數(shù)學(xué)教學(xué)要重視溫故

王一蘋

摘 要：數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)很多數(shù)學(xué)名稱、概念、公式和法則等特定的數(shù)學(xué)語言，它們生活中并不常見，反復(fù)接觸的機(jī)會(huì)不多，再加上學(xué)習(xí)的信息量大，學(xué)生往往會(huì)由于理解不深刻或名稱不熟導(dǎo)致遺忘的問題發(fā)生。而新知往往必須建立在舊知識之上，如果教師不深刻理解溫故的目的，不尋找好的溫故的辦法，同樣會(huì)在新知的教學(xué)中造成困難。所以說，正確認(rèn)識溫故，才能使我們的課程設(shè)計(jì)得到科學(xué)的實(shí)施。本文就如何溫故，結(jié)合個(gè)人在教學(xué)中的嘗試和經(jīng)驗(yàn)，提出了對溫故的思考和認(rèn)識，并提出游戲溫故的方法，簡便易行、效果良好，希望能給有相同疑惑和思考的教師帶來一些思考。

關(guān)鍵詞：遺忘定律；溫故；基礎(chǔ)；游戲助力

一、問題緣起

今天學(xué)校里聽了一節(jié)初三畢業(yè)班的一次函數(shù)復(fù)習(xí)研討課。課上老師提問正比例函數(shù)的定義，學(xué)生甲（成績好）不知道，學(xué)生乙（成績中下）不知道，學(xué)生丙（成績中上）才回答是y=kx。正比例函數(shù)是初二學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并不難，像甲這樣的學(xué)生遇到題目都會(huì)做，可是時(shí)隔一年，雖然初三上學(xué)期學(xué)二次函數(shù)時(shí)有過復(fù)習(xí)，但是學(xué)生對這個(gè)定義還是遺忘了一部分。類似的情況，我在上課時(shí)也總是遇到，上學(xué)期講了等量代換，過了一個(gè)寒假，大家雖然看到題目會(huì)做，但對這個(gè)名稱都覺得沒有聽到過。像單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、系數(shù)、冪、底數(shù)、指數(shù)等等數(shù)學(xué)名稱，也有很多學(xué)生過了一段時(shí)間就記不起來了。知道怎么做，卻說不出它們的名稱院，這是為什么呢？

德國著名的心理學(xué)家艾賓浩斯（Hermann Ebbinghaus，1850-1909）研究發(fā)現(xiàn)：輸入的信息在經(jīng)過人的注意過程的學(xué)習(xí)后，便成為人的短時(shí)記憶，但是如果不經(jīng)過及時(shí)地復(fù)習(xí)，這些記住過的東西就會(huì)遺忘，而經(jīng)過了及時(shí)地復(fù)習(xí)，這些短時(shí)的記憶就會(huì)成為人的一種長時(shí)的記憶，從而在大腦中保持著很長的時(shí)間。艾賓浩斯還在關(guān)于記憶的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，比較容易記憶的是那些有意義的材料，而那些無意義的材料在記憶的時(shí)候比較費(fèi)力氣，在以后回憶起來的時(shí)候也很不輕松。這就可以解釋為什么看到題知道怎么做，卻說不出它們的名稱。做題是理解記憶，而名稱往往是人為創(chuàng)造出來的名詞，如果不刻意思考取這個(gè)名稱的原因，名稱與意義的聯(lián)系，則名稱就是無意義的材料，記憶起來就費(fèi)力氣。艾賓浩斯的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了一個(gè)道理，學(xué)習(xí)要勤于復(fù)習(xí)，而且記憶的理解效果越好，遺忘得也越慢。

《論語·為政》云：“溫故而知新，可以為師矣?！睖兀簻亓?xí)，復(fù)習(xí)；故：舊的，指已學(xué)習(xí)過的。這句話大意是：溫習(xí)舊的知識，從中得到新的理解、認(rèn)識和體會(huì)。也指吸取歷史經(jīng)驗(yàn)，更好地認(rèn)識現(xiàn)在。

