基于非線性滑模面的多PMSM 變結(jié)構(gòu)同步控制

曹玲芝，王 宏，謝曉磊

(鄭州輕工業(yè)學(xué)院，鄭州450002)

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)自動化水平的逐步提高和生產(chǎn)規(guī)模的逐漸擴(kuò)大，越來越多的生產(chǎn)領(lǐng)域，如拉拔、紡織、印染、造紙、軋鋼等需要多電機(jī)的同步控制。在這些領(lǐng)域中多電機(jī)的同步控制的好壞，直接影響到生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量［1］。然而多電機(jī)的同步性能會受到各傳動軸的驅(qū)動特性不匹配、負(fù)載擾動等因素的影響，因此，多電機(jī)的同步控制成為研究的熱點和難點［2］。

目前存在的多電機(jī)耦合控制方法主要有主從控制、虛擬總軸控制、交叉耦合控制、偏交叉耦合控制和相鄰交叉耦合控制［3－6］。其中相鄰交叉耦合控制在同步誤差控制過程中只考慮相鄰兩臺電機(jī)的同步狀態(tài)，使控制系統(tǒng)得到簡化，所以非常適用于數(shù)目較多電機(jī)的同步控制。本文在相鄰交叉耦合控制的基礎(chǔ)上把首尾兩臺電機(jī)耦合建立了相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)。

在多電機(jī)的同步控制中，控制算法的好壞直接影響著系統(tǒng)的可靠性和同步精度［7］。常規(guī)的PID控制要求控制對象建模要準(zhǔn)確，且容易受到外部擾動和內(nèi)部參數(shù)變化的影響，所以很難使控制達(dá)到滿意的調(diào)速或定位性能［8］。滑模變結(jié)構(gòu)控制(SMC)自20 世紀(jì)50 年代出現(xiàn)，由于其響應(yīng)快速、對參數(shù)變化及擾動不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識、物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于各種控制系統(tǒng)中［9］。關(guān)于滑模變結(jié)構(gòu)控制當(dāng)滑模面為線性時，在采用飽和函數(shù)削弱滑?？刂频亩墩駟栴}時，存在著控制精度和削弱抖振之間的矛盾［10］，針對這個問題，本文提出了非線性滑模面的變結(jié)構(gòu)控制，運用這種控制方法再采用飽和函數(shù)削弱抖振的同時，能夠保證控制的精度。

1 永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)在忽略鐵心飽和、氣隙磁場正弦分布、不計渦流和磁滯損耗、轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組、永磁體也沒有阻尼作用，且Ld=Lq=La，在d，q 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立數(shù)學(xué)模型:

式中:Ra為定子電阻;ω 為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的電角度;ψf為永磁體磁通;D 為微分算子，D=d/dt;id，iq為d，q 軸定子電流;ud，uq為d，q 軸定子電壓;Ld，Lq為交、直軸電感。

永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程:

永磁同步電機(jī)的運動方程:

式中:p 為極對數(shù);J 為轉(zhuǎn)動慣量;TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2 相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)

相鄰交叉耦合控制是針對每一臺電機(jī)僅考慮它和相鄰兩臺電機(jī)的狀態(tài)誤差，例如要對n 臺電機(jī)進(jìn)行同步控制，其中的第i 臺電機(jī)除了要對它相對于設(shè)定的參考轉(zhuǎn)速的跟蹤誤差進(jìn)行控制，還要控制它和第i－1 臺和第i+1 臺電機(jī)的同步誤差。

第i－1，i，i+1 臺電機(jī)的跟蹤誤差分別:

式中:ω*為設(shè)定的參考轉(zhuǎn)速;e(i－1)(i－1)為第i－1 臺電機(jī)的跟蹤誤差;ωi－1為第i－1 臺電機(jī)的反饋轉(zhuǎn)速;eii為第i 臺電機(jī)的跟蹤誤差;ωi為第i 臺電機(jī)的反饋轉(zhuǎn)速;e(i+1)(i+1)為第i +1 臺電機(jī)的跟蹤誤差;ωi+1為第i+1 臺電機(jī)的反饋轉(zhuǎn)速。第i 臺電機(jī)和第i－1 臺電機(jī)的同步誤差:

式中:ei(i－1)為第i 臺和第i－1 臺電機(jī)的同步誤差。

第i 臺電機(jī)和第i+1 臺電機(jī)的同步誤差:

式中:ei(i+1)為第i 臺和第i+1 臺電機(jī)的同步誤差。

對n 臺電機(jī)進(jìn)行同步控制，把第n 臺電機(jī)和第1 臺電機(jī)進(jìn)行耦合，這樣對n 臺電機(jī)的同步耦合控制就形成了一個首尾相連的圓環(huán)，從而組成了相鄰交叉耦合環(huán)形控制系統(tǒng)。

