考慮準則依賴的多準則變權決策新方法

孫永河，楊世旭，段萬春

昆明理工大學 管理與經濟學院，昆明 650093

1 引言

多準則決策是決策分析領域一個重要的研究課題。隨著大數據時代的來臨，如何科學解決社會經濟系統大量存在的非線性、復雜性以及涌現性等問題是目前復雜性科學與復雜決策領域專家學者面臨的一個重要挑戰(zhàn)[1]。在此情景下，傳統的多準則決策方法因假設各準則的獨立性而使得其合理性、適應性以及有效性均受到了質疑和批判[2-3]。迄今，針對準則間存在關聯的多準則決策問題，學術界主要有三類處理方法。第一類是基于模糊測度和模糊積分（如Choquet、Sugeno積分）的方法。該方法最先是由日本學者Sugeno于上世紀70年代最先提出，近年來在多準則決策領域得到了大量應用[4-5]，然而當準則數量較多時，通常會陷入模糊測度值確定的指數災難困境，之后Sugeno、Grasbisch等學者試圖基于λ模糊測度以及k加模糊測度擺脫上述困境，但仍存在評價專家難以確定屬性（集）的模糊測度信息等諸多不足[2]。第二類是網絡分析法（Analytic Network Process，ANP），它是美國匹茲堡大學著名運籌學家Saaty教授于1996年提出的一種超越層次分析法、更具普適性的復雜系統決策分析方法。隨著近10年來掀起的ANP應用熱潮，人們也逐步發(fā)現ANP在構造準則內部依存矩陣時暴露出的突出問題，如文獻[6]明確指出ANP使用“相對甲來比較甲和乙”的比較邏輯也必然會使決策者的比較判斷結論存在明顯的主觀隨意性和武斷性。第三類是非線性加權影響測度體系（Weighted Influence Non-linear Gauge System，WINGS）。文獻[7]試圖將準則與方案共同視為系統因素，通過對系統因素分析揭示出準則之間的關聯關系，但按WINGS方法的運行機理，決策分析者對準則之間的直接影響關系進行判別時，實質并未直接反映方案與準則之間的內在關聯機理，因此在處理多準則決策問題上暴露出一定的局限性。

基于上述認識，本文在相關基礎理論概述的基礎上，通過系統闡述新方法構建的理論思想，融合ANP、改進后的WINGS以及數據包絡分析（Data Envelopment Analysis，DEA）技術思想提出一種考慮準則依賴的多準則變權決策方法。

2 相關理論基礎概述

2.1 網絡分析法

與傳統層次分析法不同，ANP不僅從結構上突破了層次分析法所采用的遞階層次結構限制，而且允許元素集（層次）內部元素之間存在相互依賴關系，因此其具有較強的普適性，近年來該方法在國內外得到大量的應用和推廣[8-11]。若某系統內部有N個元素集，記為M1,M2,…,MN，則反映這些元素集之間直接影響關系的ANP系統超矩陣為：

其中，?ij為列隨機分塊矩陣，反映的是因素集i對j的影響矩陣 (i,j=1,2,…,N)，當?ii≠0(?i∈1,2,…,N)時，則說明元素集Mi內部依賴（依存）。

當超矩陣?為非列隨機矩陣時，需要將其轉化為如下式（2）所示的列隨機矩陣?′。

通過求式（2）的極限矩陣或求Cesaro和，即可得出ANP系統各因素相應的極限（或平均極限）權重。

2.2WINGS方法

WINGS方法是波蘭學者Michnik于2013年新提出的一種系統因素分析方法。設某復雜系統內部有l(wèi)個因素e1,e2,…,el，WINGS方法的基本步驟如下[7]。

