論數(shù)

■大家還記得去年我向你們介紹過(guò)的盧聲怡老師的數(shù)學(xué)趣味故事集《論數(shù)——孔子和弟子們的數(shù)學(xué)課》嗎？現(xiàn)在，“論數(shù)”來(lái)到《數(shù)學(xué)大王》啦！這本書用子盧（孔子的一個(gè)學(xué)生）的視角，講述了古代孔子辦學(xué)教學(xué)生們學(xué)數(shù)學(xué)的趣味故事。來(lái)，我們來(lái)看故事吧！這些都是新的故事，而不是書上的故事哦！

“你們聽說(shuō)了沒有？南方的沃爾羊，到咱們魯國(guó)曲阜來(lái)開店啦！第一家店就設(shè)在杏林小鎮(zhèn)，今天開業(yè)！”宰予今天一到班上，就順手關(guān)上教室前門，發(fā)布了個(gè)重要消息。

“沃爾羊？是什么東西？聽起來(lái)很好吃的樣子?！弊勇芬槐菊?jīng)地問(wèn)。

同學(xué)們哄堂大笑，不過(guò)也難怪子路，看看“鮮”字是怎么寫的，就知道在我們這兒，魚和羊都是美味而值錢的東西了。

宰予很有耐心地解釋：“沃爾羊是一家著名的連鎖超市，里面的商品種類很齊全，而且聽說(shuō)質(zhì)量都不錯(cuò)……”

“要錢嗎？”子路不客氣地打斷了宰予的話。

這個(gè)“奇怪”的問(wèn)題讓宰予噎了一下，他好半天才喘過(guò)氣來(lái)，說(shuō)：“那當(dāng)然要了?！?/p>

“那有什么可去的？”

“我聽說(shuō)今天還要進(jìn)行購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獎(jiǎng)品就是一只大綿羊呢。”宰予想起了子路對(duì)“羊”的美好印象。

“哇！真的？那我要去。”子路躍躍欲試，“怎么個(gè)抽獎(jiǎng)法？”

“聽說(shuō)只要你購(gòu)物達(dá)到300個(gè)銅幣，就可以參加一次抽獎(jiǎng)。主持人在現(xiàn)場(chǎng)設(shè)了三扇門，其中一扇門后面放了一只大綿羊，只要你選中，那大綿羊就是你的了！”宰予邊講邊吞口水，仿佛抽到的不是一只大綿羊，而是一鍋涮羊肉。

“那另外兩扇門后面放的是什么？”

“各放一枚大鴨蛋。”

“切！我討厭鴨蛋！”

“對(duì)啊，大鴨蛋只要你自己考就有了?！痹子瓒喝ふf(shuō)。

子路沖著他揮了揮大拳頭，繼續(xù)說(shuō)：“不過(guò)，那大綿羊還是很吸引人呀。我要是叫它一聲，它能答應(yīng)我就好了，羊羊開門……”

子路隔著教室前門，沖著外頭深情地呼喚起來(lái)：“羊羊，開門呀，讓子路哥哥來(lái)吃你的肉肉?！?/p>

“咦，還真有聲音！”子路把耳朵貼在門上，聽著外面的動(dòng)靜。

突然，他臉色一變，正要閃開，門卻已經(jīng)被“啪”地一下推開，曾參風(fēng)風(fēng)火火地跑進(jìn)來(lái)，嚷嚷著：“孔老師來(lái)了，快坐好?！?/p>

一秒鐘之內(nèi)，大家各就各位。當(dāng)然，除了在門后面呲牙咧嘴的子路。

“今天的作業(yè)：請(qǐng)大家回去后用拋銅幣、擲骰子的方法，研究一件事情發(fā)生的可能性大小，以及用分?jǐn)?shù)到底怎么表示?！鄙贤暾n，孔老師布置完作業(yè)，“下課”聲剛出口，班上的同學(xué)就已經(jīng)一哄而散，子貢跑得最快。

我和往常一樣收拾好書包，走出教室，正看到曾參拎著一個(gè)大竹籃子從宿舍跑出來(lái)。

一看到我，他就熱情地招呼：“子盧，我們一起去沃爾羊買東西抽獎(jiǎng)吧？”

“不想去?！蔽覔u了搖頭。

“為什么？”曾參愣住了，“一只大綿羊少說(shuō)也值500個(gè)銅幣呢，如果你抽中了，那么你買的東西不就等于免費(fèi)了嗎？”

“你算過(guò)抽中的可能性是多少了嗎？”我反問(wèn)。

“這倒還真沒想過(guò)?！痹鴧⒆ブ竽X勺。

“一共三扇門，只有一扇門后面有綿羊，剩下的兩扇門都是不值錢的鴨蛋。那么抽中綿羊的可能性就只有三分之一，不高啊，而且我想了半天，最近也沒什么需要花300銅幣買的商品。”

“嗯，也有道理，不過(guò)正好我爸爸讓我采購(gòu)家里的米面牛奶之類，差不多要300銅幣，你就當(dāng)陪我去吧?！?/p>

我考慮了一下：“好吧，我跟你一起去。”

