顧及非線(xiàn)性地形因子的地表面積計(jì)算

薛樹(shù)強(qiáng)，黨亞民，秘金鐘，劉紀(jì)平，董 春，吳 波，王世進(jìn)

1.中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京100830；2.長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安710054

1 引 言

地理國(guó)情監(jiān)測(cè)是新時(shí)期空間信息科學(xué)的重要使命［1］，是地理信息更深層次的應(yīng)用。地理國(guó)情包括3種信息：感知信息、統(tǒng)計(jì)信息和分析信息。許多國(guó)家和組織都開(kāi)展了地理國(guó)情監(jiān)測(cè)方面的項(xiàng)目或工程，以便更好地服務(wù)于本國(guó)或地區(qū)的資源、環(huán)境、能源、社會(huì)等領(lǐng)域［2－4］。

數(shù)字高程模型（digital elevation model，DEM）是表示地面高程的一種實(shí)體地面模型［5］，在測(cè)繪、水文、氣象、地貌、地質(zhì)等科學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。地表高斯投影面積、橢球面積和地表面積是3類(lèi)常用統(tǒng)計(jì)量［6－7］。文獻(xiàn)［8］討論了高斯投影中央子午線(xiàn)變化和投影面高程變化引起的面積變形，以及橢球面面積與高斯面上面積的差異。地球旋轉(zhuǎn)橢球和地球三軸橢球是兩種常用的地球形狀簡(jiǎn)化模型。已有文獻(xiàn)討論多邊形區(qū)域的旋轉(zhuǎn)橢球或三軸橢球面積計(jì)算的嚴(yán)密公式［3，9－10］。在許多應(yīng)用中，地表面積比投影面積或橢球面積更具有參考價(jià)值［11－12］。構(gòu)造地表三角網(wǎng)并建立地表面積柵格數(shù)據(jù)是地表面積統(tǒng)計(jì)的常用方法［11］。

對(duì)于相同的投影面積，地表面積會(huì)因地形因子不同而異。利用DEM提取地形因子可分為數(shù)值分析方法和局部曲面擬合方法［14－16，30］。坡度和坡向的常用數(shù)值分析方法主要包括簡(jiǎn)單差分、二階差分、三階差分、Frame算法等［28］。應(yīng)用表明，三階不帶權(quán)差分算法具有較高精度［28］；局部曲面擬合方法則通過(guò)最小二乘曲面擬合再進(jìn)行求導(dǎo)獲取地形的坡度和坡向等信息［30］?；跀?shù)值積分的復(fù)化公式法則需要高分辨率的微觀地形因子數(shù)據(jù)［13］。文獻(xiàn)［17］基于二維小波的多分辨分析理論，提出并證明了不同分辨率下地面坡度的面積與復(fù)雜地貌形態(tài)復(fù)雜度及尺度之間的變化關(guān)系。對(duì)于具有特定分辨率的DEM數(shù)據(jù)，提高地形因子計(jì)算精度需根據(jù)地形起伏情況設(shè)計(jì)合適的窗口，最大限度消除隨機(jī)觀測(cè)誤差的影響。利用準(zhǔn)確的地形因子及其變化率信息構(gòu)造地表三角網(wǎng)可提高地表面積的統(tǒng)計(jì)精度。

本文研究地表面積的理論面積及其近似方法，討論影響地表面積統(tǒng)計(jì)精度的主要因素，提出了一種顧及任意地形因子的地表面積統(tǒng)計(jì)方法。該方法首先利用泰勒級(jí)數(shù)逼近原理對(duì)地形因子進(jìn)行最小二乘估計(jì)，然后利用這些地形因子對(duì)DEM進(jìn)行加密，最后利用加密后的DEM構(gòu)建地表三角網(wǎng)統(tǒng)計(jì)地表面積。試驗(yàn)表明，在局部地形因子顯著的山區(qū)或丘陵地區(qū)，不同分辨率下地表面積統(tǒng)計(jì)結(jié)果存在較大的差異，而利用本文提出的顧及地形局部地形因子的地表面積統(tǒng)計(jì)方法可明顯提高低分辨率DEM地表面積統(tǒng)計(jì)精度。

2 地表面積統(tǒng)計(jì)原理與精度分析

2.1 地表的理論面積及其近似

數(shù)字高程模型是一種采用二維高斯投影坐標(biāo)附加正（常）高實(shí)現(xiàn)的一種三維空間地理信息，是反映離散地表曲面模型。如圖1所示，對(duì)于地表封閉區(qū)域Ω，設(shè)投影區(qū)域ΩG的邊界線(xiàn)為A1、A2、…、Ap。由于（似）大地水準(zhǔn)面和參考橢球面均為曲面參考基準(zhǔn)，且高斯投影變換存在面積變形，當(dāng)利用DEM數(shù)據(jù)計(jì)算地表面積時(shí)，可將DEM據(jù)中恢復(fù)為地形表面的三維空間模型［23－24］。