步驟1構造e1,e2,…,el之間的直接影響矩陣M=[mij]l×l。其中，矩陣M對角線上的元素mii為因素ei自依賴強度，用標度0、1、2、3、4分別表示自依賴強度從無到極大按自然數逐級遞增。mij(i,j∈N+，且i,j∈[1,l],i≠j)反映因素ei對ej的直接影響關系，仍用0、1、2、3、4予以標度（表征相應的影響強度從無到強逐級遞增）。

步驟2按下式將矩陣M規(guī)范化，形成規(guī)范化直接影響矩陣M1。

步驟3求解綜合影響矩陣M2，計算式如下：

步驟4計算系統各因素的中心度和原因度。由于各因素的影響度向量和被影響度向量分別為：

因此依據WINGS規(guī)則，系統各因素的中心度和原因度的向量可用下式予以反映。

2.3 數據包絡分析

DEA作為一種測度多輸入、多產出決策單元相對效率的數學規(guī)劃方法[12-13]，迄今已在諸多學科領域得到了大量的推廣應用?；镜腄EA-CCR模型如下：

式（7）中，n為決策單元數，yrj、xij分別為第j個決策單元的產出和投入，vr、φi表示相應產出、投入的虛擬權重，產出及投入指標個數依次為s和m，ε為非阿基米德無窮小。另外，為使模型（7）對各決策單元有更強的甄別能力，通常需要在該模型的基礎上添加權重置信域約束。

3 考慮準則依賴的多準則變權決策實現方法

3.1 方法構建的理論思想

設某多準則決策問題有L個相互依賴的準則以及K個方案，分別記為C1,C2,…,CL、A1,A2,…,AK，且決策者給出方案Ak在各準則上的效用值記為λk,η(?η=1,2,…,L,k=1,2,…,K)。由于考慮了各準則之間的相互依賴關系，因此傳統基于加權和法的多準則決策模型不再適用?；谏鲜鰡栴}描述和ANP基本理論知識可知，該復雜多準則決策問題此時可視作一個包括準則集和方案集的ANP決策問題。其分析結構詳見圖1。其中，弧型箭線表示準則集內部依存。

圖1 考慮準則依賴的多準則決策問題ANP分析結構

相應地，按照ANP方法機理，即可得出與圖1結構相匹配的ANP未加權超矩陣W。

分析圖2可知，超矩陣W由分塊隨機矩陣W11、W21、W12所組成。W11表示準則集內部依存子矩陣，W21反映的是方案集對準則集的影響子矩陣，W12為準則集對方案集的影響子矩陣。

圖2 圖1所示結構相應的ANP未加權超矩陣

命題1考慮準則依賴的多準則決策問題相應的ANP加權超矩陣W1的極限矩陣存在。

證明由于圖1所示的ANP變權分析結構考慮了準則之間的依賴關系，因此未加權矩陣W中的分塊矩陣W11是非零矩陣。另外，依據未加權超矩陣與加權超矩陣之間的關聯關系，可以給出加權超矩陣W1的表達式為：

其中，常系數β1,β2＞0，且β1+β2=1。

分析式（8）可知，W1不僅為非負不可約矩陣，而且分塊矩陣β1W11仍是非零矩陣，因此依據文獻[14]推論可知W1的極限矩陣(W1)∞存在，證畢。

由命題1可知，圖1所示分析結構是穩(wěn)定的，顯然采用ANP方法解決準則依賴的多準則決策問題是可行的。

通過上述分析可以看出，本文所提方法的核心在于構建出圖2所示的未加權超矩陣W，其構建的理論框架如圖3所示。

圖3 未加權超矩陣W構建的理論框架

需要強調的是，圖3中超矩陣W的構造有兩個核心技術（用帶圓圈的數字予以表達）。其一，子矩陣W12的構造運用了DEA的技術方法，這是因為：基于評價方案對各準則的相對權重予以判別，這意味著允許各方案選取最為有利于自身的虛擬準則權重，而該思路恰與DEA-CCR模型的分析思路完全一致。為此，可將W21中的數據視作DEA模型的產出，構造產出型CCR模型，并通過求解該模型得出W12中的準則權重信息。其二，反映準則之間相互依賴關系的子矩陣W11在構造時拋棄了傳統ANP所使用的構造機理模糊不清的兩兩比較法，取而代之的是采用判斷機理更為明確的改進WINGS的構造方法。

