定向移動(dòng)基于馬爾科夫鏈的時(shí)空不確定性

尹章才，孫華濤，陳雪菲，劉清全

1.武漢理工大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢430070；2.武漢大學(xué)中國(guó)南極測(cè)繪研究中心，湖北 武漢430072

移動(dòng)對(duì)象生成的軌跡由典型的基于離散時(shí)間觀測(cè)的位置樣本點(diǎn)組成，在兩個(gè)相鄰樣本點(diǎn)之間移動(dòng)對(duì)象在任意時(shí)刻所處的位置是不確定的［1］。這種不確定的位置的全體或并集，在經(jīng)典時(shí)間地理中通過(guò)時(shí)空棱柱體來(lái)描述［2－6］。時(shí)空棱柱體在交通網(wǎng)絡(luò)空間退化為位于交通網(wǎng)上的垂直切面［7－10］。這些時(shí)空體并不區(qū)分移動(dòng)對(duì)象位于不同位置的可能性的差異，即認(rèn)為移動(dòng)對(duì)象在可達(dá)范圍內(nèi)呈均勻分布。然而，根據(jù)地理學(xué)第一定理［11］，在初始時(shí)刻ts位于起點(diǎn)的移動(dòng)對(duì)象，在時(shí)刻ts＋Δt位于起點(diǎn)附近的可能性會(huì)很大［9］；或者，在結(jié)束時(shí)刻te位于止點(diǎn)的移動(dòng)對(duì)象，在時(shí)刻te－Δt位于止點(diǎn)附近的可能性會(huì)很大。這意味著，在時(shí)刻t∈［ts，te］移動(dòng)對(duì)象分布在不同可達(dá)位置的可能性不總是均勻的。

為了能定量描述移動(dòng)對(duì)象在空間分布上的非均一性，文獻(xiàn)［12］提出了模糊時(shí)空體但尚未研制分析工具，文獻(xiàn)［13］給出了概率時(shí)間地理的概念［13］。隨后，時(shí)間地理的概率建模算法不斷被提出與發(fā)展。文獻(xiàn)［9，14］采用截?cái)嗾龖B(tài)表達(dá)移動(dòng)對(duì)象的空間概率分布，其方差隨最大移動(dòng)速度（vmax）的增大而缺乏收斂性。文獻(xiàn)［15—16］采用截?cái)嗖祭蕵虮磉_(dá)移動(dòng)對(duì)象的空間概率分布，但布朗橋的方差與現(xiàn)實(shí)速度vmax無(wú)關(guān)，因而難以直接模擬現(xiàn)實(shí)的時(shí)間地理?；诖?，本文提出基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理算法，其方差一方面隨現(xiàn)實(shí)速度vmax的變化而變化，從而能表達(dá)vmax與移動(dòng)對(duì)象空間概率分布的相關(guān)性，另一方面隨vmax的增大而趨于穩(wěn)定，從而保持與中心極限定理的一致性。

1 研究背景

1.1 經(jīng)典時(shí)間地理

現(xiàn)實(shí)地理世界的運(yùn)動(dòng)軌跡通常是連續(xù)的（圖1（a）），而在時(shí)空數(shù)據(jù) 庫(kù)［17－20］中往 往被抽樣成離散的點(diǎn)（圖1（b））。在采用序列離散的樣本點(diǎn)表達(dá)移動(dòng)軌跡時(shí)，會(huì)造成移動(dòng)對(duì)象位于兩相鄰樣本點(diǎn)之間位置的缺失，這在樣本點(diǎn)足夠密集時(shí)通過(guò)空間插值可以進(jìn)行彌補(bǔ)。然而，能完全填補(bǔ)這一缺失的模型，是經(jīng)典時(shí)間地理的潛在路徑 區(qū) 域（potential path area，PPA）［21］，它 是移動(dòng)對(duì)象位于兩相鄰樣本點(diǎn)之間的所有可達(dá)位置（圖1（c））。