圖1 投影DEM格網(wǎng)劃分Fig.1 Projection DEM grid division

對(duì)于在地固地心坐標(biāo)系中給出的地表曲面（X，Y，Z），其尺度來(lái)自于地心坐標(biāo)系基準(zhǔn)的定義。將地表曲面（X，Y，Z）表示為函數(shù)式Z＝f（X，Y），并設(shè)其為分段光滑曲面，地表區(qū)域Ω在XOY平面上的投影為ΩO，則地表區(qū)域Ω的面積由以下曲面積分給出［13，22］

式中，fX、fY為曲面函數(shù)Z＝f（X，Y）的一階偏導(dǎo)數(shù)。如圖1所示，對(duì)于給定的高斯投影邊界區(qū)域ΩG，則分別率為g的DEM格網(wǎng)對(duì)ΩG的劃分為

式中，UG，i和ΦG，i分別為完整單元格和破碎單元格。

基于高斯投影劃分式（2），地表區(qū)域Ω的面積可由表示為

式中

表示高斯投影區(qū)域UG，i和ΦG，i映射為地表區(qū)域（由坐標(biāo)變換公式和基準(zhǔn)定義給出）。若子區(qū)域內(nèi)地表為平面或起伏不大，則式（4）中子區(qū)域的面積可近似為

式中，T（UO，i）和T（ΦO，j）分別為子區(qū)域Ui和Φj在XOY平面上的投影面積，fX、fY在相應(yīng)子區(qū)域內(nèi)的一階偏導(dǎo)數(shù)?？梢?jiàn)，利用式（1）計(jì)算地形表面積需要地形表面的嚴(yán)格曲面方程，而利用式（4）近似地表面積則需要高分辨率DEM數(shù)據(jù)。

2.2 局部地形因子對(duì)地表面積計(jì)算的影響

以高斯投影子區(qū)域UG，i邊界上的任意DEM格網(wǎng)點(diǎn)（xG，0，yG，0）按高斯投影逆變換映射至橢球面的o點(diǎn)，并將該映射點(diǎn)o為原點(diǎn)在橢球面上建立地平空間直角坐標(biāo)系o－xyH，則在o－xyH系下，地表曲面方程為

式中

式中，x、y為高斯投影坐標(biāo)。顧及大地高和正（常）高的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得

式中，h（x，y）為正常高或正高；ζ（x，y）為高程異常或大地水準(zhǔn)面差距；ki為高斯投影長(zhǎng)度變形比。在空間直角坐標(biāo)系o－xyH下，類(lèi)似于式（3），地表區(qū)域Ui的地表面積為

式中，積分區(qū)域UE，i為地表區(qū)域Ui在地平面上的投影區(qū)域。

式 中，α∈ ［0，1］

對(duì)于邊長(zhǎng)為kig的高斯投影正方形區(qū)域UG，i，結(jié)合式（3）和式（13），其表面積為

式（17）第1項(xiàng)為顧及地形函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的地表區(qū)域Ui的近似面積，第2項(xiàng)為地形函數(shù)H＝f（x，y）二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)地表面積計(jì)算的影響，即利用線(xiàn)性地形因子（如坡度或地表函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)）計(jì)算地表面積的截?cái)嗾`差。由第2項(xiàng)可知，當(dāng)且僅當(dāng)DEM分辨率足夠高，即g足夠小，或者足夠小，即地表函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)足夠小時(shí)，利用式（4）計(jì)算地表面積才是嚴(yán)格的。為此，本文將地表曲面在地平坐標(biāo)系下的各偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為局部地形因子，以便討論和揭示地形起伏對(duì)地表面積統(tǒng)計(jì)的影響。

3 局部地形因子的最小二乘估計(jì)

對(duì)于給定的DEM數(shù)據(jù)，提高地表面積統(tǒng)計(jì)精度需提取DEM數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的局部地形因子。由式（11）可得以下微分關(guān)系

式中，Hx、Hy，Hxx、Hyy、Hxy分別為函數(shù)式（9）的一階、二階。在小區(qū)域內(nèi)，ζx和ζy的幾何意義為大地水準(zhǔn)面相對(duì)于橢球面的夾角正切值。

