可化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問(wèn)題的解法探究

李代國(guó)

（江蘇省南京市第九中學(xué)〈東南大學(xué)附屬中學(xué)〉）

我們前面學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過(guò)程，我們?cè)囍卮鹣铝袉?wèn)題：

1.學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)公式的基本任務(wù)有哪些？

（1）等差數(shù)列、等比求和公式內(nèi)容是什么？公式怎么用？

（2）推導(dǎo)公式的方法怎么用？

2.拿到一個(gè)新題目怎么想？

（1）現(xiàn)有的相關(guān)公式能否用上？

（2）非等差、等比數(shù)列求和能否化為等差、等比數(shù)列求和？

（3）已經(jīng)用過(guò)的相關(guān)方法能否用上？

分析：數(shù)列的分子成等差數(shù)列，分母成等比數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求和；

兩式錯(cuò)位相減得：

問(wèn)題二：已知a≠0，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…前n 項(xiàng)和.

點(diǎn)撥：字母的系數(shù)等差，字母項(xiàng)等比，但需要對(duì)字母討論.

解：，

當(dāng)a=1 時(shí)，

當(dāng)a≠1 時(shí)，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

小結(jié)：采用乘公比，錯(cuò)位相減，可以得到一組等比數(shù)列，求和用公式但必須注意公比是否為1，否則須討論.

方法一：分析：由此數(shù)列的通項(xiàng)an=（-1）n（2n-1）；其是等差數(shù)列與等比數(shù)列的積這一類型的數(shù)列求和，故用錯(cuò)位相減法.

總結(jié)：一個(gè)數(shù)列cnn n可以看成是一個(gè)以公差為d 的等差數(shù)列（d 不等于零）和一個(gè)是公比為q 的等比數(shù)列（q 不等于1）的乘積形式，則數(shù)列cnn n的前n 項(xiàng)求和的方法可采用做錯(cuò)位相減法.

方法二：分析：通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)此數(shù)列具有正負(fù)相間，且正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列這一特征. 因此可以將正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行分組求和.但此數(shù)列有多少正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)呢？還要對(duì)項(xiàng)數(shù)n 的奇偶性進(jìn)行討論.

，即Sn=（-1）nn.

總結(jié)：我們通過(guò)分組轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等差數(shù)列，然后通過(guò)已有的等差數(shù)列求和求解。這種方法叫做分組求和法。

方法三：分析：通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)此數(shù)列具有這樣的特征，即第一項(xiàng)與第二項(xiàng)，第三項(xiàng)與第四項(xiàng)，第五項(xiàng)與第六項(xiàng)，……，第n-1項(xiàng)與第n 項(xiàng)的和都等于2，共多少個(gè)2 呢？還要對(duì)項(xiàng)數(shù)n 進(jìn)行奇偶性討論.

總結(jié)：通過(guò)將數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)并成一項(xiàng)得到一個(gè)新的容易求和的數(shù)列，這種方法叫做并項(xiàng)求和。

通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題幾種方法的探討，不難看出，實(shí)際上所有與項(xiàng)的序號(hào)的奇偶性有關(guān)的數(shù)列求和問(wèn)題，通過(guò)認(rèn)真審題，抓住數(shù)列的通項(xiàng)，靈活地運(yùn)用分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸數(shù)學(xué)思想，就可將其變?yōu)槭煜?、?jiǎn)單的等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)處理，輔助以適當(dāng)?shù)慕忸}方法技巧，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.