超級電容模型的遞推增廣最小二乘辨識

李 月，張曉冬

（北京交通大學 電氣工程學院，北京 100044）

超級電容器一種介于常規(guī)電容器與化學電池二者之間的新型儲能元件，具有功率密度高、充放電循環(huán)使用壽命長、充電時間短、可靠性高、環(huán)境溫度對正常使用的影響不大、檢測方便、充放電電路簡單等優(yōu)點，因此超級電容有著很好的實用價值。隨著超級電容越來越多的應(yīng)用對超級電容性能的要求也越來越高，這就需要我們能夠及時了解超級電容器的動態(tài)特性以及荷電狀態(tài)、健康狀態(tài)等信息。因此，建立能夠精確反映超級電容實際工作特性的模型是非常必要的。

超級電容應(yīng)用范圍廣泛，但其工作過程是一個非常復雜的電化學過程，具有較強的時變性和非線性，因此能建立精確的模型是十分困難的。針對上述問題，本文先對單體超級電容進行大量實驗測得一些的數(shù)據(jù)，然后采用系統(tǒng)辨識的方法估計出超級電容的傳遞函數(shù)，最后利用MATLAB仿真驗證了模型的正確性和普遍適用性[1]。

1 系統(tǒng)辨識的原理

系統(tǒng)辨識主要是根據(jù)試驗所得的一些數(shù)據(jù)，按照給定的“辨識準則”在一組模型類中選擇一個與數(shù)據(jù)擬合最好的模型。因此，系統(tǒng)辨識由三部分組成，即候選數(shù)學模型、辨識準則及辨識算法。圖1給出了系統(tǒng)辨識的框圖。

圖1 系統(tǒng)辨識的結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Structure diagram of the system identification

系統(tǒng)辨識的主要內(nèi)容包括4個方面：試驗設(shè)計、模型結(jié)構(gòu)辨識、模型參數(shù)辨識、模型驗證。對于一個給定系統(tǒng)，辨識步驟大致為：根據(jù)所辨識系統(tǒng)需要達到的目標，利用試驗所得的數(shù)據(jù)建立初始模型，采集數(shù)據(jù)進行分析處理，進而對初始模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)進行修正，通過核驗得到最精確模型。因此，系統(tǒng)辨識的基本過程如圖2所示[2-3]。

2 遞推增廣最小二乘法的原理

遞推算法就是測得被辨識系統(tǒng)在運行時的觀測數(shù)據(jù)，然后利用新的觀測數(shù)據(jù)對以前的估計結(jié)果進行修正得到最新估計結(jié)果，這樣，隨著每次觀測數(shù)據(jù)的引入就能對前估計值進行修正最終得到最接近真實值的參數(shù)估計值。

增廣最小二乘法（Extended Least Squares，ELS）是在最小二乘法的基礎(chǔ)上進行了擴充，它不僅擴充了參數(shù)向量θ和φ（k）數(shù)據(jù)向量的維數(shù)而且在辨識過程中考慮了噪聲模型。

圖2 系統(tǒng)辨識的基本過程Fig.2 Basic process of the system identification

設(shè)SISO系統(tǒng)的數(shù)學模型如下式

噪聲 e（k）為 MA 模型，稱{ε（k）}為新息序列。即在給定的輸出序列{y（k）}和輸入序列{u（k）}的條件下，ε（k）的條件均值為零，把具有這種性質(zhì)的隨機序列稱為新息序列。

如果{ε（k）}是可量測的，則模型式（1）可寫為

其中 φk=[-y（k-1）…-y（k-n）u（k-1）…u（k-n）ε（k-1）…ε（k-m）]T

θ=[a1a2…anb0b1…bnd1…dm]T

此時，用最小二乘法計算式（2）可得參數(shù)θ的估計值?？墒?，式中 φk的分量 ε（k-1），ε（k-2）…是未知的。 為了解決這個問題，一個很自然的方法是用ε^（k）來計算出誤差估計 ε（k），借助過去已知的參數(shù)估計值來計算出誤差估計ε^（k），即ε^