圖1 地理與時(shí)間地理Fig.1 Geography and time geography

在時(shí)刻ts位于起始樣本點(diǎn)s的移動(dòng)對(duì)象，以最大速度vmax在時(shí)刻te到達(dá)下一個(gè)樣本點(diǎn)e的運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)定向的移動(dòng)過(guò)程。在假設(shè)地理空間為均質(zhì)的經(jīng)典時(shí)間地理中，定向移動(dòng)在時(shí)間［0，T＝te－ts］內(nèi)的可達(dá)位置是一個(gè)PPA：以s、e為焦點(diǎn)以a＝vmaxT/2為半長(zhǎng)軸的橢圓；在時(shí)刻t∈［0，T］的可達(dá)位置則為平面時(shí)空棱柱體（planar space－time prisms）［16］或棱鏡（圖2（a）），即這樣兩個(gè)圓的交集：一個(gè)是以s為中心以rs＝vmaxt為半徑的圓，另一個(gè)是以e為中心以re＝vmax（T－t）為半徑的圓。其中，兩圓的交點(diǎn)構(gòu)成了橢圓。

圖2 棱鏡與棱柱體Fig.2 Diamond and its space－time prism

在x－y－t空間，上述兩個(gè)圓可形成兩個(gè)反向的圓錐體（圖2（b））：圓錐中軸線與其母線的夾角的正切函數(shù)就是vmax［9］。兩圓錐體的交集是一個(gè)時(shí)空棱柱體，它在時(shí)刻t就退化為一棱鏡，在平面x－y的投影就是PPA。

1.2 概率時(shí)間地理

概率時(shí)間地理認(rèn)為移動(dòng)對(duì)象在任意時(shí)刻以一定的概率值分布在可達(dá)范圍［9，14］，而且同一位置的概率值會(huì)隨時(shí)間推移而發(fā)生變化。這種基于概率定量化擴(kuò)展的時(shí)空體稱概率時(shí)空體，包括概率圓錐體［14］（圖3（a））和概率棱柱體［9］（圖3（b））。

圖3 概率時(shí)間地理Fig.3 Probabilistic time geography

移動(dòng)對(duì)象的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)可采用隨機(jī)走進(jìn)行模擬。簡(jiǎn)單的隨機(jī)走可定義為［26］：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上隨機(jī)游動(dòng)，每隔一單位時(shí)間Δt移動(dòng)一次，每次只能向左或向右移動(dòng)一個(gè)格點(diǎn)（相鄰格點(diǎn)長(zhǎng)度為Δx），或原地不動(dòng)，相應(yīng)的概率為p、q和r，且各次移動(dòng)相互獨(dú)立。在隨機(jī)分析中，隨機(jī)走是布朗運(yùn)動(dòng)、馬爾科夫鏈的定義基礎(chǔ)，因而也是概率時(shí)間地理的理論基礎(chǔ)。

文獻(xiàn)［9，14］認(rèn)為移動(dòng)對(duì)象在任一時(shí)刻t的概率分布可采用正態(tài)描述：數(shù)學(xué)期望μ（t）＝2ct/T，其中c為半焦距；標(biāo)準(zhǔn)差定義為棱鏡最小邊界盒的寬度、高度的1/6，有這種方差由于隨著vmax的變化而變化（vmax決定棱鏡大小），因而具有應(yīng)用針對(duì)性（即同一定向移動(dòng)在vmax值不同的條件下具有差異化的方差及其概率分布），但隨著vmax的增大而呈指數(shù)發(fā)散［15］。

