基于ARIMA-GARCH模型的生育率隨機預(yù)測

封鐵英，羅天恒

（西安交通大學(xué)a.公共政策與管理學(xué)院；b.社會保障統(tǒng)計與精算研究中心，西安 710049）

0 引言

生育率是度量一個國家或地區(qū)時期生育水平最常用的可靠指標(biāo)[1]。1992年以來，中國生育率的變化具有時間和空間維度上的壓縮性特征，經(jīng)歷了從生育率水平由高到低的快速轉(zhuǎn)變，且實施了無區(qū)域差別的生育干預(yù)政策。隨著計劃生育政策效應(yīng)逐步顯現(xiàn)，育齡婦女生育率長期穩(wěn)定保持在更替水平2.1以下。根據(jù)第六次人口普查的數(shù)據(jù)，2010年中國婦女的總和生育率僅為1.19，十年內(nèi)人口年平均增長率僅為0.57%，比1990～2000年年均1.07%的增長率下降了0.5個百分點。由于負增長慣性作用的影響，持續(xù)的低生育水平極有可能使中國陷入“低生育率陷阱”[2]。當(dāng)總和生育率一旦降到1.5以下時，將引發(fā)低生育率的自我強化機制，從而進一步降低生育率，使生育率提高變得更加困難[3]。為了有效規(guī)避由此引發(fā)的一系列社會風(fēng)險，不斷深化對人口變動規(guī)律的客觀認識、正確制定人口發(fā)展戰(zhàn)略規(guī)劃，選取較為準(zhǔn)確的生育率數(shù)據(jù)、科學(xué)的評估和預(yù)測方法，準(zhǔn)確預(yù)測人口生育率至關(guān)重要。

本文依據(jù)2010年第六次人口普查數(shù)據(jù)和歷年的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，針對總和生育率的隨機性特征，綜合應(yīng)用三隨機預(yù)測方法[4]，以誤差項白噪聲假設(shè)和異方差假設(shè)為基礎(chǔ)，基于ARIMA-GARCH模型對生育率進行誤差外推，估計其未來值與預(yù)測區(qū)間，并進一步驗證其有效性。

1 理論模型

1.1 隨機過程

生育率序列具有強隨機波動性，分析其隨機過程的特性，是模型選擇和有效擬合的重要基礎(chǔ)。假設(shè)生育率是以時間為標(biāo)號的一組隨機序列Z(ω，t)，其中ω屬于年齡組構(gòu)成的集合，t屬于時間集。對于特定的年齡組ω，Z(ω，t)是時間t的函數(shù)，稱之為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)。對生育率所有可能實現(xiàn)的全體稱為隨機過程。

定義(1)：設(shè){Z(t)，t≥0}為隨機過程,若對任意常數(shù) τ、正 整 數(shù) n 和 t1，t2...，tn∈T 、t1+τ，t2+τ...tn+τ∈T ，(Z(t1)，Z(t2)，...，Z(tn))與 (Z(t1+ τ)，Z(t2+τ)，...，Z(tn+ τ))具 有相同的聯(lián)合分布，則稱該隨機過程{Z(t)，t≥0}為嚴平穩(wěn)過程，也稱狹義平穩(wěn)過程.

定義(2)：對隨機過程{Z(t)，t≥0},如果{Z(t)，t≥0}是二階矩過程，對任意 t∈T，mZ(t)=EZ(t)=常數(shù) ，對任意ω，t∈T ，RZ(ω，t)=E[Z(ω)Z(t)]=RZ(ω-t)，則稱該過程{Z(t)，t≥0}為寬平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程。

顯然，廣義平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程，反之，嚴平穩(wěn)過程只有當(dāng)其二階矩存在時方為廣義平穩(wěn)過程，但對于一個正態(tài)過程而言，二者是相同的[5]。在時間序列中，獨立的隨機序列通常是不存在或沒有意義。生育率序列不是簡單的獨立同分布過程，很難給出其分布函數(shù)，其不確定性相對于金融數(shù)據(jù)更弱且趨勢穩(wěn)定，因此生育率隨機過程分析通常使用弱意義下的平穩(wěn)性——寬平穩(wěn)。