這樣，可以采用迭代算法。

迭代初值，取

以上介紹了ELS算法。按照遞推最小二乘法公式的推導方法，可得到如下的遞推增廣最小二乘法（RELS）算法[4-5]。

根據(jù)上述算法，編寫MATLAB程序辨識出需要的參數(shù)。

3 超級電容模型的建立

為了使超級電容能夠很好地表征其電氣性能，建立的超級電容模型需要滿足以下幾個要求：

1）所建立的模型在充放電過程中應(yīng)該與超級電容的物理特性相匹配，能很好的體現(xiàn)電容器在充放電過程中的動態(tài)特性。在計算和分析精確的基礎(chǔ)上，盡可能使所建模型簡單。

2）所建立的模型參數(shù)盡可能簡單，可以通過試驗得到超級電容的電氣特性進而求得模型參數(shù)。

超級電容由多孔電極和電解液兩部分構(gòu)成，這兩部分的兩相界面是空間分布的，所以在每個微孔內(nèi)的電極電解液兩側(cè)都存在著電荷；這樣就可以將每個微孔看作是電阻和電容并聯(lián)，然后再將每個微孔串并聯(lián)起來等效成梯形等效電路模型，其結(jié)構(gòu)如圖 3所示[6]。

圖3 超級電容梯形等效電路模型Fig.3 Ladder equivalent circuit model of supercapacitor

由圖3可知，超級電容的等效模型是由無數(shù)的RC分支構(gòu)成，這些分支決定了超級電容外部特性的精確性。超級電容的外部充放電特性決定了這些分支的排列分布，因此各個分枝RC值各不相同，離端口最近的分枝的RC值最小，離端口越遠的分枝的RC值越大。當超級電容充電時，端電壓上升很快，一旦充電停止，端電壓會緩慢跌落。這是因為停止充電后，在超級電容內(nèi)部，電荷會發(fā)生一個重新分配的過程，由時間常數(shù)小的分枝向時間常數(shù)大的分枝轉(zhuǎn)移，導致超級電容端電壓下降。

高度精確的模型管理起來相當復雜，不具備實用性。在經(jīng)過了很多次實驗后本文選取階次為二的超級電容模型作為研究對象，如圖4所示。通過實驗和仿真可以說明二階超級電容模型比較準確，仿真時間也比較短。

圖4 二階超級電容模型Fig.4 Second order equivalent circuit model

4 實驗和仿真結(jié)果分析

辨識超級電容的傳遞函數(shù)需要超級電容充電實驗數(shù)據(jù)。為了驗證算法并估計出超級電容的傳遞函數(shù)，辨識所采用的實驗數(shù)據(jù)是在25℃下對超級電容以150 A充電100 s，以10 ms的采樣周期記錄超級電容的電壓響應(yīng)，實驗曲線如圖5所示。利用前面介紹的遞推增廣最小二乘法對超級電容的傳遞函數(shù)進行估計[7]。

圖5 150A充電電流曲線Fig.5 150A charging current curve

圖6 實測電壓曲線Fig.6 Measured voltage curve

通過參數(shù)辨識程序可得到超級電容離散傳遞函數(shù)為：

在獲得模型的離散傳遞函數(shù)后．可采用雙線性反變換式將離散傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)傳遞函數(shù)。

為了驗證超級電容模型傳遞函數(shù)的正確性，利用MATLAB軟件編寫程序進行仿真。仿真后電壓曲線直接和實測電壓曲線進行對比，這樣就能使模型的正確性得到驗證。仿真結(jié)果如圖7所示，可以看出，在充電階段超級電容模型能很好地描述實驗曲線，包括充電開始時的電壓突變特性和充電端電壓的非線性。

圖7 超級電容仿真曲線Fig.7 The simulation curve of supercapacitor

圖8 實測曲線和仿真曲線圖Fig.8 Measured curve and simulation curve

5 結(jié) 論

分析闡述了系統(tǒng)辨識的原理及遞推增廣最小二乘法算法，考慮了噪聲模型的存在．采用遞推增廣二乘法進行了參數(shù)辨識估計出模型的傳遞函數(shù)，提高了辨識精度。結(jié)果表明，采用遞推增廣最小二乘法不僅提高了辨識結(jié)果的穩(wěn)定性和精度，而且成功地辨識出超級電容的模型，所得模型能很好的描述其電氣特性，為其控制提供先驗知識，對于超級電容的在線工作狀態(tài)評估具有一定指導意義。

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[3]李鵬波，胡德文，張紀陽.系統(tǒng)辨識[M].北京：中國水利水電出版社，2010.

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