摻量為零的普通混凝土，“SFC”表示摻有鋼纖維的混凝土，“PFC”表示摻有聚丙烯纖維的混凝土.

2.2 試驗(yàn)方法

試驗(yàn)共制作80個(gè)100 mm×100 mm×300 mm的棱柱體試件，其中PC組31個(gè)，SFC組38個(gè)，PFC組 11個(gè)，用于測(cè)試混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線.試驗(yàn)采用人工采點(diǎn)，采取加載過(guò)程中力和位移值.為了保證試件軸心受壓，在加載面鋪墊細(xì)砂找平，使試件受力均勻.試驗(yàn)最小加載速率為 0.1 mm/min.

3 損傷變量的確定

表1 不同纖維混凝土配合比Tab.1 Different fiber reinforced concrete mixing proportion and mechanical property

不同混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值應(yīng)變的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.

表2 峰值應(yīng)變統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.2 Statistical results of peak strain

從表 2可以看出，摻有纖維的兩組混凝土試件的峰值應(yīng)變大于普通混凝土，這是因?yàn)樵诨炷潦艿綉?yīng)力作用時(shí)，纖維分擔(dān)了一部分應(yīng)力作用，改善了混凝土的抗拉性和韌性，從而提高了混凝土的變形能力；而鋼纖維混凝土峰值應(yīng)變的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)大于其他兩組，是由于其樣本數(shù)量最大，樣本分布的離散性相對(duì)較大.

假定三組試件的峰值應(yīng)變均服從三參數(shù)weibull分布，考慮檢驗(yàn)的顯著水平α=0.05，本次檢驗(yàn)采用 χ2法進(jìn)行檢驗(yàn).計(jì)算假設(shè)的三參數(shù) weibull分布公式下式所示.

其均值與方差分別為:

通過(guò)中位秩公式[15]求得，)(gΓ為伽馬函數(shù).

采用二階矩法確定三參數(shù)γ、m、η的估計(jì)值，具體如表3所示.

對(duì)不同試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示.

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 The parameters ofWeibull distribution function

表4 參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果Tab.4 Test result of Weibull distribution

由表4可以看出，三組不同混凝土的峰值應(yīng)變均服從weibull分布，將式(10)代入式(9)，即可得到本文的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型.

式中：γ為損傷閾值.

4 纖維混凝土統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

4.1 參數(shù)的確定

單軸受壓σ-ε曲線具有唯一峰值點(diǎn)應(yīng)力σp和與其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?chǔ)舙，且在該峰值點(diǎn)前曲線為單調(diào)遞增，峰值點(diǎn)之后曲線為單調(diào)遞減的特征，根據(jù)此特性并對(duì)式(13)求導(dǎo)，可得

其中： εp= ε σ/(1+σ)，δ為材料系數(shù)[16]，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定.

結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析了不同損傷閾值對(duì)模型的影響，結(jié)論如下：對(duì)于普通混凝土來(lái)說(shuō)，γ取0.5～0.7倍峰值應(yīng)變；而對(duì)鋼纖維混凝土來(lái)說(shuō)，γ則為0.75～0.85倍的峰值應(yīng)變；聚丙烯纖維混凝土的γ取值為0.6～0.8.通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析計(jì)算，本文最終確定普通混凝土的γ取值為0.6倍的峰值應(yīng)變；鋼纖維混凝土的γ取值為0.8倍的峰值應(yīng)變；聚丙烯纖維混凝土的γ取值為0.7倍的峰值應(yīng)變.如圖1所示.

圖1 損傷閾值對(duì)曲線的影響Fig.1 The stress-strain curves of different damage threshold

從損傷閾值的取值也可看出，普通混凝土摻入纖維后，損傷閾值有所提高，這是因?yàn)樵谖⒂^層面上纖維可以抑制微裂紋的產(chǎn)生和發(fā)展，改善混凝土材料的工作性能，有效地減緩了材料的損傷發(fā)展進(jìn)程，從而提高了損傷發(fā)生的閾值.

4.2 纖維混凝土統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

將三組試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入到式(14)中，即可求得每一條應(yīng)力應(yīng)變曲線所對(duì)應(yīng)的參數(shù)m和η，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，建立頻率直方圖，假定其服從正態(tài)分布，采用χ2檢驗(yàn)法對(duì)其概型分布進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果為接受.三組不同混凝土相關(guān)參數(shù)的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)，如表5、6所示.

表5 參數(shù)m統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.5 Statistical results of the parameter m

表6 參數(shù)η統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.6 Statistical results of the parameter η

根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，即可得到普通混凝土、鋼纖維混凝土及聚丙烯纖維混凝土的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，分別如式(15)、式(16)、式(17)所示.

4.3 參數(shù)m和η的物理意義

考慮在 γ=0.80、η=0.001 82 及 γ=0.7、η=0.001 81時(shí)，參數(shù)m對(duì)鋼纖維混凝土和聚丙烯纖維混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線的影響，如圖 2(a)、4(b)所示.由圖2(a)、2(b)可知，隨著參數(shù)m的逐漸增大，兩種混凝土的峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變也逐漸增大，下降段曲線越來(lái)越陡，材料脆性增大.因此，參數(shù)m反映了兩種混凝土材料內(nèi)部微元結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分布的集中程度.當(dāng)γ=0.85和m=1.55時(shí)，參數(shù)η對(duì)應(yīng)力應(yīng)變曲線的影響如圖2(c)、2(d)所示.由圖2(c)、2(d)可知，隨著η的增大，兩種混凝土峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變逐漸增大，下降曲線段斜率變化不大，故η反映了兩組混凝土宏觀統(tǒng)計(jì)平均強(qiáng)度的大小，并且η對(duì)下降段的軟化模量影響不大.