1.2 自回歸求和移動平均（ARIMA）模型

分析平穩(wěn)時間序列一般應(yīng)用ARMA模型，而對于非平穩(wěn)的隨機過程，則需要建立一種齊次非平穩(wěn)時間序列模型——自回歸求和移動平均模型（ARIMA）。經(jīng)過適當(dāng)?shù)牟罘?，齊次非平穩(wěn)時間序列可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時間序列，即為ARIMA過程。不考慮季節(jié)性因素的ARIMA(p，d，q)模型的基本形式是：

其中，平穩(wěn)自回歸AR算子φp(B)=1-φ1B-...-φpBp和可逆的移動平均MA算子θq(B)=1-θ1B-θqBq沒有公因子，序列{μt}是服從同方差的高斯白噪聲分布。參數(shù)θ0對于d=0和d＞0具有不同的作用。當(dāng)d=0時，過程是平穩(wěn)的，可知 θ0與過程的均值有關(guān)，即 θ0=α(1-φ1-...-φp)。當(dāng)d＞0時，θ0被稱為確定性趨勢項，除非需要，θ0常?？珊雎圆挥?。由公式（1）得到的齊次非平穩(wěn)時間序列模型即為ARIMA模型[6]。

ARIMA模型化過程的主要包括了模型識別、參數(shù)估計、診斷檢驗和模型預(yù)測四個步驟。根據(jù)樣本的自相函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）判斷拖尾和截尾階數(shù)，識別出若干可能模型，如 AR(p)、MA(q)、ARI(p，d)、IMA(d，q)或ARIMA(p，d，q)。為了比較模型的擬合效果，根據(jù)BIC法則和實踐經(jīng)驗對模型進行診斷檢驗，BIC的值越小、平穩(wěn)的R2越大，表明模型擬合效果越好，最終可從多個可能模型甄選出擬合效果最優(yōu)模型，從而實現(xiàn)時間序列的模型化和預(yù)測。

1.3 廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型

GARCH（p,q）模型的一般形式為：

時間序列的GARCH(p，q)建模，首先進行GARCH（即異方差）效應(yīng)檢驗，平穩(wěn)序列的條件方差為常數(shù)值時，即不存在異方差效應(yīng)時，不必建立GARCH模型；當(dāng)存在異方差效應(yīng)時，需建立GARCH模型并估計模型參數(shù)，最小二乘法最為常用，對于聯(lián)合分布形式已知的時間序列，極大似然估計法更為精確；最后根據(jù)AIC準(zhǔn)則，確定模型階數(shù)并進行模型預(yù)測。由此可避免異方差效應(yīng)對時間序列建模的沖擊，并延長時間序列模型的預(yù)測長度。

1.4 ARIMA-GARCH模型

由于經(jīng)濟、社會、文化、政策及生物學(xué)規(guī)律、自然災(zāi)害等多重因素的影響，生育率序列具有極強的不確定性。僅僅假設(shè)生育率隨機過程平穩(wěn)的模型擬合可能是不合適的，應(yīng)當(dāng)根據(jù)其隨機特性篩選最優(yōu)模型。ARIMA-GARCH模型正是基于誤差項分布的同方差和異方差分布的不同假設(shè)，在隨機過程分析的基礎(chǔ)上，按平穩(wěn)序列建模方法構(gòu)建生育率的ARIMA(p，d，q)模型并檢驗序列的異方差效應(yīng)，以決定是否建立 GARCH(p，q)模型對 ARIMA(p，d，q)的預(yù)測誤差項進一步建模，最終實現(xiàn)生育率的有效隨機預(yù)測。

（1）生育率隨機過程分析

根據(jù)序列圖初步判定生育率原始序列的趨勢性、波動性和季節(jié)性特征，而后通過原始序列的統(tǒng)計指標(biāo)（均值、中位數(shù)、偏度、峰度等）確定該隨機過程的分布狀態(tài)，最后在樣本自相關(guān)函數(shù)（ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）的截尾和拖尾特性的基礎(chǔ)上判斷序列屬于平穩(wěn)或非平穩(wěn)過程。

