數(shù)學(xué)教學(xué)的具體形態(tài)

文 / 陳之華（自由作家、專欄作者）范文貴（天津師范大學(xué)初等教育學(xué)院）

早在20世紀(jì)60年代，芬蘭就受到西方數(shù)學(xué)教育潮流的沖擊，注入了“新數(shù)學(xué)”（1960至1970年）的概念，并逐步以“回到基本面”（1968至1980年）、“解決問題能力”（1978年以后）、“運(yùn)用數(shù)學(xué)能力”（1994年以后），為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)能力的主體。

芬蘭人認(rèn)為，數(shù)學(xué)不只是計(jì)算，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須要與學(xué)生的身心成長(zhǎng)、思想發(fā)展、未來生活的形塑等，都有所關(guān)聯(lián)。因此，芬蘭教育以強(qiáng)調(diào)問題的界定與培養(yǎng)解決問題的整體能力為主，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思考，以及相應(yīng)而生的教育方式。所以，芬蘭現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教育基礎(chǔ)概念就在于：

1.必須要發(fā)展學(xué)生對(duì)于所處世界與周遭環(huán)境事物的分類能力，并能學(xué)會(huì)研究、分析和尋求各類型解決方法。也就是說，教師不應(yīng)該只給予學(xué)生已經(jīng)編撰或思想定型化的概念與事物，必須在學(xué)習(xí)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主研習(xí)與思想的啟發(fā)。

2.教師必須視學(xué)生為主動(dòng)搜集、分析和知識(shí)的累積者，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是在修整、完成數(shù)理架構(gòu)，以及建立解決問題模式的思考中，不斷累積學(xué)習(xí)而達(dá)成。

3.教師必須鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用更多思考的模式。數(shù)學(xué)必須對(duì)于所有新的觀念、知識(shí)、創(chuàng)新、應(yīng)用等，持開放態(tài)度。

4.數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)與其他的學(xué)科知識(shí)相互結(jié)合，并創(chuàng)造出不同學(xué)科間的整合和運(yùn)用。建立新的數(shù)學(xué)評(píng)量方式，其中包含學(xué)習(xí)與思考的過程，讓學(xué)生明了自己的學(xué)習(xí)進(jìn)度。

5.數(shù)學(xué)課程必須具有足夠的彈性，讓新的科技與思維得以融入日后的教學(xué)模式里，法令規(guī)章也必須對(duì)日后可能運(yùn)用到數(shù)學(xué)上的科技，提供相當(dāng)?shù)膹椥钥臻g。

6.數(shù)學(xué)的課程設(shè)計(jì)，必須要讓學(xué)校和地方縣市政府可以提供更多或進(jìn)階的學(xué)習(xí)，而且教育必須要投注在不同學(xué)生的學(xué)習(xí)能力上。

在就讀七年級(jí)時(shí)，芬蘭學(xué)校就要求學(xué)生購(gòu)買工程用計(jì)算器，因?yàn)榻虒W(xué)概念上認(rèn)為，雖然算式與演練是學(xué)生要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，但是學(xué)生必須要學(xué)會(huì)使用適當(dāng)?shù)墓ぞ邅磉M(jìn)行運(yùn)算。也就是，任何電腦與機(jī)械可以算出的答案，實(shí)在不需要耗費(fèi)過多的人腦去訓(xùn)練與記憶。

演算能力固然重要，但芬蘭卻相信數(shù)學(xué)的有趣與能力建構(gòu)，是讓學(xué)生了解、適應(yīng)、喜愛數(shù)字的各種變化，以及學(xué)會(huì)去思考各種數(shù)理上的關(guān)聯(lián)性、數(shù)字背后無窮盡之趣味性的關(guān)鍵。

翻開芬蘭的初中數(shù)學(xué)課本，學(xué)生在“正?！钡纳险n時(shí)數(shù)里就能完成所有的學(xué)習(xí)，從不需要補(bǔ)習(xí)；學(xué)期期間從來沒有所謂的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)化考題，也不會(huì)以不斷的大小考和競(jìng)賽來測(cè)驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)程度，更不會(huì)不斷進(jìn)行排名和比序。

尊重學(xué)生的個(gè)別發(fā)展，回歸教學(xué)基本理念，讓芬蘭的數(shù)理成績(jī)占了多年全球評(píng)比的上風(fēng)。

教科書案例

芬蘭Laskutaito系列小學(xué)數(shù)學(xué)教科書（以下簡(jiǎn)稱“L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書”）是依據(jù)國(guó)家核心課程，以及回應(yīng)今日數(shù)學(xué)教學(xué)的挑戰(zhàn)所編寫。L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編寫集結(jié)了許多在職教師的看法，以及眾多實(shí)驗(yàn)和研究發(fā)現(xiàn)的成果，其目的希望能協(xié)助學(xué)生廣泛地獲得數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)并且發(fā)展學(xué)生的推理能力，從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生思考、推理、問題解決能力及創(chuàng)造力。