同樣，“溫故知新”在今天的數(shù)學(xué)教學(xué)中也有深層的意義。學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)是以舊知識為基礎(chǔ)的，新知要么是在舊知的基礎(chǔ)上引申和發(fā)展起來的，要么是在舊知的基礎(chǔ)上增加新的內(nèi)容，或由舊知重新組織或轉(zhuǎn)化而成。溫故除了可以鞏固并加深理解舊知識，使舊知識鞏固、系統(tǒng)化以外，還可以更好地讓學(xué)生循序漸進(jìn)地探尋、學(xué)習(xí)、掌握新知識。相比語文，數(shù)學(xué)有更多的數(shù)學(xué)名稱、概念、公式和法則等生活中并不常見的數(shù)學(xué)特定語言，當(dāng)然對于理解記憶能力好的或數(shù)感好的同學(xué)來說這些不算什么，可現(xiàn)實(shí)情況還是有很多同學(xué)達(dá)不到這樣的水平，何況現(xiàn)今的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要學(xué)的、要記的知識時(shí)實(shí)在太多，很多同學(xué)切實(shí)地遇到這些遺忘的問題，如果教師不尋找好的溫故的辦法，則會(huì)在新知的教學(xué)中造成困難。所以說，正確認(rèn)識溫故，深刻理解溫故的目的，能使我們的課程設(shè)計(jì)得到科學(xué)的實(shí)施。

二、溫故的現(xiàn)狀

通過溫習(xí)舊的知識，可以從中得到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)新的知識，對問題有新的認(rèn)識，可以知道知識發(fā)展的進(jìn)程，為學(xué)習(xí)新知識做好充分的準(zhǔn)備。目前，數(shù)學(xué)課堂的復(fù)習(xí)普遍有三種誤區(qū)值得關(guān)注：

1.認(rèn)為數(shù)學(xué)是理解的學(xué)科，不需要復(fù)習(xí)。這脫離了學(xué)生的實(shí)際起點(diǎn)。從學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律看，知識的形成和掌握往往是在舊知識的基礎(chǔ)上引出新知識，并使新舊知識相互溝通，從而促進(jìn)遷移，發(fā)展智力，形成能力。而根據(jù)艾賓浩斯的遺忘理論，學(xué)生即使當(dāng)時(shí)理解了也會(huì)或多或少地遺忘，教學(xué)如果不關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，這個(gè)起點(diǎn)沒生成，包括知識起點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)，跳躍大，會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)力不從心，新知識就成了空中樓閣。

2.認(rèn)為復(fù)習(xí)指的是圍繞前一天學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行，這忽視了知識的內(nèi)在聯(lián)系。許多新教師都有這樣的問題，批作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)前一天學(xué)生掌握得不扎實(shí)，就自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)就是復(fù)習(xí)前一天的知識，上課時(shí)往往第一件事是回顧一下昨天我們學(xué)習(xí)了什么，然后再講今天我們要學(xué)習(xí)什么，之間沒有關(guān)聯(lián)。有的老師感覺到這樣不太對勁，則想方設(shè)法去找昨天的內(nèi)容與今天的內(nèi)容之間的聯(lián)系，卻往往造成生拉硬拽、牽強(qiáng)附會(huì)。甚至有的教師怕漏了這個(gè)環(huán)節(jié)，每節(jié)課都要把昨天的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下，講講作業(yè)問題、講講昨天的知識點(diǎn)。卻沒理解實(shí)際上這個(gè)復(fù)習(xí)引入是為了今天學(xué)的新知識而進(jìn)行的，教師應(yīng)該做的是找到新知識的建立基礎(chǔ)，對這個(gè)基礎(chǔ)進(jìn)行復(fù)習(xí)。這種不注重知識內(nèi)在聯(lián)系的復(fù)習(xí)，不但無效，而且會(huì)導(dǎo)致前后知識脫節(jié)，顯得零亂無序。

3.認(rèn)為復(fù)習(xí)是專門的復(fù)習(xí)課的事情。并在新課教學(xué)中片面強(qiáng)調(diào)情境引入，丟棄了必要的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)。這樣一下子觸及新知識，導(dǎo)致學(xué)生在沒有舊知識的支撐下進(jìn)行學(xué)習(xí)，往往措手不及。復(fù)習(xí)課通常是指整冊書學(xué)完后的整理復(fù)習(xí)，為的是加大知識的深度。而溫故知新的“溫故”，為的是在學(xué)習(xí)新知時(shí)將新知賴以建立的基礎(chǔ)打打結(jié)實(shí)。