3.2 具體的方法實現步驟

基于上述方法構建思想，下文給出具體的方法實現步驟。即：

步驟1將已知效用偏好評價值λk,η規(guī)一化，得出子矩陣W21。其計算式為：

步驟2基于W21構造各方案相對效率評價的DEA模型。將多準則決策中的方案Ak(?k=1,2,…,K)視作決策單元，向量λ′k=(λ′k1,λ′k2,…,λ′kL)＞0 視作DEA的產出向量，顯然從DEA視角分析，由于各決策單元只有產出而無具體的投入，因此按下式（10）可給出添加虛擬權重置信域約束的CCR模型。

步驟3求解模型（10），并根據求解結果構造子矩陣W12。記反映決策單元φ相對效率評價的最優(yōu)虛擬準則權向量為μφ=(μφ1,μφ2,…,μφL)T，?φ=1,2,…,K。分析權向量μφ可知，它恰恰表示的是因決策單元（方案）不同而不同的各準則的相對權重，因此方案集對準則集的影響矩陣可用向量組μ1,μ2,…,μK予以表達，并進一步將該矩陣歸一化，從而構造出子矩陣W12，參見下式。

步驟5構造考慮準則依賴多準則變權決策復雜問題的超矩陣。按ANP規(guī)則，依據前述子矩陣W21、W12、W11及零矩陣可構造如下的未加權超矩陣W。

由于超矩陣W是非列隨機矩陣，因此按ANP要求需要對子矩陣W11、W21進行加權（詳見式（8）），得出加權超矩陣W′1。需要說明的是，按Saaty教授在ANP軟件Superdecisions的使用說明中指出，無特定關于準則集、方案集相對重要權重判斷信息的情境下，ANP軟件默認β1＝β2＝0.5 。此時，加權超矩陣W′1的具體形式為：

步驟6求解W′1的極限矩陣，根據求解結果實現對各方案的優(yōu)選排序?；诿}1可知，W′1的極限矩陣有唯一解，因此可直接求解得出各方案的極限排序權重，并依據這些權重的大小對各方案進行優(yōu)劣排序。

3.3 方法的變權機理

與傳統多準則決策固權評價模式（即采用的固定不變的準則權重體系）明顯不同，作者給出的上述決策方法本質上體現了變權決策的評價模式（即準則權重是隨方案（集）的變化而發(fā)生變化）。在式（15）超矩陣構造過程中，具體的方法變權決策機理主要表現為如下兩方面。

一方面，從上述方法實現步驟2、3可知，W12實質是基于W21和求解DEA模型（10）而導出的。在該模型中，虛擬準則權重μk,η反映的是在第k個方案下第η個準則的相對權重，由DEA模型原理可知，它是方案集Q(Q={1,2,…,K})、方案Ak效用值λk,η(k=1,2,…,K;η=1,2,…,L)和方案k的函數，即：μk,η=f(k,Q,λk,η)。由此可見，μk,η會隨待評價方案不同而呈現非線性變化。

另一方面，由步驟4論述可知，式（14）所示的內部依存子矩陣W11中的元素，反映的是考慮點依賴偏好關系的準則權重，這些準則權重（記為wij(i,j=1,2,…,L)在導出時均是依賴于特定決策情境ρ（包括方案集Q、決策環(huán)境ξ），換言之，它們之間可表達為wij=g(Q,ζ,…)的函數形式，從而可知wij一般而言會因方案集不同而發(fā)生變化。