（2）平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化與ARIMA建模

對于存在明顯趨勢和強隨機波動性的序列，應(yīng)考慮通過適度差分將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，在殘差序列{μt}服從同方差分布假定下，應(yīng)用ARIMA模型對隨機過程建模。大量實踐經(jīng)驗證明，生育率隨機過程的ARIMA模型構(gòu)建應(yīng)當(dāng)同時考慮變量自回歸部分（AR(p)）和殘差移動平均（MA(q)）部分，建立 ARIMA(p，d，q)模型擬合生育率隨機過程的效果可能較好。

（3）異方差效應(yīng)檢驗與GARCH建模

為了控制生育率預(yù)測模型殘差項可能存在的相關(guān)性，需要檢驗殘差項的異方差效應(yīng)并建立GARCH模型，GARCH模型的建立，有效解決了ARIMA模型對誤差項異方差性的忽視，降低由此引發(fā)的重要細節(jié)信息損失，從而能夠更準(zhǔn)確地反應(yīng)生育率的隨機變動趨勢并提高預(yù)測的置信度。在ARIMA(p，d，q)模型計算出殘差序列后，構(gòu)建殘差平方序列，并計算平方序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF），以檢驗殘差平方和是否遵循自回歸（AR）模型形式，從而得出是否存在異方差效應(yīng)的結(jié)論。如果異方差效應(yīng)是存在的，則應(yīng)該建立誤差項的GARCH模型；如果異方差效應(yīng)不存在或是在可以接受的范圍內(nèi)，則沒必要建立GARCH模型。過度模型化的結(jié)果可能導(dǎo)致計算復(fù)雜性，對預(yù)測準(zhǔn)確性的改善微乎其微，因此建立殘差項的GARCH模型應(yīng)當(dāng)是審慎的。

2 模型應(yīng)用

根據(jù)2010年全國第六次人口普查和歷年人口統(tǒng)計年鑒相關(guān)數(shù)據(jù)，本文選取1949～2010年總和生育率數(shù)據(jù)作為樣本集，基于ARIMA-GARCH模型建立生育率隨機預(yù)測模型，以SPSS 20.0及EVIEWS 6.0為平臺，實現(xiàn)總和生育率的隨機預(yù)測并檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)測效果。

由原始序列圖（見圖1）分析可知，1949～1988年，中國總和生育率的不規(guī)則變動明顯，出現(xiàn)急劇降低和快速增長的短期變動以及小幅度不規(guī)則的中長期變動，1988年之后，生育率緩慢平穩(wěn)降低，表明受自然災(zāi)害、計劃生育政策、社會文化變遷等因素的影響，中國生育率總體呈現(xiàn)顯著下降趨勢并存在較強隨機波動性（見圖1）。在觀測原始序列的基礎(chǔ)上，為了準(zhǔn)確描述總和生育率的隨機波動特征，進一步分析其統(tǒng)計特征：偏度（Skewness）為0.4015，存在明顯的右偏趨勢，而均值（Mean）為2.3876，序列不服從正態(tài)分布；峰度（Kurtosis）為1.8347，低于正態(tài)分布的峰度值3，“尖峰”特征不明顯。顯然，對于非正態(tài)分布的總和生育率原始序列，滿足“厚尾”特征，但“尖峰”特征不明顯。因此，對中國總和生育率序列，初步假定生育率數(shù)據(jù)是平穩(wěn)時間序列，或者經(jīng)過適當(dāng)差分將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)變成平穩(wěn)時間序列，建立生育率的ARIMA模型。GARCH建模時則應(yīng)首先檢驗是否存在異方差效應(yīng)，從序列的峰值和偏度值來看，初步認為異方差在可以接受的范圍內(nèi)，是否需要建立GARCH建模應(yīng)當(dāng)進一步檢驗。

