Banach 空間無界線性算子的近似逆

杜 娟，翁云華

(成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，成都 610059)

近似逆基本方法和統(tǒng)一的方式拓展為可以公式的正則化條件。給出一個具體問題和柔化韓函數(shù)，這些條件可以使近似逆的運(yùn)算提前獲得重建內(nèi)核更加明確清晰，在當(dāng)前的工作中，近似逆方法適用于無界算子和Banach 空間之間提供相應(yīng)擴(kuò)展的特色重建，此外，這個概念延伸到在進(jìn)入數(shù)字化模型之前通過預(yù)處理，運(yùn)用實(shí)際測量數(shù)據(jù)的場景中，這種結(jié)構(gòu)覆蓋了想離散測量的插值法或則被給數(shù)據(jù)的微分這樣的操作，包括把重建內(nèi)核，整體演算法的穩(wěn)定性，可以實(shí)現(xiàn)這些步驟，近似逆的方法是成功適應(yīng)各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的反問題的非迭代正則化方案。例如古典的L2空間是派生和擴(kuò)張長生的空間，此外通常朝特征重建和Banach 空間是被推薦，從電磁散射之下的經(jīng)典X 射線斷層掃描到生態(tài)系統(tǒng)下種族人口之間的浮動的這種技術(shù)覆蓋了程序。

1 前言和符號

W 和X 是Banach 空間上的開集Ω Rd上的一組函數(shù)，Y 和Z 是擴(kuò)張的Banach 空間;f ∈X，f' ∈X' ，寫成對偶的形式為f'(f)= ＜f，f' ＞X×X'，其中＜，＞X×X'在參數(shù)和內(nèi)積的性質(zhì)上是線性的，因此用內(nèi)積符號來表示。

定義1［2］設(shè)A ∈L(x)，若A 把X 中每一個有界集都變成列緊集，(即對于有界的{xn}X，{Axn}恒有收斂的子序列)則稱A 為緊算子。

線性算子A:X D(A)→Y

2 光滑化算子

定義4［5］以下兩個條件成立時，()x∈Ω，γ＞0 ＜X，對于X 被稱為光滑化算子或者一個X－光滑算子。

(a)對于 f ∈X 和 γ ＞0 ，通過X 中的元素(1)定義函數(shù)fγ。

(b)函數(shù)fγ近似于f，即‖f－fγ‖x→0 ，當(dāng)γ →0 。

假設(shè)空間X 是連續(xù)函數(shù)在Ω 上的一個子集，我們可以認(rèn)為δγx 作為近似的狄克拉古分布δx在點(diǎn)X，對于這種情形我們可以用屬于X' 中的點(diǎn)X 估計(jì)δx。

是一個柔化函數(shù)，對于X = Lp(Rd)。

設(shè)h = δγ= γ－dη(γ－1)和q = p'(r = ∞)是逐點(diǎn)估計(jì)

當(dāng)q = 1(r = p)時，有

通過證明，定義3 中的條件(a)成立。

3 重建核函數(shù)

為了計(jì)算近似值fγ，f ∈D(A)滿足等式Af = g，弱化函數(shù)在對偶對(1)中的第二個說明中呈現(xiàn)出A'的范圍，重建核函數(shù)ψγx 的作用，即對偶方程的解

上式表明收索近似值fγ可以通過過濾運(yùn)用再重建核函數(shù)ψγx 的數(shù)據(jù)y 來計(jì)算，這個重要的性質(zhì)得到了算子近似解的定義。

定義5 (Aγ)γ＞0是線性算子系，通過以下定義

對于g ∈Y 是A 的近似逆，對于柔化函數(shù)δγx 為了計(jì)算出Lf的近似值，相同的步驟用在古典的近似逆方法中。

L:X D(L)→W 是定義的緊的線性算子，(Lf)γ(x)= ＜Lf，＞W(wǎng)×W'，f ∈D(L)。

定義6［7］(AL，γ)γ＞0族系是一個線性算子，

g ∈L 是預(yù)數(shù)據(jù)處理的近似逆。(DFAI)A 關(guān)于光滑算子δγ

x 連續(xù)。很明顯，古典的方法和(DFAI)作為特殊情況，更精確來說FAI 方法結(jié)果來自假定Y = L 和B= idy，但是DAI 的變形可以得到W = X 和L =idy，類似得定理在下面部分也得到有效利用。

