超大視場太陽敏感器圖像質(zhì)心提取算法

詹銀虎，鄭 勇，張 超，馬高峰，駱亞波

1.信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南鄭州450001；2.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450001；3.鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州450001

1 引 言

太陽敏感器是一種通過觀測太陽方向矢量確定載體姿態(tài)的傳感器，在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用極其廣泛。美國勇氣號和機遇號火星車上均搭載有高精度的太陽敏感器，用于確定車體的絕對航向，從而改正IMU隨時間漂移帶來的航向誤差［1－3］。近地航天器上普遍搭載有太陽敏感器，用于航天器初始姿態(tài)的快速捕獲［4］。太陽圖像質(zhì)心提取是利用太陽敏感器進(jìn)行天文導(dǎo)航的關(guān)鍵技術(shù)之一，圖像質(zhì)心提取的精度直接決定了太陽敏感器的觀測精度，進(jìn)而影響載體的姿態(tài)確定精度。因此，如何精確、快速地提取太陽圖像質(zhì)心是近些年的研究熱點。

太陽圖像質(zhì)心提取算法主要分灰度質(zhì)心法和擬合法兩類?；叶荣|(zhì)心法包括固定閾值的灰度質(zhì)心法［5］，基于直方圖閾值分割的灰度質(zhì)心法［6］，基于Otsu閾值分割的灰度質(zhì)心法［7］等。擬合法首先采用邊緣檢測算法提取太陽圖像的邊緣點，然后采用最小二乘法對邊緣點進(jìn)行圓擬合，圓心即為太陽圖像的質(zhì)心。擬合法的關(guān)鍵是如何實現(xiàn)高精度的太陽圖像邊緣檢測，文獻(xiàn)［8］提出采用Sobel算子進(jìn)行太陽圖像邊緣的粗檢測，然后采用Zernike矩進(jìn)行亞像素重定位，最后擬合圓心作為圖像質(zhì)心。其對實測太陽圖像的處理結(jié)果顯示，算法質(zhì)心提取精度達(dá)到0.08pixels。事實上，亞像素邊緣檢測算法很多，包括梯度法、插值法、擬合法、頻譜分析法、矩法等幾類［9－15］，均可應(yīng)用于太陽圖像邊緣檢測。此外，文獻(xiàn)［16—17］分別針對電子經(jīng)緯儀測日、測月定向問題，提出了基于水平角和高度角觀測量的太陽視面中心擬合算法和月球視面中心擬合算法，用于確定太陽質(zhì)心位置。雖然觀測儀器及基本觀測量不同，但算法原理仍值得借鑒。

灰度質(zhì)心法要求太陽圖像均勻、對稱，且受噪聲的影響嚴(yán)重［18］，在處理退化的太陽圖像時誤差較大，諸多文獻(xiàn)研究表明擬合法的精度要好于灰度質(zhì)心法［8］。太陽敏感器的視場普遍較大，從幾十度到180°不等［19］。大視場的太陽敏感器投影模型比較特殊，而且視場邊緣的畸變較大，會造成成像形變。當(dāng)太陽在視場邊緣成像時，太陽圖像不再是圓形，此時仍然采用圓擬合的方法提取圖像質(zhì)心顯然不再合適。

本文首先研究太陽在超大視場太陽敏感器中的成像形狀，提出圖像平面內(nèi)的橢圓擬合算法，在一定程度上解決了非圓形太陽圖像質(zhì)心提取的問題。然后提出球面圓擬合算法，在物方空間確定真實太陽的質(zhì)心位置。最后采用實測數(shù)據(jù)，對圓、橢圓和球面圓擬合算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明在一定的觀測條件下，兩種新算法具有更高的質(zhì)心提取精度。

