生長曲線模型中參數(shù)估計誤差的上界

左衛(wèi)兵， 時文芳

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450046)

生長曲線模型中參數(shù)估計誤差的上界

左衛(wèi)兵， 時文芳

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450046)

生長曲線模型; 估計誤差； RE條件; 兼容性條件; UDP條件; 協(xié)調(diào)參數(shù)

0 引言

參數(shù)估計是線性模型中重要的統(tǒng)計問題,統(tǒng)計學(xué)家們提出了懲罰最小二乘方法.例如文獻[1]提出了hard thresholding懲罰函數(shù);文獻[2]在線性模型下提出了將lasso作為一種較好的懲罰最小二乘方法,lasso能夠同時實現(xiàn)變量選擇和參數(shù)統(tǒng)計.基于這樣的優(yōu)點,統(tǒng)計學(xué)家們致力于lasso神諭不等式的研究，相繼提出不同的條件,并且設(shè)計矩陣滿足相應(yīng)條件時得到相對應(yīng)的神諭不等式.文獻[3]提出了RE條件(restricted eigenvalue condition)；文獻[4]提出了兼容性條件(compatibility condition)；文獻[5]指出上述兩個條件是眾多條件中應(yīng)用很普遍且較弱的條件,且兼容性條件是最弱的條件;文獻[6]提出了UDP條件,并且設(shè)計當(dāng)矩陣是列滿秩矩陣時,UDP條件比上述兩個條件更弱.

生長曲線模型作為一種廣義的線性模型,在近半個世紀得到廣泛研究[7-9],但是關(guān)于生長曲線模型中懲罰最小二乘方法研究卻很少.高采文等[10]將懲罰最小二乘方法運用到生長曲線模型上,得到了相應(yīng)的懲罰最小二乘估計.本文利用Potthoff-Roy變換將生長曲線模型轉(zhuǎn)化為線性模型,利用文獻[10]得到的lasso估計,在設(shè)計陣分別滿足RE條件、兼容性條件和UDP條件時,依次得到了生長曲線模型中估計誤差的上界.

1 準備工作

本文研究的模型為

(1)

其中：Yn×p是一個可觀測矩陣；X1n×m和X2q×p是已知設(shè)計矩陣,且r(X1)=m,r(X2)=q；Bm×q是一個未知參數(shù)矩陣；En×p是一個隨機誤差矩陣；E的行向量互不相關(guān),且行向量均值為0；協(xié)方差陣為∑.

對于模型(1),由于r(X2)=q,因此存在p×q的矩陣H使得X2H=Iq×q.令Z=YH,則模型變換為

(2)

下面記B=(B1,B2，…，Bq),Bi=(B1,i,B2,i,…,Bm,i)T，i=1,2,…,q，Z=(Z1,Z2，…，Zq)，H=(H1,H2，…，Hq).則模型(2)可以簡化為一系列線性模型：

Zj=X1Bj+EHj,j=1,2,…，q.

(3)

文獻[9-11]給出了生長曲線模型的懲罰最小二乘估計，

(4)

(5)

(6)

在線性模型中研究神諭不等式時,設(shè)計矩陣需要滿足某些條件,應(yīng)用很普遍且較弱的條件有：

1) RE條件[4],即設(shè)計矩陣滿足

(7)

2) 兼容性條件[5],即設(shè)計矩陣滿足

(8)

3) UDP(S0,κ0,Δ)條件[7],即設(shè)計矩陣滿足

(9)

3 主要定理

證明 根據(jù)生長曲線模型中l(wèi)asso定義,可得

根據(jù)設(shè)計矩陣X1滿足RE條件時有

同時根據(jù)設(shè)計矩陣X1滿足RE條件，也可得到

定理2 設(shè)計矩陣滿足兼容性條件時,有

證明 在上面的推導(dǎo)過程中,得到

這里根據(jù)設(shè)計矩陣X1滿足可兼容條件,可以得到

所以

定理3 當(dāng)設(shè)計矩陣滿足UDP條件時有

證明 在上面的推導(dǎo)過程中得到

同時除以2λ,并化簡可得，

4 結(jié)論

[1] Antoniadis A. Wavelets in statistics: A review [J]. Journal of the Italian Statistical Society, 1997, 6(2):97-130.

[2] Tibshirani R. Regression shrinkage and selection via the lasso [J]. Journal of the Royal Statistical Society, 1994, 58(1):267-288.

[3] Bickel P, Ritov Y, Tsybakov A. Simultaneous analysis of lasso and Dantzig selector [J]. Annals of Statistics, 2009, 37 (4): 1705-1732.

[4] Van de Geer Sara A. High-dimensional generalized linear models and the lasso [J]. Annals of Statistics, 2008, 36(2):614-645.

[5] Van de Geer S, Bühlmann P. On the conditions used to prove oracle results for the lasso [J]. Electronic Journal of Statistics, 2009, 3(2009):1360-1392.

[6] Castro Y D. A remark on the lasso and the Dantzig selector [J]. Statistics & Probability Letters, 2013, 83(1):304-314.

[7] Rotthoff R F, Roy S N. A generalized multivariate analysis of variance model useful especially for growth curve problems [J]. Biometrika, 1964, 51(3): 313-326.

[8] 劉愛義.生長曲線模型的協(xié)變量選擇與參數(shù)估計[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1994,37(3):362-372.

[9] 陳學(xué)華,尤進紅，孫孝前.一般生長曲線模型中共同均值參數(shù)的線性估計的泛容許性[J].信陽師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1998,11(3):224-229.

[10]高采文,朱曉琳,曾林蕊.生長曲線模型的懲罰最小二乘估計[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué),2014,31(2):102-105.

[11]朱曉琳.生長曲線模型的懲罰最小二乘估計和變量選擇[D].上海：華東師范大學(xué),2013.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Upper Bound on the Estimation Error in a Growth Curve Model

ZUO Weibing, SHI Wenfang

(CollegeofMathematicsandInformationScience，NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower，Zhengzhou450046，China)

growthcurvemodel;estimationerror;REcondition;compatibilitycondition;UDPcondition;tuningparameter

2015-07-08

河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究項目，編號142300410401.

左衛(wèi)兵(1976—),男,河南內(nèi)黃人，副教授,主要從事數(shù)理統(tǒng)計研究,E-mail:zuoweibing@ncwu.edu.cn；通訊作者：時文芳(1989—),女,河南新鄭人，碩士研究生,主要從事數(shù)理統(tǒng)計研究,E-mail：hnxzswf@163.com.

左衛(wèi)兵，時文芳.生長曲線模型中參數(shù)估計誤差的上界[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2015，47(4):33-37.

O212.1

A

1671-6841(2015)04-0033-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.006