圖2 參數(shù)m和η對(duì)應(yīng)力應(yīng)變曲線的影響Fig.2 The influence of the parameters m and ηon the σ-ε curve

5 模型驗(yàn)證

將試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別帶入本文所建立的模型、未考慮塑性變形模型及過(guò)鎮(zhèn)海模型，如圖3所示；同時(shí)，將所建立的三種不同混凝土損傷模型進(jìn)行比較，如圖4所示，分析纖維對(duì)混凝土力學(xué)性能的影響.

圖3 試驗(yàn)與理論模型對(duì)比Fig.3 Comparison of theoretical curves with test curves

由圖3可知，本文模型擬合的曲線上升段與試驗(yàn)曲線及過(guò)鎮(zhèn)海模型的上升段幾乎重合，擬合效果較好，下降段在反彎點(diǎn)（曲率最大的點(diǎn)，也可稱為凹向點(diǎn)）后卻有所差異.分析出現(xiàn)這種差異的原因主要是進(jìn)行混凝土單軸受壓試驗(yàn)時(shí)，當(dāng)應(yīng)變超過(guò)反彎點(diǎn)時(shí)，混凝土試件的變形機(jī)制由裂縫的擴(kuò)展變?yōu)榧羟袔У幕?，試件的壓力主要是由滑移面上的摩擦咬合力和為裂縫所分割成的混凝土小柱體的殘余強(qiáng)度所提供的，此時(shí)，并不是由試驗(yàn)機(jī)提供的壓力.但模型在反彎點(diǎn)前的下降段與試驗(yàn)曲線擬合度較好，而混凝土材料往往在反彎點(diǎn)后已失去結(jié)構(gòu)意義，所以模型不僅具有較好的理論依據(jù)同時(shí)也有一定的應(yīng)用價(jià)值.

圖4 三種混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比Fig.4 Three kinds of concrete stress-strain curve

由圖4可知，三組混凝土未考慮塑性變形曲線的整體走勢(shì)與模型相近，主要差異表現(xiàn)為未考慮塑性變形模型的峰值應(yīng)力大于模型，而峰值應(yīng)變小于模型，這是因?yàn)閮煞N模型依據(jù)的力學(xué)模型與建立機(jī)制是相同的，故而整體走勢(shì)大致相同.但由于模型考慮了混凝土材料在變形時(shí)的塑性變形，認(rèn)為變形是由彈性和塑性兩部分組成的，而未考慮塑性變形的模型由于沒(méi)有考慮塑性變形，認(rèn)為變形完全是彈性的，忽略了混凝土試件在實(shí)際變形中存在的一部分塑性變形，所以峰值應(yīng)變小于模型與試驗(yàn)曲線，峰值應(yīng)力大于模型與試驗(yàn)曲線.因此，在建立本構(gòu)模型時(shí)，塑性變形應(yīng)被考慮.

由圖3可知，纖維混凝土的峰值應(yīng)力與峰值應(yīng)變均大于普通混凝土，這是由于混凝土的受壓破壞機(jī)理，事實(shí)上是混凝土被壓縮時(shí)，垂直于受力方向產(chǎn)生的受拉裂縫逐漸發(fā)展匯集導(dǎo)致混凝土的破壞，而纖維的存在可以有效抑制裂縫的發(fā)展，故而纖維可提高混凝土的抗壓性能；同時(shí)，本文分別對(duì)三組混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行積分，得到曲線下的面積為：APC=150.33、ASFC=182.53、APFC=166.63，可以看出兩種纖維混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線所圍成的面積均大于普通混凝土的，根據(jù)混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線的幾何特點(diǎn)可知，曲線所圍成的面積越大，試件的塑性變形能力和延性就越強(qiáng)，說(shuō)明纖維增強(qiáng)了混凝土的塑性變形能力和延性性能.

6 結(jié)論

基于唯象細(xì)觀統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)及熱力學(xué)的相關(guān)理論，建立了不同纖維混凝土單軸受壓損傷本構(gòu)模型.結(jié)合具有統(tǒng)計(jì)意義的試驗(yàn)研究，確定了損傷變量的概型分布以及相關(guān)參數(shù)，并驗(yàn)證其合理性.具體結(jié)論如下：

(1)三種不同混凝土的損傷變量均服從 weibull分布函數(shù).

(2)兩種纖維混凝土峰值應(yīng)變的統(tǒng)計(jì)均值大于普通混凝土，說(shuō)明纖維可以很好的提高混凝土抗拉性、抗壓性、韌性及延性性能.

(3)對(duì)于鋼纖維混凝土來(lái)說(shuō)，損傷閾值γ最佳取值為0.8倍的峰值應(yīng)變；聚丙烯纖維的損傷閾值γ最佳取值為0.7倍的峰值應(yīng)變.

(4)考慮塑性變形的本構(gòu)模型較之未考慮塑性應(yīng)變的本構(gòu)模型，可以更好且更真實(shí)的反映單軸受壓下各種混凝土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.

(5)考慮塑性變形及損傷閾值的本構(gòu)模型也適用于普通混凝土，也較好的反映試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線.

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