2 太陽投影原理

常用的超大視場鏡頭的投影模型主要有4種：等立體角投影、等距投影、體視投影和正交投影［20］。本文采用尼康公司生產(chǎn)的 AF DX Fisheye－Nikkor魚眼鏡頭（標(biāo)稱焦距為10.5mm，視場為180°），采用美國Apogee儀器公司生產(chǎn)的Alta U9000CCD，二者組合構(gòu)建了魚眼相機，即太陽敏感器。該鏡頭采用等立體角投影模型，投影成像公式為

式中，f為焦距；θ為物方半視場角；R為像點至像主點的極距。取太陽的物方角半徑為16′，太陽質(zhì)心的方位角A＝45°，半視場角θ＝0～89°，模擬不同半視場角對應(yīng)的太陽邊緣點，不考慮畸變影響，按等距投影模型將太陽的邊緣點投影到像平面。圖1給出了焦距f＝10.5mm時，不同半視場角處太陽邊緣點的理想成像形狀。

圖1 等立體角投影下太陽的理想成像形狀Fig.1 Sun’s perfect image shape under solid angle projection

由圖1及等立體角投影公式可知，當(dāng)半視場角θ＝0時，太陽圖像為正圓。此后，隨著半視角的增大，太陽越來越接近視場的邊緣，此時太陽逐漸演化了“橢圓形”圖像。太陽的半視場角越大，太陽圖像的“橢圓性”越明顯。

事實上，太陽在視場邊緣的成像并非理想的橢圓，只是近似橢圓。根據(jù)圓錐曲線的定義可知，當(dāng)平面與圓錐面相切，且平面既不與圓錐的母線垂直也不與其平行時，平面與圓錐面的交線才為橢圓。因此，當(dāng)且僅當(dāng)鏡頭為小孔成像投影模型時，太陽邊緣經(jīng)過投影后才可能形成圓錐曲面，與像平面相交后形成標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形成像。若相機的鏡頭采用小孔成像投影，當(dāng)物方半視場角達(dá)到90°，即成像視場達(dá)到180°時，要求CCD的物理尺寸為無限大，因此小孔成像投影一般不用于超大視場成像。

考慮到太陽的角半徑僅為16′，其上下邊緣的角距差也只有32′，因此基本可以認(rèn)為等立體角投影獲取的視場邊緣太陽圖像為橢圓形。圖2、圖3分別為采用本文的魚眼相機拍攝半視場角分別為70°和84°（即仰角20°和6°）太陽獲得的圖像，并采用Sobel＋Zernike矩算法進(jìn)行亞像素邊緣檢測。算法的基本思想是：首先采用Sobel算子對太陽圖像進(jìn)行像素級的邊緣粗檢測，然后對每一個像素級邊緣點5×5或7×7鄰域的像素灰度值與模板進(jìn)行卷積運算得到Zernike矩，最后實現(xiàn)邊緣的亞像素精確定位［8］。本文采用中科院沈陽自動化研究所高世一推導(dǎo)的7×7 Zernike矩模板系數(shù)［13］。兩幅太陽圖像的亞像素邊緣檢測效果如圖2所示，均類似于橢圓形。

圖2 太陽70°半視場角圖像及其亞像素邊緣檢測結(jié)果Fig.2 A real image of the sun of 70°half angle of view and the result of subpixel edge detection

圖3 太陽84°半視場角圖像及其亞像素邊緣檢測結(jié)果Fig.3 A real image of the sun of 84°half angle of view and the result of subpixel edge detection

從形狀上來看，實際拍攝的太陽圖像與模擬的太陽圖像有一定的差別，原因可能是仿真計算沒有考慮鏡頭畸變、成像色散等實際因素對太陽成像的影響。此外，鏡頭的制作加工也很難使成像為嚴(yán)格的等立體角投影模型。

事實上，根據(jù)不同投影的定義可知，只有在體視投影模型下，太陽的圖像才為理想的正圓。在其他投影模型下，太陽的圖像為近似橢圓。因此，采用圓擬合的算法提取太陽圖像質(zhì)心在理論上是不嚴(yán)密的。