由式（18）可知，曲面（x，y，H）的偏導(dǎo)數(shù)信息可由DEM 曲面（xG，yG，h）的偏導(dǎo)數(shù)間接計(jì)算。局部地形因子空間函數(shù)近似服從Tobler定理，即距離較近的點(diǎn)比距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)其特征值具有更大的相似性［21，25］。使用窗口大小為N×N實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)建觀測(cè)方程，利用最小二乘原理計(jì)算窗口中心DEM格網(wǎng)點(diǎn)處的各階偏導(dǎo)數(shù)。下面基于DEM 數(shù)據(jù)討論地形函數(shù)h＝h（x）（x：＝［xGyG］∈R2為高斯投影坐標(biāo)）在已知點(diǎn)處的各階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。在已知DEM點(diǎn)xi處，利用窗口內(nèi)的其他已知點(diǎn)可構(gòu)造以下觀測(cè)方程［26］

式中，j＝1，2，…，n，j≠i，Δxj：＝ ［Δxj，Δyj］＝xj－xi，xj為已知DEM點(diǎn)xi處的鄰近已知點(diǎn)；rk（Δxj）為泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)殘余項(xiàng)，n＝N×（N－1）為窗口內(nèi)可構(gòu)造的虛擬觀測(cè)方程數(shù)目，k為泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的階數(shù)。將方程（19）簡(jiǎn)記為

式中

類(lèi)似的，可繼續(xù)寫(xiě)出h（x）在xi處的高階偏導(dǎo)數(shù)。將方程（20）中的殘余項(xiàng)r視為隨機(jī)誤差，則該問(wèn)題的最小二乘解為

采用局部地形因子信號(hào)的最小二乘估計(jì)，可平滑DEM量測(cè)誤差，提高局部地形因子信號(hào)估值的精度和可靠性。當(dāng)N＝3，方程（20）存在8個(gè)方程，即n＝8。若令k＝1，即僅估計(jì)式（28）給出的兩個(gè)地形參數(shù)，此時(shí)

則由式（31）可得

式（33）即為坡度坡向計(jì)算數(shù)學(xué)模型之三階不帶權(quán)差分公式［28］。事實(shí)上，若對(duì)虛擬觀測(cè)量Δyi賦予適當(dāng)權(quán)重，則可導(dǎo)出其他配權(quán)坡度坡向計(jì)算數(shù)學(xué)模型，如使用反距離配權(quán)模型。值得注意的是，文獻(xiàn)［28］在坡度坡向算法精度分析中指出，在實(shí)際生產(chǎn)中，因DEM誤差占主導(dǎo)因素，三階不帶權(quán)差分算法精度最高，推薦使用三階不帶權(quán)差分坡度計(jì)算模型。文獻(xiàn)［26］指出：若平差模型式（20）僅估計(jì)空間函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，將空間函數(shù)非線(xiàn)性信號(hào)的高階偏導(dǎo)數(shù)信息歸為平差隨機(jī)模型是有條件的。

4 DEM加密與地表面積統(tǒng)計(jì)

當(dāng)DEM分辨率不夠高或地表非線(xiàn)性起伏顯著時(shí)，可利用地表函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)信息提高地表面積統(tǒng)計(jì)精度。如前所述，利用式（4）計(jì)算地表面積則需要地表離散數(shù)據(jù)，且DEM數(shù)據(jù)的分辨率越高，式（4）近似地表理論面積的精度越高。下面給出利用式（31）所得地表函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)估值對(duì)DEM進(jìn)行加密方法，在通過(guò)提高DEM分辨率和地面三角網(wǎng)的分辨率，進(jìn)而提高地表面積統(tǒng)計(jì)精度。

地表區(qū)域邊界一般由高斯投影坐標(biāo)給出，且區(qū)域邊界的頂點(diǎn)一般為非整數(shù)格網(wǎng)點(diǎn)，需要推估這些多邊形邊界區(qū)域的高程。當(dāng)利用低分辨率DEM數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)地表面積時(shí)，可利用局部地形因子對(duì)DEM進(jìn)行加密，以提高地表面積統(tǒng)計(jì)的精度。設(shè)距離待估點(diǎn)x處最近的整數(shù)格網(wǎng)點(diǎn)為xi，顧及整數(shù)格網(wǎng)點(diǎn)xi處的各階偏導(dǎo)數(shù)，則待估點(diǎn)x的高程推估模型可表示為

式中，各階偏導(dǎo)數(shù)由式（31）給出。

當(dāng)整數(shù)格網(wǎng)點(diǎn)xi處的各階偏導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，則式（34）給出的高程推估退化為鄰近點(diǎn)插值法。式（34）是一種顧及局部地形因子的鄰近點(diǎn)高程插值法，因其使用一個(gè)已知點(diǎn)進(jìn)行高程推估，可將該模型稱(chēng)為單點(diǎn)推估模型?；诳臻g函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的多點(diǎn)推估方法可參考文獻(xiàn)［26］。