“太好了，真是好兄弟?！痹鴧⒑芨吲d。

我心里想的卻是：去看看熱鬧也好嘛。

曾參看了看四下無(wú)人，湊到我的耳朵邊，又告訴我一個(gè)秘密：“剛才我遇到孔老師，孔老師知道我想去抽獎(jiǎng)后，給了我一個(gè)錦囊，說(shuō)已經(jīng)安排好了，主持人會(huì)照顧我們，讓我們?nèi)菀字歇?jiǎng)哦?！?/p>

“哇！還有這好事？”

“那當(dāng)然，孔老師可不是亂說(shuō)話的人。”曾參一向?qū)桌蠋熒钚挪灰伞?/p>

“看來(lái)這次真是值得一去啊。”我的心緊張得怦怦直跳。

遠(yuǎn)遠(yuǎn)地，就能看到沃爾羊超市墻上的那個(gè)大羊頭標(biāo)志。大門前的廣場(chǎng)上已經(jīng)是人山人海，人群把抽獎(jiǎng)臺(tái)圍了個(gè)里三層外三層。

“讓一讓，讓一讓，我們認(rèn)識(shí)主持人?！痹鴧⑦汉戎?，提著買來(lái)的東西，拉著我一起擠了進(jìn)去。

到了臺(tái)邊，曾參熱情地打招呼：“嗨，帥哥主持人，我們是孔老師的學(xué)生，孔老師讓我們來(lái)找你的?！?/p>

“恐老四，什么恐老四？”主持人有點(diǎn)莫名其妙。

“就是孔子呀，小學(xué)語(yǔ)文課本上都有介紹他呢?！痹鴧⒄J(rèn)真地說(shuō)，我心里卻直嘀咕。

“什么恐子，我只聽說(shuō)有恐怖分子，還有恐龍小子?！敝鞒秩说脑捯鹆伺_(tái)下觀眾的一陣哄笑。

“曾參、子盧……”旁邊有人扯了一下我們倆，我轉(zhuǎn)頭一看，原來(lái)是子貢。

“噓！”子貢把食指放在唇邊，示意我們噤聲，“先別說(shuō)話，主持人正在介紹新抽獎(jiǎng)規(guī)則呢。”

果然，主持人繼續(xù)用他那充滿鼓動(dòng)性的聲音介紹：“為了讓抽獎(jiǎng)更好玩，我們確定了一個(gè)新的規(guī)則！等你選好一扇門后，我會(huì)打開剩下的兩扇門中后面是大鴨蛋的一扇門，然后，你將又有一次機(jī)會(huì)！你可以繼續(xù)選原來(lái)的門，也可以改選剩下的另一扇門?！?/p>

“有這種好事？”“聽起來(lái)好復(fù)雜??！”下面的人紛紛議論起來(lái)。

“為什么剩下的兩扇門后面一定有一個(gè)大鴨蛋呢？”旁邊有人嘀咕。他的同伴捅了捅他：“你傻呀？一共有兩個(gè)大鴨蛋，不管你第一次選中的是什么，當(dāng)然剩下的肯定還有一個(gè)大鴨蛋了?！?/p>

哪知道主持人耳尖，一下子指著這兩位說(shuō)：“說(shuō)得對(duì)，我可以保證一定把后面是鴨蛋的門打開給你看，而不是后面有大綿羊的那扇。”

“哈哈哈哈?！逼渌艘魂嚧笮?。有人在喊：“要是我原來(lái)就選中了大綿羊，改選不就吃虧了嗎？”

“那我也沒辦法了，所以你要自己想清楚，是改選好還是不改選好。”

改選好還是不改選好呢？

這個(gè)“是”或“不是”的選擇題，就像孔老師講過(guò)的“生存還是死亡”的著名問(wèn)題一樣，讓在場(chǎng)的人都在心里盤算起來(lái)。

子貢仰面朝天，念念有詞——每次他要計(jì)算的時(shí)候，都是這樣的。班上的同學(xué)私下里都說(shuō)：“這是不是一種神奇的武功，叫什么‘云計(jì)算的？”

曾參嘀咕說(shuō)：“去掉一扇鴨蛋門，現(xiàn)在是兩扇門，其中一扇有大綿羊。那現(xiàn)在再選，選中綿羊的可能性就是二分之一，沒選中的可能性也是二分之一。改不改好像都一樣啊?！?/p>

子貢轉(zhuǎn)過(guò)頭來(lái)說(shuō)：“不對(duì)不對(duì)，要分兩種情況來(lái)想。第一種，我們第一次選的那門后面有羊，那我們改選就只能得大鴨蛋了。第二種，第一次選的門后面沒羊，那改選就能得大綿羊。嗯，好像也是各占一半？”

我搖搖頭：“不是各占一半，因?yàn)榈谝淮芜x的有羊和沒羊，這兩種情況的可能性本身就是不相等的……”