在隨機(jī)走中，當(dāng)步長(zhǎng)Δx固定時(shí)，Δt＝Δx/vmax會(huì)隨vmax的增大而減小，相應(yīng)地在時(shí)刻t的步數(shù)則增大。當(dāng)vmax或步數(shù)足夠大，根據(jù)中心極限定理隨機(jī)走近似服從正態(tài)分布，相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差都趨于穩(wěn)定。布朗運(yùn)動(dòng)就屬于此類，定向的布朗運(yùn)動(dòng)被稱為布朗橋［26］。文獻(xiàn)［15］直接采用布朗橋模擬定向移動(dòng)：數(shù)學(xué)期望μ（t）＝2ct/T；方差σ2（t）＝C2t（T－t）/T（C為布朗系數(shù)）。這種方差由于與vmax無(wú)關(guān)（只與時(shí)間有關(guān)），因而具有極端的穩(wěn)定性（即同一定向移動(dòng)在vmax值不同的條件下具有相同的概率特性與分布），也就不具有應(yīng)用的針對(duì)性。文獻(xiàn)［16］在布朗橋方差公式中新增了乘數(shù)項(xiàng)，其中目的是讓修正后的方差公式具有應(yīng)用針對(duì)性。然而，修改后的方差也隨vmax的增大而呈指數(shù)發(fā)散。

2 基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理原理

馬爾科夫鏈的概率特性由其已知狀態(tài)、轉(zhuǎn)移矩陣與轉(zhuǎn)移步次等參數(shù)決定，因而建立這些參數(shù)與定向移動(dòng)的已知條件（s，e，T，vmax）的映射是利用馬爾科夫鏈計(jì)算定向移動(dòng)概率分布的基礎(chǔ)。

2.1 平面空間的馬爾科夫鏈

2.1.1 馬爾科夫鏈

在隨機(jī)走定義基礎(chǔ)上，設(shè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到狀態(tài)－z或z后，下一次移動(dòng)必返回到－z＋1或z－1，即p－z，－z＋1＝1，pz，z－1＝1，以Xn表示質(zhì)點(diǎn)經(jīng)n次移動(dòng)后所處的格點(diǎn)位置，則｛Xn，n≥0｝是帶反射壁－z和z的馬爾科夫鏈［26］：

（2）狀態(tài)空間S＝｛－z，－z＋1，…，z－1，z｝?｛－n，－n＋1，…，n－1，n｝z≤n

（3）初始狀態(tài) 0

2.1.2 中間關(guān)于兩邊的馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N已知起點(diǎn)狀態(tài)X0＝i的正向條件概率。當(dāng)又知止點(diǎn)狀態(tài)XN＝j(luò)時(shí)，馬爾科夫鏈就轉(zhuǎn)化為了中間關(guān)于兩邊的雙向馬爾科夫鏈p（Xm＝k｜X0＝i，Xm＋n＝j(luò)），它表達(dá)了定向移動(dòng)的空間概率分布，其中m，n∈Z＋，i，j，k∈S，m＋n＝N。

式中，m≥0。由式（1）與C－K方程可知，雙向馬爾科夫鏈的概率特性也取決于它的已知狀態(tài)、轉(zhuǎn)移矩陣與轉(zhuǎn)移步次。類似的，Y維馬爾科夫鏈為

平面空間（x，y）上的馬爾科夫鏈可視為X維和Y維馬爾科夫鏈的獨(dú)立聯(lián)合，即

2.2 定向移動(dòng)到馬爾科夫鏈的映射

2.2.1 到轉(zhuǎn)移步次的映射

由物理試驗(yàn)可得，當(dāng)vmax越大時(shí)，移動(dòng)一步的時(shí)間消耗也就越小，每次移動(dòng)Δx也越?。?6］，因此可以假設(shè)Δx＝1/vmax。針對(duì)不同的應(yīng)用，可考慮常數(shù)修正因子。

定向移動(dòng)位于起、止點(diǎn)的時(shí)刻分別為0和T，對(duì)應(yīng)于馬爾科夫鏈的第0步和第N步，N＝［vmaxT/Δx］。這樣，對(duì)于任意時(shí)刻t∈［0，T］，一方面由于vmax與步數(shù)N有關(guān)，而N根據(jù)式（1）又與馬爾科夫鏈的概率特性有關(guān)，因此馬爾科夫鏈能表達(dá)不同vmax的移動(dòng)對(duì)象在概率特性（如方差等）方面的差異；另一方面當(dāng)vmax→∞時(shí)N→∞，根據(jù)中心極限定理馬爾科夫鏈趨于正態(tài)分布，其數(shù)字特征也趨于穩(wěn)定。