1.表征形式多樣，素材生動(dòng)豐富

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的印刷精美，從外觀上即可以看到有不同顏色的頁面。這些不同顏色的頁面像標(biāo)簽一樣有指示作用，教科書前面的頁面是白色和黃色相間，后面的頁面則是藍(lán)色和紅色。

依照編者的設(shè)計(jì)，不同的顏色可以具有不同的學(xué)習(xí)功能，白色的頁面包含每單元的教學(xué)例題與練習(xí)題，黃色頁面是在每個(gè)單元后面。題目的類型多樣：包括開放性問題、挑戰(zhàn)腦力、選修性練習(xí)，其目的是培養(yǎng)學(xué)生思考、推理、問題解決能力和創(chuàng)造能力。而每一冊(cè)的最后會(huì)出現(xiàn)藍(lán)色與紅色的頁面，是額外的單元練習(xí)題及家庭作業(yè)。藍(lán)色頁面放置在教科書后面，屬于額外的單元練習(xí)題，其目的是讓覺得開放性問題或挑戰(zhàn)性問題太難的學(xué)生有解決另一種練習(xí)題的機(jī)會(huì)。紅色頁面則是家庭作業(yè)，更特別的是芬蘭教科書會(huì)在比較難的數(shù)學(xué)問題旁，以一只模樣可愛的小動(dòng)物圖案提醒學(xué)生試著挑戰(zhàn)自己的數(shù)學(xué)能力。若是“開放性問題”屬性的教學(xué)活動(dòng)，通常沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，學(xué)生可以依照自己的喜好及判斷依照題目指示進(jìn)行回答。

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書有“圖畫情境”、“圖畫配合文字情境”、“圖表情境”、“擬真情境”及“文字情境”五種，變化更為多元有趣。一至六年級(jí)教材，都有很多樣的表征方式，既有內(nèi)容豐富、形式多樣的圖案和圖形，又有多種符號(hào)和顏色。例如，面對(duì)計(jì)算問題的答案結(jié)果，學(xué)生將答案依題目所要給的代號(hào)或顏色來填寫，讓答案能以代數(shù)表征呈現(xiàn)，讓學(xué)生在潛移默化的過程中熟悉與理解代數(shù)表征。

教科書形式圖文并茂，除了用文字來表述情境內(nèi)容外，還有色彩豐富的圖片。這些圖片不僅增加了版面的精彩，令人賞心悅目，還為學(xué)生提供了解題的重要線索。除了一般類型的教學(xué)活動(dòng)之外，L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書還安排了不同種類與單元配合的數(shù)學(xué)游戲，例如連連看、字謎游戲、代換游戲等。

2．體現(xiàn)生活化、本土化、國(guó)際化

（1）生活化。L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容與學(xué)生日常生活的所見所聞相聯(lián)系。有學(xué)生日常生活中會(huì)遇到的活動(dòng)，如露營(yíng)營(yíng)地氣溫，不同物品擲遠(yuǎn)比賽等問題。

（2）本土化。L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的問題情境形式多樣：有比較芬蘭境內(nèi)最粗的各樹種間樹圍大小的問題，有介紹芬蘭境內(nèi)麋鹿和梅花鹿且比較兩者的身長(zhǎng)及體重的問題，有介紹芬蘭著名景點(diǎn)芬蘭堡的問題，有介紹芬蘭人利用釣竿的釣魚記錄，比較各魚種間的重量的問題。

（3）國(guó)際化。L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中有芬蘭鄰近國(guó)家（挪威和冰島）首都的一周氣溫圖表問題、喜馬拉雅山脈各山峰高度排序、歐洲境內(nèi)各高山高度排序、新加坡夜間動(dòng)物園參觀路線距離、歷屆奧運(yùn)會(huì)男女標(biāo)槍獲獎(jiǎng)距離記錄、世界各地大樹的樹圍計(jì)算、芬蘭與波羅的海國(guó)家及北歐各國(guó)人口數(shù)的比較。

3.重視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)結(jié)

在不同主題的聯(lián)結(jié)方面，L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書將幾何、數(shù)據(jù)分析、數(shù)與代數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行有效聯(lián)結(jié)。