三、怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的溫故知新

基于以上分析，數(shù)學(xué)教學(xué)溫故知新有以下三方面策略：巧用舊知，導(dǎo)入新課；降低坡度，循序漸進(jìn)；

著眼基礎(chǔ)，融會(huì)貫通。

1.巧用舊知，導(dǎo)入新課

數(shù)學(xué)知識具有嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)，初中數(shù)學(xué)課本的設(shè)計(jì)是螺旋式的上升。知識點(diǎn)其實(shí)并不多，很多知識都是在以前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上上升了一個(gè)層次。就學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來說，某些舊知識是新知識的基礎(chǔ)，新知識又是舊知識的延伸和發(fā)展，學(xué)生的認(rèn)識活動(dòng)也總是以已有的舊知識和經(jīng)驗(yàn)為前提。例如在學(xué)習(xí)分式的加減時(shí)，如果不對分?jǐn)?shù)的加減進(jìn)行復(fù)習(xí)，就直接進(jìn)入分式的通分，往往會(huì)造成學(xué)生學(xué)習(xí)成果差距拉大；而如果先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的加減，尤其是異分母的加減再進(jìn)行分式加減的教學(xué)，這種差距就會(huì)減小。教師在備課時(shí)應(yīng)盡可能地找到與每一個(gè)新知識相關(guān)的舊知識，并對其中學(xué)生有困難的進(jìn)行復(fù)習(xí)，充分利用已有的知識來搭橋鋪路，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用知識遷移規(guī)律，在獲取新知識的過程中發(fā)展思維。學(xué)生從復(fù)習(xí)舊知識的活動(dòng)中，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)再度獲得同化或順應(yīng)，進(jìn)而利用既有的知識與技能去探索數(shù)學(xué)問題。

2.降低坡度，循序漸進(jìn)

在教學(xué)過程中，我們講到一些問題尤其是綜合性的問題時(shí)，往往會(huì)遇到困難，學(xué)生怎么講都聽不懂，其實(shí)這是因?yàn)閷W(xué)生遺忘了一些基礎(chǔ)性的知識，這時(shí)教師就應(yīng)該降低坡度，化難為易。比如我們在八年級下冊學(xué)習(xí)四邊形時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在證明時(shí)會(huì)出現(xiàn)困難，仔細(xì)觀察后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生把之前學(xué)習(xí)的幾何定理等淡忘了，尤其是像關(guān)于余角、補(bǔ)角、角平分線、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角之類需要仔細(xì)觀察再運(yùn)用的定理，已經(jīng)淡忘了很多。為什么呢？除了遺忘曲線給出我們的答案，個(gè)體差異、理解能力、學(xué)習(xí)容量壓力大都是不可忽視的原因。因此在教學(xué)中，作為教師如果沒有意識到這種問題的存在，不復(fù)習(xí)就直接運(yùn)用，會(huì)造成學(xué)生差異加大。在新知教學(xué)中注意對相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行一些復(fù)習(xí)，就能降低坡度，化難為易。蘇霍姆林斯基指出：“教給學(xué)生能借助已有的知識去獲取新的知識，這是最高的教學(xué)技巧之所在?！?/p>

理想的學(xué)習(xí)，就是要求新知識同學(xué)生已有舊結(jié)構(gòu)處于動(dòng)態(tài)平衡的、互相容納的狀態(tài)中。依照教材的一定順序，隨著教學(xué)思路拓寬，依次點(diǎn)撥重要知識，層層深入地挖掘問題的本質(zhì)，才能使學(xué)生按照由淺入深、由易到難、由現(xiàn)象到本質(zhì)的順序?qū)W習(xí)。急于求成、貪多求快，結(jié)果學(xué)得多忘得快，這是沒有按照學(xué)習(xí)規(guī)律教學(xué)造成的。

3.著眼基礎(chǔ)，融會(huì)貫通

梳理比較，溝通聯(lián)系?！皽毓省敝阅軌颉爸隆?，是因?yàn)樾屡f知識之間存在著內(nèi)在的必然的聯(lián)系。因此教學(xué)時(shí)需要對知識進(jìn)行梳理比較，溝通聯(lián)系。從學(xué)生的思維角度看，主要是求同思維和求異思維。前者是異中求同，尋求兩者相似點(diǎn)，找出共同性東西；后者是同中求異，尋求兩者的不同點(diǎn)，找到差異性東西。通過比較，以舊引新，以新帶舊，促進(jìn)學(xué)生知識鞏固、明晰，加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系。例如，學(xué)習(xí)“圓柱體積公式”，可以先復(fù)習(xí)長方體、正方體的體積公式，通過比較和推理，得到圓柱體體積公式。學(xué)生通過認(rèn)真思考，合作研討，思路逐漸清晰：①回想長方體、正方體的體積公式；②觀察圓柱體與長方體的關(guān)聯(lián)；③比較、猜測、推導(dǎo)得出圓柱的體積公式。這樣的訓(xùn)練，有效地培養(yǎng)了學(xué)生歸納比較的能力，使知識得到遷移和升華。