3 像面橢圓擬合算法

太陽在等立體角投影、等距投影和正交投影模型下的圖像均為近似橢圓，因此可以嘗試采用橢圓擬合的方法提取太陽圖像的質(zhì)心。設(shè)采用亞像素邊緣檢測算法得到太陽圖像邊緣點坐標(biāo)序列為（x1，y1）、（x2，y2）、…、（xn，yn），根據(jù)最小二乘法，在像平面擬合橢圓的誤差方程為

式中，（xc，yc）為待估圓心坐標(biāo)；a、b為待估的橢圓長、短半軸。

給定待估參數(shù)的近似值，對誤差方程進(jìn)行線性化，即可求解圓心坐標(biāo)參數(shù)。根據(jù)殘差序列估計圓心坐標(biāo)的中誤差和，則圓心（即質(zhì)心）位置中誤差計算公式為

mc可作為衡量太陽圖像質(zhì)心提取的內(nèi)符合精度指標(biāo)。

4 球面圓擬合算法

由于太陽圖像只是近似橢圓，直接在像平面采用橢圓擬合算法仍然不嚴(yán)密。受文獻(xiàn)［16—17］的啟發(fā)，本節(jié)將根據(jù)相機鏡頭的投影和畸變模型，將太陽圖像的邊緣點映射到物方空間，獲取真實太陽邊緣點的方位角和半視場角，并在物方空間進(jìn)行球面圓擬合，確定太陽的質(zhì)心位置。

如圖4所示，Z為相機的主光軸與天球的交點，Ek為真實太陽的某一邊緣點在天球上的投影，C為真實太陽的質(zhì)心在天球上的投影，它們構(gòu)成了球面三角形。邊緣點Ek的方位角和半視場角分別為Ak和θk，太陽質(zhì)心C的方位角和半視場角分別為和，太陽的視半徑為。根據(jù)球面三角形邊的余弦公式可得［21］

圖4 球面三角形Fig.4 Spherical triangle

式（4）中，（Ak，θk）為觀測量為未知參數(shù)，構(gòu)建誤差方程

式中

假設(shè)有n個等精度的邊緣點數(shù)據(jù)，則可構(gòu)建n個誤差方程，不妨令

根據(jù)最小二乘法可得

未知參數(shù)的估值為

單位權(quán)中誤差μ及未知參數(shù)的權(quán)逆陣QX表示為

故未知參數(shù)的精度估計公式為

實際計算中，上述過程需要迭代，一般只需2～3次迭代即可使結(jié)果收斂到0.1″以內(nèi)。

根據(jù)投影模型，將mAc映射到像平面，即為質(zhì)心位置的切向中誤差

式（1）對θ求導(dǎo)數(shù)

將mθc映射到像平面，即為質(zhì)心位置的徑向中誤差

質(zhì)心位置的中誤差為

mc即為球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度指標(biāo)。

下面總結(jié)給出采用球面圓擬合算法提取太陽圖像質(zhì)心的步驟：

（1）采用Sobel＋Zernike算法精確檢測太陽圖像的亞像素邊緣坐標(biāo)，其中Zernike矩的計算采用文獻(xiàn)［13］提供的7×7模板。

（2）根據(jù)相機的投影和畸變模型，將亞像素邊緣點映射到物方空間，得到物方空間太陽邊緣點在相機坐標(biāo)系下的方位角和半視場角。其中相機參數(shù)采用恒星法檢校技術(shù)獲取，相機檢校模型采用文獻(xiàn)［20］提出的基于半視場角約束的等立體角投影多項式畸變模型。

（3）采用球面圓擬合算法，擬合物方空間太陽質(zhì)心的方位角和半視場角。

（4）再次根據(jù)相機的投影和畸變模型，將物方空間太陽質(zhì)心的方位角和半視場角映射到像平面，獲取太陽圖像質(zhì)心坐標(biāo)，并進(jìn)行精度估計。