4 實例對比驗證

某大學信息系統與管理科學工程系擬對5位教學科研型教師從科研、教學兩方面進行年度考核。在該實際評價與決策問題中，科研、教學兩方面可視作兩個準則（即C1、C2），5位教師作為待評價方案（記為A1,A2,…,A5）。顯然，評價準則C1、C2之間存在相互依賴關系。系統決策者根據5位教師的教學、科學業(yè)績給出了如表1所示的效用偏好值。

表1 各方案在準則C1、C2上的效用偏好評價值

依據學校對教學科研型教師考評的相關政策，決策者給出如下定性認識：第一，若屬于教學科研型的教師在教學或科研任一準則下的業(yè)績較差（效用偏好值極?。r，則不宜獲得較好的綜合考評結果。第二，當出現某些教師在教學、科研兩方面的綜合考評值相等（近似相等）時，科研業(yè)績突出的教師應獲得更好的評價結論。按照前文給出的方法步驟，首先，由表1數據和式（9）易求知子矩陣W21為：

然后，決策者結合學校實際分析給出教學、科研之間的虛擬權重約束為：

基于W21數據和式（17），通過式（10）、（11）求解得出子矩陣W12的計算結果。即：

接下來，請決策者運用步驟4所述的改進WINGS方法，分別給出在準則C1、C2作為控制準則下C1、C2之間的直接影響矩陣為：

再基于D1、D2按步驟4方法原理推導得出如下反映準則之間依賴關系的內部依存子矩陣W11。

最后，通過聯立W21、W12、W11和零矩陣，按照前述步驟5、6計算出方案A1,A2,…,A5最終的極限排序權重為：0.056、0.061、0.079、0.080、0.058（其規(guī)一化權重分別是 0.168、0.183、0.237、0.240、0.174）。顯然各方案的優(yōu)劣排序為：A4?A3?A2?A5?A1。

由表1可知，方案A1、A5分別在科研與教學上的效用偏好值較低，按決策者形成的第一點定性認識，這兩個方案最終的綜合考評結果應較差，這與上述各方案的優(yōu)劣排序結果完全一致。另外，從方案A3、A4的最終排序權重值看，兩者近乎等值，由決策者給出的定性認識2可知，在此情境下，科研表現突出的方案在綜合考評結果上應相對較優(yōu)，因此結合表1第4~5行數據信息可以推斷出A4?A3，這與本文所提方法得出的排序結果也完全相符，說明該方法是合理的、可行的。

為進一步驗證考慮準則依賴的多準則變權決策方法（下文簡稱新方法）的科學有效性，下文將其與傳統固權評價法及假設準則相互獨立的多準則變權決策方法進行對比分析。

為保證不同方法有共同的信息基礎，這里借鑒文[15]的方法對比思路，基于表1數據、新方法得出的方案排序權重信息以及準則因素固權與變權之間存在的聯系機理，近似地擬合該實例中教學準則與科研準則的固權，具體的二次規(guī)劃擬合模型如下。

其中，σh(h=1,2,…,5)為第h個方案的擬合誤差，σ1、σ2為常系數；b1、b2表示中間變量；p1、p2分別表征擬合前教學、科研因素的固權，w1、w2為擬合后相應準則因素的固權。

求解式（18），從而得出w1、w2分別是0.954、0.046。依據傳統多準則固權集成的加權和法，由表1數據信息和導出的固權信息，計算得出在固權模式下各方案的效用偏好排序權重值（詳見表2第3行），從而可知A1,A2,…,A5的優(yōu)劣排序為A1?A3?A4?A2?A5，顯然最優(yōu)方案為A1，這與決策者第一點定性認識相悖。因此可以推知，多準則固權決策方法難以有效反映系統決策者的特定偏好，較之于新方法有明顯劣勢。