在學(xué)期開始，也應(yīng)當(dāng)對整冊書做一個(gè)梳理比較，溝通聯(lián)系。開始本冊書的教學(xué)前，進(jìn)行一個(gè)新舊知識的連接架構(gòu)，溫故知新，消除學(xué)生對新術(shù)語的擔(dān)心和疑惑，使他們感到新知識其實(shí)并不很新，而是舊知識的延伸。比如七年級下冊的第一節(jié)課，我對整冊書進(jìn)行了分析：本學(xué)期我們將要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？與我們以前學(xué)習(xí)的哪些知識有關(guān)聯(lián)？比如第二章二元一次方程組和我們學(xué)過的一元一次方程有什么區(qū)別？兩個(gè)未知數(shù)，比一個(gè)未知數(shù)的方程要難。那我們只要想辦法把二元的方程減少一元，就可以把二元一次方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉淮畏匠?。用什么辦法消元呢？很簡單，大家都會(huì)呀?。◤?fù)習(xí)等量代換）比如x=5，y=x+7，那么也y=？依據(jù)什么道理呢？兩個(gè)方程x=5+y，x-y=2，怎么解出x、y的呢？也只要進(jìn)行等量代換，這里簡稱代入，這兩個(gè)方程不就變成了一個(gè)一元一次方程嗎？經(jīng)過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來很簡單，代入他們本來都會(huì)嘛！通過這樣的梳理比較，點(diǎn)燃了學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的信心。

四、小游戲“我說你猜”助力溫故知新

利用游戲教學(xué)，不僅能調(diào)節(jié)學(xué)生的精神，而且能寓教學(xué)于游戲之中，使學(xué)生通過輕松愉快的游戲鞏固已獲得的知識，并加深對知識的理解，也可以讓學(xué)生通過游戲，學(xué)習(xí)新的知識，促進(jìn)知識的遷移。

我在教學(xué)中嘗試了一種“我說你猜”的小游戲，兩位同學(xué)上臺(tái)，我在紙上寫下一些數(shù)學(xué)名詞，一位同學(xué)想辦法用數(shù)學(xué)方法表達(dá)，一般不能用到名詞中的字，另一位同學(xué)要猜出這個(gè)名詞。

例如，在學(xué)生即將學(xué)習(xí)三角形、四邊形等幾何證明時(shí)，我寫的是“同角或等角的補(bǔ)角相等”、“同角或等角的余角相等”等在幾何證明中常用但學(xué)生又不熟練的知識點(diǎn)。提問的學(xué)生在黑板上寫：∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°可以得到什么？依據(jù)什么？也有同學(xué)畫了兩條相交線來表示，經(jīng)過一兩次這樣的復(fù)習(xí)，學(xué)生對這個(gè)定理得到了比較好的掌握，在遇到使用該定理的例題和練習(xí)時(shí)，能更快地進(jìn)入狀態(tài)，打通思路。尤其是當(dāng)該節(jié)課的例題或練習(xí)中有涉及這兩個(gè)知識點(diǎn)的應(yīng)用時(shí)，更應(yīng)復(fù)習(xí)。

再比如，在學(xué)習(xí)二元一次方程時(shí)，要先觀察得出定義“像2a=3b+20這樣，含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的方程叫作二元一次方程”。學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法，要清楚“冪”“底數(shù)”是什么。但根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我感到學(xué)生對代數(shù)式、整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、單項(xiàng)式次數(shù)、多項(xiàng)式的次數(shù)、冪、底數(shù)這些名稱的應(yīng)用并不能做到熟練，很多同學(xué)可能遺忘，而要?dú)w納出二元一次方程的定義，必須明白并說出項(xiàng)和次數(shù)這些名稱，如果此時(shí)對這些名稱不知道，不能做出快速反應(yīng)，則在學(xué)習(xí)中會(huì)造成理解困難，知道的同學(xué)和不知道的同學(xué)就不能站在同一起跑線上，導(dǎo)致后面的差距拉大。所以在上這一章時(shí)，我特意提前在每節(jié)課前安排了這些知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)，我在紙上寫下“整式”“項(xiàng)”“項(xiàng)的次數(shù)”“同底數(shù)冪”等與即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容相關(guān)的名稱，通過每節(jié)課前的“我說你猜”，學(xué)生們在集中注意力的思考后得到答案，對這些名稱分別進(jìn)行了很好地復(fù)習(xí)，在學(xué)習(xí)新知識點(diǎn)時(shí)學(xué)生就很容易理解了。

在學(xué)習(xí)應(yīng)用題時(shí)，教師應(yīng)注意到部分學(xué)生對利息=本金*利率*時(shí)間、原價(jià)、現(xiàn)價(jià)、成本價(jià)、配套等名詞或公式掌握得不好，可以在小游戲中適當(dāng)挑一些來猜一猜，一則加強(qiáng)對這些名詞的理解，二則引起學(xué)生對這些名詞的重視，使學(xué)生在讀題時(shí)能有意識地先去理解題中的名詞，盡量改變有些同學(xué)讀題不會(huì)讀的問題，培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣。

