有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可補子群

張 麗

(中國科學技術大學 數(shù)學學院 安徽 合肥 230026)

有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可補子群

張 麗

(中國科學技術大學 數(shù)學學院 安徽 合肥 230026)

群G的正規(guī)子群N稱為πFΦ-超中心的(πFΦ-hypercentral)，如果N=1或者N≠1且N的每個階數(shù)可被π中某些素數(shù)整除的非-FrattiniG-主因子是F-中心的. 群G的所有πFΦ-超中心子群的積稱為G的πFΦ-超中心，并記為ZπFΦ(G). 應用πFΦ-超中心定義了πFΦ-可補(πFΦ-supplemented)子群： 群G的子群H稱為πFΦ-可補的，如果存在G的子群T,使得G=HT且(H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG)，其中HG是G的包含在H中的最大的正規(guī)子群. 研究了πFΦ-超中心的一些性質,并利用πFΦ-可補的概念給出了p-冪零和超可解的幾個判斷準則.

Sylow子群；πFΦ-超中心；πFΦ-可補；p-冪零群

0 引言

如果F關于同態(tài)像和次直積封閉,群類F稱為一個群系，群系F稱為飽和的,如果由G/Φ(G)∈F,總有G∈F.U表示由超可解群組成的飽和群系.如果H/K×G/CG(H/K)∈F，G-主因子H/K稱為F-中心的.H/K稱為U-中心的當且僅當H/K是素數(shù)階. 根據(jù)文獻[4-6]，廣義超中心ZπFΦ(G)定義如下.

定義1 群G的正規(guī)子群N稱為πFΦ-超中心的(πFΦ-hypercentral)，如果N=1或者N≠1且N的每個階數(shù)可被π中某些素數(shù)整除的非-FrattiniG-主因子是F-中心的,群G的所有πFΦ-超中心子群的積稱為G的πFΦ-超中心，并記為ZπFΦ(G).

當π=P是所有素數(shù)的集合，ZPF(G)稱為群G的F-超中心,并記為ZF(G)，顯然對任意非空素數(shù)集合π，ZF(G)≤ZπFΦ(G).

近年來，許多學者通過討論子群的可補性來研究有限群的結構，并得到了許多新的成果. 群G的子群H稱為可補充的，如果存在的子群K使得G=HK并且H∩K=1. 文獻[7]中引入F-可補子群的概念: 設F是一個群系，群G的子群H稱為F-可補的，如果存在G的子群K使得G=HK，并且(H∩K)HG/HG≤ZF(G/HG),其中ZF(G/HG)是G/HG的F-超中心. 之后，學者們陸續(xù)研究了超中心對群結構的影響并定義了Fn-可補子群[8]和F-z-可補子群[9].利用這些概念，本文給出πFΦ-可補的概念.

定義2 群G的子群H稱為πFΦ-可補的(πFΦ-supplemented)，如果存在G的子群T使得G=HT且(H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG)，其中HG是G的包含在H中的最大的正規(guī)子群.

顯然，每個F-可補子群都是πFΦ-可補子群，但反之不一定成立.

例 取G=A4×S3而H={1，(12)(34)}×1 是G的2階子群.Φ(G)=1而HG=1. 計算知ZU(G)=1×S3而Z3UΦ(G)=Z3U(G)=G. 顯然子群H是G的3UΦ-可補子群. 如果H在G中是U-可補的，則存在G的子群T使得G=HT且H∩T≤ZU(G). 易見A4∩T是A4的6階子群. 但A4沒有6階子群, 所以H不是G的U-可補子群.

1 πFΦ-超中心的性質和引理

性質1 設F是群系. A和B是群G的正規(guī)子群而K≤G.

(1) 如果A是G的πFΦ-超中心子群，那么AB/B是G/B的πFΦ-超中心子群；

(2) ZπFΦ(G)是G的最大的πFΦ-超中心子群；

(3) ZπFΦ(G)B/B≤ZπFΦ(G/B)，如果B≤ZπFΦ(G)，那么ZπFΦ(G)/B= ZπFΦ(G/B)；

(4) ZπFΦ(K)B/B≤ZπFΦ(KB/B)；

證明 (1) 令1=A0

(2) 只需要證明：若A和B均是G的πFΦ-超中心子群，AB也是G的πFΦ-超中心子群. 因為AB的每個G-主因子G-同構于A或者B的某個G-主因子，故類似于(1)，可知(2)成立.

(3) 正確性可由(1)和(2)立得.

(4) 顯然，存在從K/(K∩B)到KB/B的典范同構，由(3)知，ZπFΦ(K)(K∩B)/(K∩B)≤ZπFΦ(K/(K∩B))，從而同構像滿足ZπFΦ(K)B/B≤ZπFΦ(KB/B).

性質2 設F是一個飽和群系，Gπ′表示所有π′群組成的群類.

(1) 如果Gπ′F =F且G/ZπFΦ(G)∈F，那么G∈F.