“哎呀，太復(fù)雜了，都怪孔老師，還告訴我說(shuō)主持人會(huì)照顧我們，結(jié)果人家根本不認(rèn)識(shí)他！”曾參抱怨道。

這一下倒提醒了我，我說(shuō)：“不如把孔老師給的錦囊拿出來(lái)看一看吧?！?/p>

里面是一片竹簡(jiǎn)，上面寫著：想選兩扇門？

“選兩扇門，那當(dāng)然合算啦！”子貢說(shuō)，“一共三扇門，選一扇門選中的可能性是三分之一。要能同時(shí)選兩扇門，那可能性就是三分之二啦！”

“哎，帥哥，我們能選兩扇門嗎？”曾參沖著臺(tái)上的主持人喊。主持人還沒回答，旁邊的人就大笑起來(lái)：“你還當(dāng)沃爾羊是你家開的呀？”

主持人也笑著說(shuō)：“我可不認(rèn)識(shí)你們那恐怖分子大哥哦。”

“抱歉，抱歉，他太激動(dòng)說(shuō)錯(cuò)話了?！蔽乙话盐孀≡鴧⒌淖彀?。等到大家的注意力移開了，我在曾參的耳朵旁邊，悄悄地說(shuō)了幾句話。

曾參的眼睛一下子亮了起來(lái)：“看來(lái)孔老師沒騙我們，果然能選兩扇門?！?/p>

“能選兩扇門？”子貢還是不明白。

“如果讓你選兩扇門的話，你打算選哪兩扇門？”我和曾參一起問(wèn)子貢。

子貢看了又看，終于下定了決心說(shuō)：“那我就選乙門和丙門吧，不過(guò)，主持人不是不肯嗎？”在子貢的嘀咕聲中，曾參已經(jīng)登上了臺(tái)。

曾參揮著手里的購(gòu)物票說(shuō)：“我要抽獎(jiǎng)?！?/p>

“請(qǐng)選一扇門。”

“喏。”曾參的手指向的是甲門。

“咦，你不是說(shuō)曾參能選兩扇門嗎？”臺(tái)下的子貢扭頭問(wèn)我。

“噓，別說(shuō)話！”

主持人自然是知道每扇門后面是什么的，他毫不在意地打開了乙門，后面果然是個(gè)圓溜溜的大鴨蛋。

改選還是不改選？

大家的目光都落到了曾參身上。

曾參早已經(jīng)拿定了主意，他的手指一直就沒放下來(lái)過(guò)，此時(shí)毫不猶豫指向了丙門！

門打開了，后面是一只睜著無(wú)辜的大眼睛，嘴巴被罩得嚴(yán)嚴(yán)實(shí)實(shí)的大綿羊！

子貢羨慕得雙眼直放光：“哇呀，太劃算了！我明白了，要選哪兩扇門，只要把手指向另一扇門，然后等主持人排除掉我們要選的兩扇門中的一扇門后，再指向另一扇沒開的門。這時(shí)另一扇門的可能性已經(jīng)合并到剩下的這扇門上了，可以說(shuō)改選實(shí)際上相當(dāng)于一開始選了兩扇門！” 子貢的生意頭腦是一流的。

“呵呵，你算說(shuō)對(duì)了。”我把竹簡(jiǎn)翻了一個(gè)面，背面赫然寫著“先指第三門”。

我們開心地趕著綿羊回學(xué)校了，子貢卻堅(jiān)持說(shuō)留下來(lái)也試一試。

三個(gè)時(shí)辰后，我們聽到了一陣有氣無(wú)力的敲門聲。打開一看，是幾乎要淹沒在一大堆冉師傅快熟面里的子貢。

“唉，真倒霉！我買了整整300銅幣的快熟面，總算有機(jī)會(huì)用上了‘先指第三門的方法。可誰(shuí)知道改選后，卻選中了大鴨蛋，放棄的那扇門后面，倒是只大綿羊！”

“對(duì)啊，改選選中的可能性大，但并不代表一定就會(huì)選中哦?！蔽野参孔迂?，“不管怎么說(shuō)，你也有收獲，這些快熟面足夠你吃上三個(gè)月啦。”

“我哭！”

數(shù)學(xué)點(diǎn)睛：三門問(wèn)題屬于統(tǒng)計(jì)概率的領(lǐng)域，出自美國(guó)的一個(gè)電視游戲節(jié)目，由主持人蒙提·霍爾設(shè)計(jì)。節(jié)目播出后，“改選是否劃算”這個(gè)問(wèn)題引發(fā)了熱烈討論。故事中孔子的弟子們從“改選就是選兩個(gè)門”的操作角度理解了改選后選中的可能性更高。你也可以把所有的情況列舉出來(lái)進(jìn)行分析，或者干脆想，改選卻沒選中，那說(shuō)明一開始就已經(jīng)選中了那扇“中獎(jiǎng)”門，而這種情況發(fā)生的可能性只有三分之一！可惜的是，子貢卻偏偏遇上了。