五、進(jìn)行游戲“我說你猜”的感悟

1.簡便易行，面向全體

這樣的游戲我在每節(jié)課開始時(shí)進(jìn)行，只需花兩三分鐘，簡短而有效，當(dāng)學(xué)生無法表達(dá)時(shí)，我就代替他進(jìn)行表達(dá)，讓大家猜，猜到的同學(xué)當(dāng)然很開心，沒猜對的同學(xué)得知答案后也恍然大悟，個(gè)別實(shí)在沒掌握好的同學(xué)也進(jìn)行了又一次學(xué)習(xí)。這對本節(jié)課或者下節(jié)課將要上的內(nèi)容打下了基礎(chǔ)，大家相當(dāng)于又站到了同一個(gè)地基上來學(xué)習(xí)新知識。這種以游戲復(fù)習(xí)的形式，不僅極大地調(diào)動(dòng)了同學(xué)的積極思考，而且讓老師發(fā)現(xiàn)了學(xué)生掌握不佳的知識點(diǎn)，同時(shí)對這些知識點(diǎn)進(jìn)行了復(fù)習(xí)鞏固。

2.挖掘知識的深度和廣度

在備課中，我發(fā)現(xiàn)有很多類似的需要復(fù)習(xí)的知識點(diǎn)，比如二元一次方程的解、用含x的代數(shù)式表示y、等式的性質(zhì)、配套、冪、完全平方公式、平方差公式，等等。教師們經(jīng)常會(huì)為這些都是講過的知識，學(xué)生應(yīng)該都掌握了，所以就往往直接教授新課，而實(shí)際情況并沒有我們想象得那么好，學(xué)生通常學(xué)會(huì)怎么做題或憑感覺做題，但常常并不知道自己為什么這樣做，這是因?yàn)榘鸦A(chǔ)知識淡忘了，從而導(dǎo)致思路并不清晰。通過“我說你猜”的復(fù)習(xí)，學(xué)生掌握起來就更清楚、更容易了。游戲不僅是名稱的復(fù)習(xí)，還可以展示知識的內(nèi)涵。比如前面講的“同角的補(bǔ)角相等”等知識點(diǎn)，說的同學(xué)用畫圖或?qū)懙仁降姆椒?，不僅復(fù)習(xí)了知識點(diǎn)，也展示了知識點(diǎn)的由來，過一段時(shí)間變成復(fù)習(xí)“等角的補(bǔ)角相等”，學(xué)生對這個(gè)知識就有了深入、難忘的理解。尤其是對后進(jìn)生，幫助很大。

3.提高教師對學(xué)生和課堂的理解和掌控

只為游戲而開展的游戲教學(xué)，是一種形式主義的活動(dòng)。只有以興趣為前提，完成課程標(biāo)準(zhǔn)與教材規(guī)定的內(nèi)容，并實(shí)現(xiàn)教學(xué)要求，這樣的游戲教學(xué)才能取得良好的教育效果。我們設(shè)置一個(gè)游戲在課堂上實(shí)施，必須要先學(xué)習(xí)把握課程標(biāo)準(zhǔn)與教材內(nèi)容，根據(jù)教材內(nèi)容來設(shè)置。教師備課時(shí)要備好學(xué)生，要清楚地知道學(xué)生有哪些知識點(diǎn)或數(shù)學(xué)詞語是不清楚或可能遺忘的，然后在上這節(jié)課之前，準(zhǔn)備好如何復(fù)習(xí)。這就提高了教師的自我要求，教師自然會(huì)去了解學(xué)生的知識基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)，研究學(xué)生的思維特點(diǎn)、學(xué)習(xí)心理、認(rèn)知障礙等。對學(xué)生多一分了解，多一分研究，教師也提高了一分能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是前后有序，又不斷發(fā)展著的一個(gè)整體，一節(jié)課的內(nèi)容往往是整體中的一個(gè)有機(jī)環(huán)節(jié)。筆者認(rèn)為，新課程下克服以上問題，要繼承和創(chuàng)新傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢，“溫故知新”就是教學(xué)中行之有效的方法，要賦予新的詮釋，在探索新知的過程中，引導(dǎo)學(xué)生加速新舊知識的聯(lián)系，促成知識由無序向有序、由片段記憶向整體記憶發(fā)展，提高學(xué)生思維的廣度和深度。

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（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)閑林中學(xué)）