(2) 設F包含所有超可解群,而N是G的可解正規(guī)子群，如果Fp(N)≤ZπFΦ(G)，那么，N≤ZπFΦ(G).

引理1 設F是一個群系,而H≤G.

(1) H在G中πFΦ-可補當且僅當存在G的子群T滿足G=HT，HG≤T且(H∩T)/HG≤ZπFΦ(G/HG)；

證明 (1) 設H在G中是πFΦ-可補的,且G的子群T滿足G=HT且(H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG)，那么只需取T0=THG即可證明(1)的正確性.

引理4[7]設F是包含所有超可解群的飽和群系，G存在正規(guī)子群E使得G/E∈F，如果E是循環(huán)的，那么G∈F.

引理5[12]設F是任一群系,而E是G的正規(guī)子群，若F*(E)≤ZF(G)，則有E≤ZF(G).

2 主要定理

(1) 設N是G的極小正規(guī)子群，那么G/N是p-冪零群.

(2) ZpUΦ(G)=1.

假設ZpUΦ(G)>1,取N是G的包含在ZpUΦ(G)中的極小正規(guī)子群，那么N≤Φ(G)，N≤Op′(G)或者N是p階循環(huán)群,與(1)矛盾. 于是(2)成立.

(3) G的極小正規(guī)子群是唯一的，記為N (正確性由(1)立得).

(4) 如果Op(G)>1，那么N=Op(G).

由(3)知N≤Op(G).由(2)知，存在G的極大子群M使得G=N×M.子群Op(G)∩M的正規(guī)性表明，Op(G)∩M=1,于是Op(G)= N(Op(G)∩M)= N.

(5) 最后的矛盾.

由(3)和(4)知，對P的任一n-極大子群Pn， (Pn)G=Op(G)=N或者1,如果(Pn)G=Op(G)，那么G=PnM，其中M≈G/N是p-冪零群. 現(xiàn)在設(Pn)G=1,由假設及(2)知，存在G的子群T使得G=PnT且Pn∩T=1,從而由引理2知，T是p-冪零群,綜上所述，P的每個n-極大子群在G中有p-冪零的補子群,進而P的每個極大子群在G中有一個p-冪零的補子群，由引理3知，G是p-冪零的. 定理得證.

證明 假設定理不成立且G是極小階反例,通過下列步驟給出矛盾.

(1) G是可解群.

設q是G的最小素因子而Q是G的Sylowq-子群,使得Q的每個極大子群在G中是qUΦ-可補的,由定理1知，G是q-冪零的，從而G可解.

(2) 設N是G的極小正規(guī)子群，那么G/N是超可解的.

(4) ZrUΦ(G)=1.

(5) N不是G的Sylowr-子群.

(7) NG(Mp)=M，其中Mp是M的Sylowp-子群從而也是G的Sylowp-子群.

(8) 最后的矛盾.

定理3 設H是G的可解正規(guī)子群，使得G/H是超可解的,那么G是超可解群當且僅當對于任意的素因子p∈π(F(H))，F(xiàn)(H)的非循環(huán)Sylowp-子群的任一極大子群在G中是pUΦ-可補的.

證明 充分性. 假設必要性不成立并取G是極小反例,通過下列步驟給出矛盾.

(1) Φ(G)∩F(H)=1.

(2) F(H)=N1×N2×…×Nt，其中t≥1是正整數(shù)，Ni(1≤i≤t)是G的素數(shù)階正規(guī)子群.

(3) 最后的矛盾.

由(2)知，F(xiàn)(H)=F*(H)≤ZF(G),根據(jù)引理5，H≤ZF(G),因為G/H是超可解群，因而G是超可解群. 矛盾表明定理成立.

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(責任編輯：方惠敏)

OnπFΦ-hypercentre andπFΦ-supplemented Subgroups of Finite Group

ZHANG Li

(DepartmentofMathematics,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China)

A normal subgroupNofGis calledπFΦ-hypercentral inGifN=1 orN≠1 and every non-FrattiniG-chief factor belowNwith order divided by at least one prime inπ, isF-central. The product of all the normal subgroups which areπFΦ-hypercentral inG, is called theπFΦ-hypercentre ofGand denoted byZ(G). Using theπFΦ-hypercentre ofG, theπFΦ-supplemented subgroup was defined: a subgroupHofGwas calledπFΦ-supplemented inGif there existed a subgroupTofGsuch thatG=HTand (H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG), whereHGwas the largest normal subgroup ofGcontained inH. The propertie ofπFΦ-hypercentre were studied. And obtain some new criterion forp-nilpotency and supersolvability of finite groups were obtained.

Sylow subgroup；πFΦ-hypercentre；πFΦ-supplemented subgroup；p-nilpotent

2015-07-28

國家自然科學基金資助項目，編號11371335．

張麗(1991—)，女，安徽阜陽人，博士研究生，主要從事有限群論研究，E-mail:zhang12@mail.ustc.edu.cn.

文本:張麗.有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可補子群[J].鄭州大學學報：理學版，2015,47(4)：1-5.

O152

A

1671-6841(2015)04-0001-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.001