需要說明的是，在實際應(yīng)用中，直接參與導(dǎo)航解算的觀測量為物方空間太陽質(zhì)心的方位角和半視場角，因此球面圓擬合算法并不需要進(jìn)行第（4）步的計算，第（4）步的計算只是為了評價算法的精度。

從理論上講，本節(jié)提出的球面圓擬合算法不再需要考慮太陽圖像形狀。無論太陽圖像形狀為圓、橢圓或者是近似橢圓，將其映射到物方空間后，其形狀均為球面圓，球面圓擬合算法更為嚴(yán)謹(jǐn)。

5 算例分析

2014－10－14在鄭州地區(qū)利用本文的魚眼相機對太陽進(jìn)行長時間的跟蹤觀測，期間天氣狀況良好，相機全程保持靜止不動，分兩個時段進(jìn)行：第1個時段觀測起止時間（北京UTC）約為10：07—16：25，太陽的半視場角變化范圍大約為42°～73.6°，設(shè)置較低的采樣率獲取了108幅太陽圖像；第2個時段觀測起止時間約為16：25—17：23，太陽的半視場角變化范圍大約為73.6°～84°，設(shè)置較高的采樣率獲取了312幅太陽圖像。因此，本次試驗共獲取了420幅太陽圖像。試驗中，相機拍攝太陽的極限半視場角只能達(dá)到84°，當(dāng)太陽的半視場角進(jìn)一步增大時，太陽接近于地平面，光照極弱，加之濾光片的減光作用，無法成像。

首先采用固定閾值對太陽圖像進(jìn)行分割，然后利用Sobel＋Zernike矩算法檢測太陽圖像的亞像素邊緣，最后分別采用以下3種算法提取太陽圖像質(zhì)心：①圓擬合算法；②橢圓擬合算法；③球面圓擬合算法。3種算法的質(zhì)心位置中誤差mc（即內(nèi)符合精度）隨半視場角的變化如圖5所示。

圖5 質(zhì)心位置中誤差隨半視場角的變化圖Fig.5 Mean square errors of the centroids varies with the half angle of view

圖5顯示出兩個重要的交叉點，分別大約發(fā)生在半視場角70°和80.3°。當(dāng)太陽的半視場角小于70°時，3種算法的平均內(nèi)符合精度分別為0.042pixels、0.043pixels和0.171pixels，橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度略優(yōu)于圓擬合算法，球面圓擬合算法的精度最差。隨著半視場角的增大，橢圓擬合算法和圓擬合算法的內(nèi)符合精度比較穩(wěn)定，而球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度不斷衰減。

當(dāng)太陽的半視場角大于70°時，圓擬合算法和橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度迅速衰減，而球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度開始不斷提高。橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度總是優(yōu)于圓擬合算法，而且半視場角越大，這種優(yōu)勢越明顯。橢圓擬合算法與球面圓擬合算法存在一個交叉點，大約發(fā)生在半視場角80.3°。當(dāng)半視場角小于80.3°時，橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度要明顯優(yōu)于球面圓擬合算法；當(dāng)半視場角大于80.3°時，球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度要明顯優(yōu)于橢圓擬合算法。由此可以說明，球面圓擬合算法更適合處理半視場角大于80.3°的太陽圖像，而橢圓擬合算法更適合處理半視場角70°～80.3°的太陽圖像。

將數(shù)據(jù)分為3段，第1段為半視場角小于70°的太陽圖像，共計99張；第2段為半視場角大于70°小于80.3°的太陽圖像，共計201張；第3段為半視場角大于80.3°的太陽圖像，共計120張。采用16次多項式對3種算法的3段太陽圖像質(zhì)心軌跡分別進(jìn)行擬合，擬合軌跡均平滑，統(tǒng)計殘差的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)一步評價3種算法的精度，結(jié)果如表1所示。

表1 分段質(zhì)心坐標(biāo)的RMS值Tab.1 RMS values of each piecewise centroid trajectory像素