2.2.2 到狀態(tài)空間的映射

定向移動(dòng)在總時(shí)間T內(nèi)的潛在區(qū)域PPA是一長(zhǎng)半軸為的橢圓，假設(shè)橢圓的中心點(diǎn)位于原點(diǎn)，長(zhǎng)軸位于X軸。

（1）狀態(tài)空間。在X軸上作隨機(jī)走的質(zhì)點(diǎn)總位于［－a，a］內(nèi)，因而其狀態(tài)空間Sx＝｛－［a/Δx］，－［a/Δx］＋1，…，［a/Δx］－1，［a/Δx］｝，長(zhǎng)度Lx＝［2a/Δx＋1］。類似的，Y軸上的質(zhì)點(diǎn)總位于［－b，b］內(nèi)，其狀態(tài)空間Sy＝｛－［b/Δx］，－［b/Δx］＋1，…，［b/Δx］－1，［b/Δx］｝，長(zhǎng)度Ly＝［2b/Δx＋1］。顯然，Sx的反射壁為－［a/Δx］和［a/Δx］；Sy的反射壁為－［b/Δx］和［b/Δx］。當(dāng) Δx＝1時(shí)，X和Y維狀態(tài)空間及反射壁如圖4所示。

圖4 狀態(tài)空間及其反射壁Fig.4 State space and its reflective walls

（2）初始與結(jié)束狀態(tài)。移動(dòng)對(duì)象在t＝0時(shí)位于起點(diǎn)s（－c，0），對(duì)應(yīng)于馬爾科夫鏈的初始狀態(tài)X0＝i＝－［c/Δx］、Y0＝u＝0；在t＝T時(shí)位于止點(diǎn)e（c，0），對(duì)應(yīng)于馬爾科夫鏈的結(jié)束狀態(tài)XN＝j(luò)＝［c/Δx］、YN＝w＝0。

2.2.3 到轉(zhuǎn)移矩陣的映射

定向移動(dòng)是一種帶起、止點(diǎn)約束的隨機(jī)走，因而可以假設(shè)移動(dòng)對(duì)象在X軸上每次向左或向右移動(dòng)的概率相等（如p＝0.5，q＝0.5），原地不動(dòng)的概率為0（r＝0）。這樣，根據(jù)X軸上的狀態(tài)空間Sx，可構(gòu)建大小為L(zhǎng)x的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P

式中，一步轉(zhuǎn)移概率pi，j＝P｛Xn＝j(luò)｜Xn－1＝i｝，i，j∈Sx；n∈［0，N］。類似的，也可構(gòu)建Y方向上大小為L(zhǎng)y的一步轉(zhuǎn)移矩陣。由一步轉(zhuǎn)移矩陣P可計(jì)算m步轉(zhuǎn)移矩陣。

2.3 基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理算法

通過(guò)建立定向移動(dòng)與馬爾科夫鏈的映射關(guān)系，利用雙向馬爾科夫鏈模型，能計(jì)算定向移動(dòng)的概率分布云（圖5）。

首先，根據(jù)定向移動(dòng)與馬爾科夫鏈的映射關(guān)系，將定向移動(dòng)的已知條件（s，e，T，vmax）轉(zhuǎn)換為馬爾科夫鏈的參數(shù)（步長(zhǎng)、狀態(tài)空間、轉(zhuǎn)移矩陣等）。