該教科書已經(jīng)在“數(shù)與計(jì)算”主題中融入“數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計(jì)”的“柱狀圖”的讀寫與制作。在幾何部分，雖然讓孩子學(xué)會(huì)幾何形體分類（如圖1）是教科書的目標(biāo)，但分類后并不是讓學(xué)生直接以填充題的方式回答點(diǎn)數(shù)后的答案，而是要將答案轉(zhuǎn)化成統(tǒng)計(jì)圖或統(tǒng)計(jì)表。且統(tǒng)計(jì)表不僅涉及分辨、點(diǎn)數(shù)再記錄，還必須在分辨、點(diǎn)數(shù)后，依照二維統(tǒng)計(jì)表所要求的內(nèi)容將同一類的圖形，再區(qū)分出大和小的類別，才進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在小數(shù)的認(rèn)識(shí)介紹中，我們發(fā)現(xiàn)：編寫者將小數(shù)與統(tǒng)計(jì)圖表相結(jié)合，將小數(shù)知識(shí)融入柱狀統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖之中（如圖2）。

圖1：幾何形體的分類“同樣形狀的有多少種？數(shù)出同樣形狀的物體的數(shù)量”

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書有較多的統(tǒng)計(jì)圖表，學(xué)生有較多機(jī)會(huì)進(jìn)行數(shù)據(jù)信息分析，以建構(gòu)解決問題的方法。在設(shè)計(jì)“郵票”為主題的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，除了介紹郵票的相關(guān)知識(shí)外，所有的問題均與主題相關(guān)，且結(jié)合學(xué)生所學(xué)的概念及內(nèi)容加以統(tǒng)整，以激發(fā)其學(xué)習(xí)的興趣。因此，在學(xué)習(xí)某一主題內(nèi)容時(shí)，統(tǒng)整其他數(shù)學(xué)主題（如統(tǒng)計(jì)圖表）或連續(xù)性問題的編排，值得中國(guó)教科書編寫者借鑒。

4.融合其他學(xué)科的內(nèi)容

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書將天文、地理、生物、建筑、地方文化、風(fēng)俗民情等議題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)結(jié)。在代數(shù)“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”部分教材編寫者將“美術(shù)”學(xué)科知識(shí)融入數(shù)學(xué)課程中，讓學(xué)生畫出其圖片或圖形的規(guī)律性；還有將“語文”學(xué)科知識(shí)融入數(shù)學(xué)課程中，由例題給予的語文線索來進(jìn)行邏輯推理，進(jìn)而解決問題；也會(huì)將“自然”學(xué)科知識(shí)融入數(shù)學(xué)課程中，讓學(xué)生體驗(yàn)大自然的變化，理解物體與影子的關(guān)系。

在“放大的比率”“縮小的比率”課程中，介紹了生活中的小昆蟲、蝴蝶、鳥類等。透過教學(xué)活動(dòng)并利用填表格的方法，除了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的放大和縮小的比率之外，也認(rèn)識(shí)到了自然界的昆蟲和其實(shí)際大小。

透過課程內(nèi)容的介紹，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的相互聯(lián)系。在數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生也能夠獲得其他領(lǐng)域的知識(shí)，打破數(shù)學(xué)獨(dú)立于其他學(xué)科的傳統(tǒng)印象。學(xué)生仔細(xì)閱讀教科書中這些學(xué)科內(nèi)容，猶如閱讀百科全書一般，這也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有趣了。

5.重視邏輯推理和發(fā)現(xiàn)規(guī)律

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書相當(dāng)重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理以及發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，包括“圖形樣式推理”“文字推理”和“數(shù)字推理”等。該教科書不僅僅是讓學(xué)生立即可以得到問題的答案，而是需要透過多次的邏輯思維或轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)后才能解決問題。該部分知識(shí)內(nèi)容有助于學(xué)生形成發(fā)散式思考的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。教科書編寫者設(shè)計(jì)了培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力與觀察能力的題目，以激發(fā)學(xué)生的思維潛力。如圖3，芬蘭一年級(jí)數(shù)學(xué)教科書設(shè)置觀察與推理的例題，為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)問題情境中的線索，以獲得合理的答案，頗具有挑戰(zhàn)性。

圖3：一年級(jí)教科書中設(shè)置的觀察推理問題“誰是小偷？”

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書很特別地提出空間感的訓(xùn)練，期盼學(xué)生在場(chǎng)景中能夠從多個(gè)角度觀察物體，發(fā)掘?qū)W生的視覺推理能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生想象物體在空間中的各角度樣貌、空間情形，以理解長(zhǎng)方體的體積公式，進(jìn)而用來計(jì)算長(zhǎng)方體的體積。如圖4，L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書1B第8頁配合奇數(shù)與偶數(shù)的概念進(jìn)行游戲的教學(xué)活動(dòng)，若是不照規(guī)則，貓咪將無法走出迷宮吃到魚。