圖1 1949～2010年中國總和生育率序列

圖2 1949～2010年中國總和生育率頻數(shù)圖與統(tǒng)計特征

生育率ARIMA模型構(gòu)建過程中，首先將原始數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，以弱化其隨機波動影響。對數(shù)變換后的生育率序列具有向下趨勢，因此考慮將變換后的序列進行一階差分，使其平穩(wěn)化。應(yīng)用ADF單位根檢驗一階差分后序列的平穩(wěn)性，檢驗統(tǒng)計量為-6.4554，其P值比顯著性水平α為0.05的序列趨于平穩(wěn)（見表1），表明原始序列的一階差分是合適和必要的。一階平穩(wěn)的生育率序列的AR(p)和MA(q)階數(shù)可通過自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）識別。由檢驗結(jié)果（見圖3）可知，ACF在滯后1期，PACF在在滯后2期出現(xiàn)較大衰減。因此，生育率序列的 ARIMA(p，d，q) 模 型 可 以 考 慮 ARI(2,1)、IMA(1,1)或ARIMA(2,1,1)模型，根據(jù)多個模型檢驗結(jié)果（見表2）對比分析可知，ARIMA(2,1,1)模型的 R2最大（0.149）且BIC值最小（-2.181），表明ARIMA(2,1,1)模型對于總和生育率序列的擬合效果優(yōu)于ARI(2,1)、IMA(1,1)模型。

表1 總和生育率序列一階差分后的ADF單位根檢驗

圖3 一階差分后總和生育率序列的ACF和PACF檢驗

由圖4可知，ARIMA(2,1,1)模型殘差序列{μt}分布不平穩(wěn)，具有較強的隨機性，未出現(xiàn)在某一段時間內(nèi)集中分布的“集群”現(xiàn)象，異方差效應(yīng)的直觀顯示不明顯。為進一步檢驗殘差的異方差性，計算殘差平方，可以看出平方后的殘差序列平穩(wěn)，僅于1962年前后出現(xiàn)較大值，其他時間段內(nèi)序列在0～0.1的范圍內(nèi)小幅波動。序列的ACF和PACF檢驗結(jié)果（見表3）表明，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)均顯著為0，且p值均大于0.05，對總和生育率殘差異方差假設(shè)未通過檢驗，可見總和生育率的異方差效應(yīng)是不顯著的，不需要再通過GARCH對模型殘差進一步建模。

表2 總和生育率ARIMA(p,1,q)模型檢驗結(jié)果

對于異方差效應(yīng)不顯著的中國總和生育率序列的隨機預(yù)測，僅需應(yīng)用ARIMA(2,1,1)模型。經(jīng)過適當(dāng)差分實現(xiàn)序列的平穩(wěn)化，考慮自回歸部分AR(p)和移動平均部分MA(q)更符合總和生育率的現(xiàn)實狀況。

圖4 ARIMA(2,1,1)模型殘差和殘差平方分布

表3 ARIMA(2,1,1)模型殘差平方和的ACF和PACF檢驗

本文以第六次全國人口普查（2010年）的總和生育率數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，預(yù)測中國未來30年的生育率及其變動趨勢（見圖5）：在90%的估計區(qū)間內(nèi)，2010～2040年生育率將從1.8左右緩慢下降并持續(xù)保持低于1.5的超低生育率水平。在未采取有效的生育率干預(yù)情況下，長期的低生育率將會成為一個不可避免的現(xiàn)實，隨之出現(xiàn)的“生育陷阱”有可能會成為困擾中國人口正常增長的障礙。與假定生育政策維持現(xiàn)狀不變、完全取消、適度放松管制的三種政策環(huán)境下的場景預(yù)測[7]或高、中、低方案的確定性預(yù)測不同，ARIMA-GARCH模型完全根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的變動規(guī)律預(yù)測未來趨勢，無主觀干涉，可得到估計值的置信區(qū)間，預(yù)測結(jié)果更為科學(xué)、可信。與朱勤[8]對2000～2010年分年齡生育率模擬推算相類似，本文生育率預(yù)測采用縱向的時間序列數(shù)據(jù)，建立生育率的模擬和仿真模型，區(qū)別在于對總和生育率的分析是否是基于隊列生育率。由于分年齡的生育率數(shù)據(jù)缺失，以及累積的分年齡生育率模型誤差[9]，年齡別生育率模擬預(yù)測期間短，直接運用總和生育率數(shù)據(jù)進行生育率隨機預(yù)測更為有效。