圖5 算法流程Fig.5 Algorithm Flowchart

然后，利用式（3）的雙向馬爾科夫鏈模型，計(jì)算X、Y維空間的概率分布，并通過(guò)聯(lián)合形成平面空間的概率分布云。

最后，通過(guò)棱鏡進(jìn)行裁剪及其歸一化，形成定向移動(dòng)的概率分布。

3 例 子

為了驗(yàn)證基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理原理，在Matlab軟件中進(jìn)行了實(shí)例分析。選擇的實(shí)例是：移動(dòng)對(duì)象在第0s時(shí)位于起點(diǎn)s（－10m，0m）且在第20s時(shí)位于止點(diǎn)e（10m，0m）；vmax＝2m/s，步長(zhǎng)Δx＝1/vmaxm；轉(zhuǎn)移概率p＝q＝0.5、r＝0。

3.1 定向移動(dòng)概率分布云

由定向移動(dòng)的已知條件（s，e，T，vmax）可獲得PPA橢圓（c＝10m，a＝20m，b＝17.320 5m）。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)步長(zhǎng)Δx可獲得馬爾科夫鏈狀態(tài)空間，初始與結(jié)束狀態(tài)，以及總步數(shù)。

（1）狀態(tài)空間：X維的狀態(tài)空間Sx＝｛－40m，－39m，…，40m｝，Y維的狀態(tài)空間Sy＝｛－34m，－33m，…，34m｝。

（2）初始與結(jié)束狀態(tài)：X維的初始與結(jié)束狀態(tài)｛X0＝－10m，XN＝10m｝，Y維的初始與結(jié)束狀態(tài)｛Y0＝0m，YN＝0m｝。

（3）總步數(shù)：N＝［vmaxT/Δx］＝80。

（4）一步轉(zhuǎn)移矩陣：根據(jù)狀態(tài)空間Sx、Sy的大小Lx＝81、Ly＝69，隨機(jī)走向左、停留、向右的概率（p＝0.5，r＝0，q＝0.5），能分別建立在X維與在Y維的一步轉(zhuǎn)移矩陣。

依據(jù)X維的雙向條件馬爾科夫鏈（式（1）），能連續(xù)計(jì)算移動(dòng)對(duì)象在任意時(shí)刻t位于X維的概率分布。類似的，利用式（2）也可獲得Y維的概率分布。通過(guò)X、Y維概率分布的獨(dú)立聯(lián)合，能獲得移動(dòng)對(duì)象在任意時(shí)刻t分布在二維平面空間上的概率，再經(jīng)過(guò)基于t時(shí)刻的棱鏡的裁剪和歸一化處理即形成定向移動(dòng)的概率分布。圖6（a）、圖6（b）和圖6（c）分別是在t＝5s、10s、15s時(shí)基于離散空間的概率分布。

圖6 不同時(shí)刻的概率分布云Fig.6 The probability distributions at different times

由于是在離散空間構(gòu)建的概率分布，因此圖中的概率密度云呈離散的非連續(xù)性，其中X、Y軸表示平面的地理空間，Z軸表示概率值。圖6（b）是移動(dòng)過(guò)程在中間時(shí)刻（t＝10s）的概率分布，棱鏡及其概率值關(guān)于X、Y軸對(duì)稱；圖6（a）、圖6（c）分別是在t＝5s、15s時(shí)刻的概率分布，棱鏡及其上分布的概率云只關(guān)于X軸對(duì)稱；由于5s、15s分別與10s等距，因此圖6（a）、圖6（c）的概率云關(guān)于Y軸對(duì)稱。

3.2 數(shù)字特征及其變化趨勢(shì)