從語言身份分類角度來說，傈僳與拉祜、哈尼諸民族都屬于藏緬語族，在“無文字”的神話中有相通之處，即他們的文字都是“被吃掉”的，所以沒有流傳下來。詳細(xì)的文本載于《四川省苗族傈僳族傣族白族滿族社會(huì)歷史調(diào)查》之《鹽邊縣巖門公社傈僳族調(diào)查報(bào)告》一文中：

圖4：奇數(shù)與偶數(shù)的概念教學(xué)活動(dòng)“沿著偶數(shù)走”

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書引導(dǎo)學(xué)生利用符號(hào)、圖像表示數(shù)學(xué)概念，揭示推理與判斷中的規(guī)律性和關(guān)系性。該教科書編寫者重視讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中的各項(xiàng)規(guī)律性，除了“數(shù)列規(guī)律性”，還包括“數(shù)字規(guī)律性”與“圖畫規(guī)律性”，甚至是“大自然現(xiàn)象的規(guī)律”。

圖5：推理能力提升圖“根據(jù)事件發(fā)生順序?yàn)閳D片排序”

如圖5，按照事件發(fā)生的順序給圖片1和圖片2編寫序號(hào)。通過這種形式培養(yǎng)學(xué)生挖掘圖形、數(shù)字、符號(hào)、口頭表達(dá)的潛在信息，提升學(xué)生的有效推理能力。

6.預(yù)留發(fā)展空間，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書為學(xué)生發(fā)展預(yù)留空間，設(shè)置“Decide for yourself”等教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生自己決定取舍。這些問題是較靈活、需推理的題目，在解決問題過程中學(xué)生可以自由發(fā)揮。此部分題目主要為促使學(xué)生動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生在問題情境中進(jìn)行觀察與推理，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性或解題的思路，提供各種生活情境及沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的開放式問題，讓學(xué)生能靈活思考，并運(yùn)用各數(shù)學(xué)概念及技能解決問題。

L版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書在每個(gè)單元的末尾有類似腦力激蕩的拓展問題，問題設(shè)計(jì)充滿挑戰(zhàn)性，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的資源。在各冊(cè)的最后一個(gè)單元都會(huì)安排該冊(cè)所有單元的復(fù)習(xí)題及應(yīng)用題。而“挑戰(zhàn)腦力”的問題通常難度高且更為復(fù)雜，這樣的問題常出現(xiàn)在智力測(cè)驗(yàn)或是優(yōu)秀班測(cè)驗(yàn)中。學(xué)校成為教學(xué)的創(chuàng)新天堂，學(xué)校教學(xué)的目的旨在尊重學(xué)校寶貴教育遺產(chǎn)的同時(shí)，積累新的教育財(cái)富。

2014年12月，芬蘭完成7至16歲義務(wù)教育的全國(guó)核心課程改革規(guī)劃，將用未來一年半的時(shí)間，交付地方教育主管機(jī)構(gòu)研究，根據(jù)這份核心課綱，自主、創(chuàng)意發(fā)展新課程。新課綱將在2016年秋天實(shí)施，芬蘭教育委員會(huì)課綱發(fā)展主任哈樂寧（Irmeli Halinen）形容，新課綱是一種結(jié)合能力導(dǎo)向與主題導(dǎo)向的教學(xué)及學(xué)習(xí)新模式。

新課綱總目標(biāo)，是培養(yǎng)孩子的橫向能力（transversal competence）。橫向能力由7種能力組成：

1．思考與學(xué)習(xí)的能力

2．文化識(shí)讀、互動(dòng)與表述能力

4．多元識(shí)讀（multi-literacy）

5．?dāng)?shù)位能力

6．工作生活能力與創(chuàng)業(yè)精神

7．參與、影響，并為可持續(xù)的未來負(fù)責(zé)

這7種能力涵蓋知識(shí)、技能、價(jià)值、態(tài)度，也包含能在不同情境使用這些技能的能力。更值得一提的是，新課綱的目標(biāo)，還包含孩子使用這些能力時(shí)，愿意遵守倫理規(guī)范。

芬蘭教育委員會(huì)指出，新課綱強(qiáng)調(diào)教室內(nèi)的協(xié)作練習(xí)，學(xué)生可同時(shí)和幾個(gè)老師一起練習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、歷史、藝術(shù)、音樂與其他傳統(tǒng)科目之外，每年至少要參加一項(xiàng)主題式（phenomenon-based）的跨科學(xué)習(xí)，學(xué)生甚至能參與規(guī)劃自己的學(xué)習(xí)進(jìn)度。

從芬蘭新課綱改革可以看出，芬蘭教育者著眼的是，如何培養(yǎng)孩子的現(xiàn)實(shí)感、未來感與責(zé)任感，這或許正是我們?cè)诮逃母镒钊狈Φ摹叭小薄?/p>

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