表2 采用不同方法得出的方案復合排序權重

此外，假設在新方法中不考慮準則因素之間的相互依賴關系（即假定各準則相互獨立），則在新方法中內部依存矩陣W11為零矩陣。在這種情況下，最終可得出各方案的復合排序權重，參見下表2第4行。顯然易知，各方案的優(yōu)選排序為：A3?A4?A2?A1?A5。從各方案的優(yōu)選排序權重看，A3、A4的排序權重極為接近，按決策者給出的第二點偏好認知，此時應有A4?A3，但這一結果恰好與假設準則相互獨立的多準則變權決策方法得出的評價結果相反，由此可見，準則的相互依賴性在實際多準則決策問題中不應忽視，否則極有可能得出錯誤的方案評價結論。

綜上所述可知，較之于傳統多準則固權決策方法和假設準則相互獨立的多準則變權決策方法，此文所提新方法更為科學、可行，且在新方法運算過程中沒有遇到任何困難，充分說明新方法是科學合理的，對解決復雜情境下的多準則變權決策問題有著較強的實際應用可操作性。

5 結論與討論

為克服傳統考慮準則關聯的多準則決策方法存在難以有效反映復雜決策問題內在復雜性、非線性等機理特征，本文基于改進的WINGS方法、ANP方法、DEA技術方法，提出了一種全新的、考慮準則依賴的多準則變權決策方法，從本質上實現了系統準則之間的相對權重聯系因方案（集）不同而不同的變權機理。本文的主要創(chuàng)新之處在于：其一，研究視角創(chuàng)新，將多準則決策問題合理轉化為包括準則集與方案集的特殊ANP決策問題，并運用ANP最核心的超矩陣技術原理實現了對方案的變權評價，有效反映了復雜問題蘊含的非線性、涌現性等特征。其二，評價與決策的具體實現方法創(chuàng)新。雖然作者沿用了ANP的系統結構體系，但超矩陣構造時卻突破了目前在學術界飽受爭議的傳統ANP所使用的兩兩比較判斷法，采用的卻是更易于操作且相對較為成熟的改進WINGS和DEA方法。一方面，在構造準則之間的內部依存子矩陣時，不僅強調指出在改進WINGS決策判斷過程中要添加情境依賴約束條件，而且充分考慮到WINGS方法中的“影響”（特指一般意義上因素之間的影響關系）概念在內涵上區(qū)別于ANP方法中使用的“影響”概念（指因素之間的相對重要性影響），且通過中心度這一指標搭建出兩種方法有機融合的科學機理。另一方面，通過求解帶置信域的DEA模型，有效構造出方案集對準則集的影響矩陣，直接實現了對決策準則的變權評價機理。

最后，通過一個實例對比驗證結果表明，新方法相對于傳統多準則固權決策方法和假設準則相互獨立的多準則變權決策方法更具科學可行性。

提出的新方法在使用過程中，若決策準則數量L較大時（比如幾百甚至更多時），則待解決的問題顯然更為復雜。在此情境下，一方面可采用改進WINGS方法、因子分析等技術，找出系統的關鍵準則，抓住事物的主要矛盾予以分析，從而降低問題的復雜性。另一方面，可將此文所提新方法的步驟1~4進行計算機編程，求解出分塊矩陣W11、W12，然后將這些權重信息輸入到ANP軟件Superdecisions，應用該軟件可方便地實現步驟5和6的計算，最后得出各方案的優(yōu)劣排排序結果。

需要強調指出，由于此文第4部分給出的案例對比分析是一個較為簡單的實例，表面上看以其來說明所提方法可行性、實用性有一定的局限，但其對比驗證機理對于實踐中更為復雜的實例同樣也是適用的，限于篇幅，這里不再采用更多的實例驗證方法的科學可行性。另外，從發(fā)表在國內外權威期刊中的多準則決策方法相關論文成果看，對新方法的實用性檢驗目前僅停留在算例分析或案例應用層面，能夠對相關方法進行對比分析的文獻尚不多見[16]。因此從該視角看，此文給出的實例對比驗證分析也體現出一定的理論創(chuàng)新價值。當然，新方法的優(yōu)越性仍需今后通過大量的實踐應用予以進一步檢驗。

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