例如4 臺電機(jī)相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)的控制框圖如圖1 所示。

圖1 4 臺電機(jī)的相鄰交叉耦合環(huán)形同步控制系統(tǒng)

每一臺電機(jī)有3 個控制器，控制器1 是跟蹤誤差控制器，控制器2，3 為同步誤差控制器，對于第i臺電機(jī)希望的控制結(jié)果是在很短的時間內(nèi)所有的誤差趨于零，即:

3 控制器的設(shè)計

3.1 跟蹤誤差控制的數(shù)學(xué)模型

取永磁同步電機(jī)的狀態(tài)變量:

式中:ω*為設(shè)定的轉(zhuǎn)速;ω 為反饋轉(zhuǎn)速;x1為跟蹤誤差。

由永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型式(2)、式(3)得:

根據(jù)式(8)可把永磁同步電機(jī)跟蹤誤差控制描述為如下形式:

3.2 同步誤差控制的數(shù)學(xué)模型

對于第i－1 臺和第i+1 臺電機(jī)取狀態(tài)變量:

式中:e1為同步誤差。

由永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型式(2)、式(3)得:

根據(jù)式(11)可以把多永磁同步電機(jī)同步誤差控制描述為如下形式:

3.3 控制器的設(shè)計

通過比較式(9)和式(12)可以得出跟蹤誤差控制的狀態(tài)方程和同步誤差控制的狀態(tài)方程形式相同，因此控制器u1和控制器u2可以相同，可以把式(9)和式(12)統(tǒng)一表示為如下形式:

設(shè)計非線性滑模面為如下形式:

此時:

把u 代入到式(16)得:

從式(18)可以得出，當(dāng)滑模面s 取非線性滑模面式(14)，控制器u 取式(17)時，ss· 在全局內(nèi)都滿足＜0 的到達(dá)條件，這樣在控制的過程中不會出現(xiàn)超調(diào)量，能夠提高控制效率。

4 削弱滑模變結(jié)構(gòu)控制的抖振

從式(17)可以看出，控制器u 中含有切換函數(shù)sign(s)，為了削弱抖振，常采用飽和函數(shù)來代替切換函數(shù)，飽和函數(shù)的形式如下:

飽和函數(shù)有一個邊界層厚度δ，邊界層厚度越大，削弱抖振的能力越強(qiáng)，但是邊界層厚度越大，使最終的狀態(tài)變量不能收斂到原點，而是收斂到原點的一個鄰域內(nèi)，這樣就造成了最終的控制誤差［10］。所以用飽和函數(shù)削弱抖振，存在著削弱抖振和產(chǎn)生最終控制誤差的矛盾。

比如采用線性滑模面如下:

此時結(jié)合飽和函數(shù)式(19)，讓δ=20，得到:

圖2 線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合結(jié)果

從圖2 可以看出，當(dāng)采用飽和函數(shù)削弱滑模變結(jié)構(gòu)控制抖振時，狀態(tài)變量由于邊界層厚度的存在而不能收斂到零，而是收斂到零點的一個鄰域內(nèi)，這就造成了最終的控制誤差。但是正是因為邊界層的存在使控制信號的光滑性變好，而且邊界層厚度越大，光滑性越好，削弱抖振的能力越強(qiáng)，所以削弱抖振和保證控制精度之間就存在著矛盾。當(dāng)采用式(14)的非線性滑模面時，δ=20，此時:

從圖3 可以看出，當(dāng)采用非線性滑模面時，在遠(yuǎn)離原點處邊界層較厚，這有利于削弱抖振，而在原點附近邊界層較薄，這有利于保證最終的控制精度，所以采用非線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合很好地解決了在削弱抖振和保證控制精度之間的矛盾。

圖3 非線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合

5 仿真及結(jié)果

在MATLAB/Simulink 中構(gòu)建如圖1 所示的基于相鄰交叉耦合環(huán)形控制的四臺永磁同步電機(jī)的同步控制系統(tǒng)，對于單臺電機(jī)采用的控制方法如圖4 所示。其中PMSM 模塊的參數(shù)設(shè)定:Ra=2.875 8 Ω，p=4，Ld=Lq=8.5×10－3H，J=8.5×10－3kg·m2。

設(shè)定參考轉(zhuǎn)速v=700 r/min。

對單臺電機(jī)的控制，采用基于電壓空間矢量PWM(SVPWM)的id=0 的轉(zhuǎn)速和電流雙閉環(huán)控制，電流環(huán)的控制采用常規(guī)的PI 控制，控制框圖如圖4所示，其中控制器1 為跟蹤誤差控制器，控制器2、3為同步誤差控制器。