圖5 1949～2010年中國總和生育率歷史數(shù)據(jù)、估計值與估計區(qū)間

3 結(jié)論與建議

針對傳統(tǒng)確定性預(yù)測方法的固有缺陷和生育率的隨機波動特征，本文提出基于隨機理論和時間序列分析的生育率隨機預(yù)測ARIMA-GARCH建模與仿真方法。以中國總和生育率為例，通過對生育率序列隨機過程分析，辨識序列的平穩(wěn)特性和不規(guī)則變動程度，為模型擬合和參數(shù)選擇提供支持；根據(jù)生育率時間序列屬性，構(gòu)建自回歸求和移動平均（ARIMA）模型，將原始數(shù)據(jù)函數(shù)化；對于生育率時間序列的自相關(guān)性和異方差效應(yīng)，構(gòu)建廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型對其進行檢驗并建模，有效延長了ARIMA模型的預(yù)測長度并提高預(yù)測精度。相對于其他生育率隨機預(yù)測方法，本文基于歷史數(shù)據(jù)隨機特性構(gòu)建的ARIMA-GARCH模型能夠準(zhǔn)確地反映時間序列的動態(tài)變化過程，避免原始序列重要的細節(jié)信息損失，為生育率預(yù)測提供了一種新的視角和途徑。

基于ARIMA(2,1,1)-GARCH隨機預(yù)測模型的生育率估計結(jié)果表明：在90%的置信區(qū)間內(nèi)，未來30年，中國婦女的總和生育率從2010年的1.19下降到2040年的（0.4787～0.9997）的區(qū)間內(nèi)?；谘芯拷Y(jié)論，本文提出應(yīng)對中國生育率持續(xù)走低的對策建議：

（1）警惕“低生育陷阱”，防止“超低生育率”

中國的生育率從1990年之后開始低于2.1的人口更替水平并持續(xù)降低，到2040年左右，生育率水平極有可能達到1.0以下的“超低生育率”[10]。20世紀60年代中期，西北歐部分國家的總和生育率在降到更替水平之后持續(xù)下滑，由此導(dǎo)致人口負增長。根據(jù)低生育率陷阱理論，小于1.5的總和生育率存在“自我強化機制”，導(dǎo)致生育率難以重新提高。生育率水平下降帶來的后果可能是嚴重的，尤其是在“人口紅利”后期，以勞動密集型模式為主的經(jīng)濟發(fā)展與生育率降低、勞動者素質(zhì)上升的社會現(xiàn)實相脫節(jié)，導(dǎo)致了我國“民工荒”與大學(xué)生“就業(yè)難”并存的矛盾現(xiàn)象[11]。中國應(yīng)當(dāng)對生育率的持續(xù)降低保持高度警惕，采取有效措施來緩解生育水平的下滑風(fēng)險。

（2）適時調(diào)整生育政策，逐步釋放人口增長空間

2013年11月15日，十八屆三中全會的《中共中央關(guān)于全面深化改革若干重大問題的決定》提到“堅持計劃生育的基本國策，啟動實施一方是獨生子女的夫婦可生育兩個孩子的政策”。單獨二胎政策是對計劃生育政策的適度調(diào)整，釋放出了生育政策改革的積極信號。根據(jù)聯(lián)合國2012年度發(fā)表的生育率預(yù)測，中國同韓國、日本、歐美等國家和地區(qū)婦女平均生育低于更替水平并將繼續(xù)下降。有學(xué)者指出，即使是沒有獨生子女政策，中國的生育率也僅在2.0左右。生育率轉(zhuǎn)變有其自然的規(guī)律，同為中華文化圈的韓國，在經(jīng)歷生育率下滑到1.7時提出鼓勵生育，但是生育率仍然持續(xù)下降。對中國而言，2010年人口普查時生育率水平僅為1.19，人口數(shù)量的減少伴隨著“人口紅利”的消失、結(jié)構(gòu)老齡化嚴重、出生性別比偏高等現(xiàn)實問題同步出現(xiàn)，調(diào)整生育政策勢在必行，應(yīng)通過建立生育成本補償機制等多項、全方位配套措施，逐步釋放人口增長空間，促進人口、資源、環(huán)境的可持續(xù)協(xié)調(diào)發(fā)展。

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