根據(jù)離散空間的邊緣概率分布定義，可將定向移動(dòng)的概率分布云分解為X－維邊緣分布與Y－維邊緣分布。在數(shù)學(xué)期望方面，Y－維邊緣分布的期望是一條端點(diǎn)分別為（第0次，0m）、（第80次，0m）的直線（圖7（a））；X－維邊緣分布的期望是一條端點(diǎn)分別為（第0次，－10m）、（第80次，10m）的近似直線。因此，馬爾科夫鏈算法的數(shù)學(xué)期望同布朗橋算法的數(shù)學(xué)期望μ（t）＝2ct/T一致。在方差方面，X－維邊緣分布與Y－維邊緣分布的方差均呈拋物線型，且在第0、80次的方差均為0（圖7（b））。布朗橋的方差也具有這一拋物線型特征，只是布朗橋的方差與vmax無(wú)關(guān)。由圖可知，定向移動(dòng)的數(shù)學(xué)期望、方差均關(guān)于中間時(shí)刻對(duì)稱，這從機(jī)理上解釋了圖6（a）、圖6（c）的概率云關(guān)于Y軸對(duì)稱的原因。

圖7 邊緣概率分布的數(shù)學(xué)期望與方差Fig.7 The mathematical expectation and variance of the marginal probability distribution

對(duì)于同一時(shí)刻t＝T/2，定向移動(dòng)基于馬爾科夫鏈的數(shù)字特性隨著vmax的增大（如vmax＝［1.45，1.95，2.45，2.95，3.45，3.95，4.45，4.95，5.45，5.95，6.45］），具有穩(wěn)定性：①在數(shù)學(xué)期望方面，X－維、Y－維的期望值都位于中心點(diǎn)處（0，0）（圖8（a））；②在方差方面，X－維、Y－維的方差都趨于穩(wěn)定（圖8（b））。

圖8 數(shù)學(xué)期望和方差隨最大速度增大而穩(wěn)定Fig.8 Mathematical expectation and variance stabilizing with the increase of the maximum speed

雙向馬爾科夫鏈和布朗橋都由隨機(jī)走推理而來(lái)，這為兩種算法的數(shù)學(xué)期望、方差在形態(tài)方面的共性提供了理論依據(jù)。然而，隨機(jī)走的步長(zhǎng)Δx在兩種算法中的定義不同，從而造成兩種概型的方差不同：①在布朗橋中被定義為無(wú)窮?。é→0），因而其方差自然與Δx無(wú)關(guān)；②在雙向馬爾科夫鏈中可定義為有限的（Δx＝1/vmax），本文構(gòu)建了這種有限值的Δx與馬爾科夫鏈概率分布云之間的映射關(guān)系，其方差與Δx有關(guān)，這為概率時(shí)間地理差異化描述不同步長(zhǎng)Δx的定向移動(dòng)提供了基礎(chǔ)。當(dāng)Δx→0時(shí)，布朗橋可視為雙向馬爾科夫鏈的極限，這意味著，當(dāng)Δx＝1/vmax→0，或vmax→＋∞時(shí)，雙向馬爾科夫鏈的方差具有收斂性或趨于穩(wěn)定，這也為圖8（b）的變化規(guī)律提供了理論支撐。

4 小 結(jié)

隨著時(shí)間地理的定量化發(fā)展，概率時(shí)間地理已經(jīng)引起關(guān)注?；诓煌怕誓Ｐ偷母怕蕰r(shí)間地理所表現(xiàn)出的概率特性（如方差等）不同，已有的概率時(shí)間地理的方差隨vmax的增大要么發(fā)散要么不變，在穩(wěn)定性和應(yīng)用針對(duì)性方面難以調(diào)和?；诖?，本文引入了能模擬定向移動(dòng)過(guò)程的雙向條件馬爾科夫鏈，試驗(yàn)表明其方差在vmax增大時(shí)具有針對(duì)性和穩(wěn)定性，即方差對(duì)不同vmax的移動(dòng)對(duì)象具有差異性，這種差異性會(huì)隨vmax的增大而逐漸減小并最終形成穩(wěn)定的方差。在理論上，馬爾科夫鏈也適合描述交通網(wǎng)空間的定向移動(dòng)，下一步將本文提出的概率時(shí)間地理原理擴(kuò)展至交通網(wǎng)，以分析定向移動(dòng)在交通網(wǎng)空間的概率分布云。

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