圖4 單臺電機(jī)的控制框圖

4 臺電機(jī)都不帶負(fù)載，跟蹤誤差控制器1 和同步誤差控制器2、3 都采用非線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制時穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)誤差如圖5 中的A 線所示;當(dāng)控制器1、2、3 都采用線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制時穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)誤差如圖5 中的B 線所示;當(dāng)控制器1、2、3 都采用PID 控制時穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)誤差如圖5 中的C 線所示。

圖5 穩(wěn)定時各種轉(zhuǎn)速同步控制方法的穩(wěn)態(tài)誤差比較

從圖5 可以看出，在不帶負(fù)載的情況下采用基于非線性滑模面的滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制精度最高。PID 控制的控制精度最差。

在0.03 s 時四臺電機(jī)的參考轉(zhuǎn)速由原來的650 r/min 變?yōu)?00 r/min。在0.05 s 時對電機(jī)2 加入負(fù)載1.5 N·m 作為外部干擾，采用三種控制方法的仿真結(jié)果如圖6 所示。

從圖6 可以看出，非線性滑模變結(jié)構(gòu)控制在改變負(fù)載后同步精度最高，抖振最弱。把圖6 中非線性滑模變結(jié)構(gòu)控制和PID 控制的0.05 ～0.058 s 放大，如圖7 所示。

圖6 三種控制方法在改變轉(zhuǎn)速和負(fù)載的情況下仿真結(jié)果

圖7 帶負(fù)載時PID 控制和非線性滑模面滑模變結(jié)構(gòu)控制轉(zhuǎn)速同步穩(wěn)態(tài)比較

電機(jī)2 的負(fù)載改變時，根據(jù)圖1 可以看出，電機(jī)1 和電機(jī)3 的所處狀態(tài)相同，所以在圖7 中電機(jī)1和電機(jī)3 的轉(zhuǎn)速線完全重合。在圖7 中可以看出，在采用基于非線性滑模面的滑模變結(jié)構(gòu)同步控制時在0.05 ～0.054 s 中四臺電機(jī)的速度相差最小，并且在0.054 s 后依然是基于非線性滑模面的滑模變結(jié)構(gòu)同步控制的同步性能最好。

6 結(jié) 語

通過分析和仿真得出滑模變結(jié)構(gòu)控制的滑模面為非線性時，采用飽和函數(shù)在削弱抖振的同時能夠較好地保證同步控制精度，這就解決了線性滑模面和飽和函數(shù)結(jié)合時保證控制精度和減弱抖振之間的矛盾。通過基于相鄰交叉耦合環(huán)形系統(tǒng)對四臺電機(jī)同步控制的仿真，以及和線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制、PID 控制的比較得出，非線性滑模面變結(jié)構(gòu)控制的同步精度最高、抖振最弱，且控制的魯棒性能最強(qiáng)。

［1］ 劉福才，張學(xué)蓮，劉立偉.多級電機(jī)傳動系統(tǒng)同步控制理論與應(yīng)用研究［J］.控制工程，2002，9(4):87－90.

［2］ 崔皆凡，邢豐，趙楠，等.基于模糊控制器的改進(jìn)耦合多電機(jī)同步控制［J］.微電機(jī)，2011，44(3):75－77.

［3］ 劉然，孫建忠，羅亞琴，等.基于環(huán)形耦合策略的多電機(jī)同步控制研究［J］.控制與決策，2011，26(6):957－960.

［4］ FRANCISCO J，MEMBER P P.Improvement of the electronic line－shafting［C］//IEEE 35th Annual of Power Electronics Specialists Conference，2004:3260－3265.

［5］ 曹春平，王波，胥小勇，等.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多電機(jī)偏差耦合同步控制研究［J］.控制工程，2013，20(3):415－418.

［6］ 曹玲芝，李春文，牛超，等.基于相鄰交叉耦合的多感應(yīng)電機(jī)滑模同步控制［J］.電機(jī)與控制學(xué)報，2008，12(5):586－592.

［7］ 李俊麗，何勇，王生澤. 單神經(jīng)元PID 在多電機(jī)同步控制中的應(yīng)用［J］.機(jī)電工程，2010，27(8):14－18.

［8］ 彭繼慎，韓彥春.基于模糊PI 雙?？刂频挠来磐诫姍C(jī)控制系統(tǒng)［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2008(23):177－180.

［9］ 方斯琛，周波，黃佳佳，等. 滑?？刂朴来磐诫姍C(jī)調(diào)速系統(tǒng)［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2008，23(8):29－35.

［10］ CHEN M S，HWANG Y R，TOMIZUKA M. A state－dependent boundary layer design for sliding mode control［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(10):1677－1681.