4 不變性和正則化

為了克服選擇法和擬解發(fā)在實(shí)際應(yīng)用中所受到的局限。Tikhonov 于1963 年在工作中提出了求解不適定問題的正則化方法(regulurization method)。這一方法為處理反問題奠定了堅(jiān)實(shí)而廣泛的理論基礎(chǔ);后來的許多發(fā)展與推廣蓋源于此。關(guān)于Tikhonov 正則化方法，現(xiàn)在可由許多途徑得到。

定義7 若映U 到F 的算子R(U，δ)具有下述性質(zhì)，則稱它是方程AZ = U 在U = UT 的δ 領(lǐng)域中的正則算子:

(1)存在δ1＞0 ，使得R(U，δ)當(dāng)0 ≤δ ≤δ1對所有滿足條件U(uδ，uT)≤δ 的uδ∈U 都有定義。

(2)ε ＞0，-0 ≤δ0:δ0(ε，uT)≤δ1，使得ρu(uδ，uT)≤δ ≤δ0蘊(yùn)含ρF(Zδ，ZT)≤ε，其中Zδ= R(uδ，δ)。

注意:在此定義中并未假定算子R(uδ，δ)是單值的，用Zδ便是集合 { R(u，δ)} 中的任一元素。

定義8 稱一個有度量空間U 到度量空間F，且依賴于參數(shù)α ＞0 的算子，R(u，α)為方程Az =U，z ∈F，u ∈U，在u = UT 的領(lǐng)域內(nèi)的正則算子。假如它滿足下述兩個條件。

(1)存在δ1＞0，使算子R(u，α)對于所有的α ＞0 和滿足條件ρU(u，uδ)≤δ ≤δ1的任意的u ∈U 都有定義;

(2)存在這樣的δ 的函數(shù)α = α(δ)對于任給的ε ＞ 0，存在δ(ε)≤δ1，若ρU(uδ，uT)≤δ(ε)(uδ ∈u)便有ρF(zα，zT)≤ε，其中zα =k(uδ，α(δ))。

按照以下定義，若ρU(uδ，uT)≤δ，則可取zα= R(Uα，α)作為具有近似右端項(xiàng)Uδ的方程Az =Uδ 的近似解式中的α = α(δ)與原始數(shù)據(jù)uδ 及其誤差δ 有關(guān)，稱這個解為方程Az = u 的正則解，α為正則參數(shù)，我們稱用正則算子得到近似解的方法為正則化方法。

定義9 (正則化)S:L D(S)→W 是一個線性算子，g ∈D(S)和(gε)ε＞0＜L 是一個序列滿足‖g－gε‖L≤ε。(Uγ)γ是Uγ的一個族系，Uγ:L →W。

規(guī)定參數(shù)γ = γ(ε，gε)是S 的一個正則化，假設(shè)(8)式成立。

例子W = X，Z = Y 近似Aγ到算子A－1:Y D(A－1)→X 尋找D(A－1)= R(A)條件(8)滿足函數(shù)fε= Aγ(ε，gε)gε收斂到f = A－1g 對于ε →0 。

定理3［8］:L →W 包含一個有界算子系，滿足

加入?yún)?shù)滿足定義8 即ε →0 ，條件

這時AL，γB是LA－1B 的正則化。

證明:利用三角不等式，近似的誤差對于Uγ=和S = LA－1B 可以寫成:

通過對DFAI 算子的結(jié)構(gòu)對于g ∈D(S)，Uγ(ε)g = (Sg)γ(ε)成立。

因?yàn)棣?ε)→0 根據(jù)條件(10)，對于ε →0時，‖uγ(ε)－ Sg‖W→0 因?yàn)楦鶕?jù)光滑近似的性質(zhì)得到。

5 結(jié)論

對于一個無界算子的反問題可以理解為部分微分，盡管結(jié)構(gòu)簡單，但適用于闡明正在修正的理論結(jié)果。對于給出的近似逆的算子的算法和重建內(nèi)核以及分析的公式，綜合的數(shù)據(jù)值研究表明，這個理論上推導(dǎo)出的各種變形的近似逆方法的正則化屬性概括了主要內(nèi)容。

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