由表1可知，當(dāng)太陽的半視場角為42°～70°時，圓和橢圓擬合算法要明顯好于球面圓擬合算法；當(dāng)太陽的半視場角為70°～80.3°時，橢圓擬合算法要好于圓和球面圓擬合算法；當(dāng)太陽的半視場角為80.3°～84°時，球面圓擬合算法要好于圓和橢圓擬合算法?？紤]到半視場角越小，太陽的圓形性越強，因此對于半視場角小于42°的太陽圖像，建議采用圓擬合算法即可。此外，半視場角大于70°的太陽圖像與半視場角小于70°的太陽圖像相比，具有更好的擬合精度。分析原因，可能是因為后320幅圖像跟蹤觀測時長僅為1h，而前100幅圖像的跟蹤觀測時長達(dá)到6h。跟蹤觀測時間越長，太陽圖像質(zhì)心軌跡越長，多項式模型越難逼近其軌跡，導(dǎo)致擬合后的殘差越大。

圖5出現(xiàn)80.3°這一拐點，可能是由畸變模型誤差和太陽圖像的橢圓性兩個因素共同決定的。其中畸變模型誤差是指所采用的畸變參數(shù)及模型不能準(zhǔn)確描述真是畸變情況所產(chǎn)生的誤差。當(dāng)太陽的半視場角小于80.3°時，由于畸變較小，此時太陽圖像的橢圓性較好，直接采用橢圓擬合算法精度較好。此時若采用球面圓擬合算法，不可避免地會引入畸變模型誤差，進(jìn)而影響球面圓擬合算法的精度。當(dāng)太陽的半視場角大于80.3°時，畸變增大到一定程度后，太陽圖像的橢圓性變差，從而影響橢圓擬合算法精度。此時采用球面圓擬合算法雖然會引入畸變模型誤差，但大部分畸變已得到有效校正，因此球面圓擬合算法精度更好。

此外，本文在Matlab2010環(huán)境下統(tǒng)計了420張?zhí)枅D像質(zhì)心提取耗費的時間。其中亞像素邊緣檢測總共耗時大約93.3s，單幅太陽圖像平均耗時0.222 1s。圓擬合算法運算總時間為0.136 4s，單幅太陽圖像平均耗時0.328ms；橢圓擬合算法運算總時間為0.144 6s，單幅太陽圖像平均耗時0.348ms；球面圓圓擬合算法運算總時間為0.219 6s，單幅太陽圖像平均耗時0.528ms。球面圓擬合算法的運算時間分別為圓和橢圓擬合算法的1.6倍和1.5倍。太陽圖像質(zhì)心提取的絕大部分的耗費在亞像素邊緣檢測上，占總時間的99.7%。考慮到球面圓擬合算法對單幅太陽圖像的運算時間小于1ms，因此，在權(quán)衡算法的精度和時間的關(guān)系時，基本可以忽略球面圓擬合算法的復(fù)雜性。

6 結(jié) 論

根據(jù)實測數(shù)據(jù)的計算和分析結(jié)果，可以總結(jié)出3種太陽圖像質(zhì)心提取算法的適用范圍：當(dāng)太陽的半視場角小于70°時，建議采用圓擬合算法；當(dāng)太陽的半視場角介于70°和80.3°時，建議采用橢圓擬合算法；當(dāng)太陽的半視場角大于80.3°時，建議采用球面圓擬合算法。需要說明的是，上述結(jié)論只適用于本文采用的等立體角投影模型的魚眼相機。對于其他不同種類的魚眼相機，由于投影、畸變、成像色散等因素不同，可能會有不同的結(jié)論，但本文提供的分析方法是通用的。

在攝影測量領(lǐng)域，圓形目標(biāo)的圖像質(zhì)心提取是經(jīng)常遇到的問題。例如，近景攝影測量中經(jīng)常采用的回光標(biāo)志，航空攝影測量中的油罐、糧倉等均為圓形目標(biāo)，本文提出的算法均可能適用。

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