如圖1所示，根據(jù)加密DEM數(shù)據(jù)的分辨率，依次計(jì)算統(tǒng)計(jì)封閉多邊形區(qū)域邊界與整數(shù)格網(wǎng)的交點(diǎn)，并利用式（34）計(jì)算這些交點(diǎn)的高程值。對(duì)封閉多邊形邊界點(diǎn)和區(qū)域內(nèi)單元格網(wǎng)按DEM等間距格網(wǎng)線(xiàn)逐行逐列構(gòu)建地表規(guī)則三角網(wǎng)（保證每個(gè)三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)互差均小于等于1倍的整數(shù)格網(wǎng)間距）。地表三角網(wǎng)構(gòu)造方法并不唯一，地表不規(guī)則三角網(wǎng)構(gòu)建方法可參考文獻(xiàn)［27］。將地表三角網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為大地空間直角坐標(biāo)后，累加地表三角網(wǎng)中三角形的面積，可得地表面積的三角網(wǎng)近似為

式中，Ti為第i個(gè)地表三角形的面積。

5 算 例

5.1 算例1：DEM分辨率對(duì)地表面積統(tǒng)計(jì)精度的

為驗(yàn)證DEM分辨率對(duì)地表面積統(tǒng)計(jì)精度的影響，在5m分辨率實(shí)測(cè)DEM數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，提取了25m分辨率DEM數(shù)據(jù)，使用這兩種分辨率DEM構(gòu)造地表三角網(wǎng)計(jì)算地表面積。四川茂縣東興鄉(xiāng)（山區(qū)）和山東東營(yíng)六戶(hù)鎮(zhèn)（平原地區(qū)）的地表面積計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于山區(qū)，地表面積和橢球面積之間的差異明顯，不同DEM分辨率計(jì)算地表面積結(jié)果差異也較大，例如，利用5m分辨率DEM計(jì)算四川茂縣東興鄉(xiāng)地表面積比利用25m分辨率DEM計(jì)算所得表面大9.93%。在平原地區(qū)，地表面積和橢球面積相差不大，不同DEM分辨率統(tǒng)計(jì)所得地表面積差異也較小，例如，不同DEM統(tǒng)計(jì)山東東營(yíng)六戶(hù)鎮(zhèn)地表面積差異僅為0.236%。

5.2 算例2：實(shí)測(cè)DEM與內(nèi)插DEM統(tǒng)計(jì)地表面積精度對(duì)比

DEM分辨率和地形起伏程度共同決定了地表三角網(wǎng)的地表面積統(tǒng)計(jì)精度。為驗(yàn)證本文的方法，采用式（31）提取區(qū)域地形因子，并采用式（34）將實(shí)測(cè)25m分辨率DEM內(nèi)插為5m分辨率DEM后，構(gòu)建地表三角網(wǎng)并統(tǒng)計(jì)地表面積，即按式（35）計(jì)算地表面積。本算例采用以下7種方案（表1）。

以實(shí)測(cè)5m分辨率DEM計(jì)算所得地表面積為參考，評(píng)價(jià)內(nèi)插5m分辨率DEM對(duì)地表面積統(tǒng)計(jì)的精度。結(jié)果表明，在地形起伏較大的茂縣，上述7種DEM加密方案中，當(dāng)考慮地表函數(shù)的二階或三階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，地表面積統(tǒng)計(jì)精度最高，其25m內(nèi)插5m計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)5mDEM統(tǒng)計(jì)結(jié)果相差僅為0.5%，相比于9.93%，地表面積計(jì)算精度提高顯著。然而，若僅提取線(xiàn)性地形因子，采用三階差分算法具有最高的地表面積統(tǒng)計(jì)精度，而簡(jiǎn)單差分算法精度最低（其差異高達(dá)39.48%），二階差分算法次之，這與文獻(xiàn)［28］討論坡度信息提取算法時(shí)的結(jié)論一致。而在局部地形起伏較小的平原，各種方法對(duì)地表面積統(tǒng)計(jì)結(jié)果均有改進(jìn)，其中基于簡(jiǎn)單差分算法提取地形因子對(duì)地表面積幾乎沒(méi)有改進(jìn)，而基于三階差分算法提取地形因子對(duì)地表面積的改進(jìn)最為顯著?？梢?jiàn)，地形因子的提取精度及其分辨率是最終決定地表面積計(jì)算精度的兩個(gè)重要因素。對(duì)于特定分辨率的DEM，將本文給出的公式（31）作為局部地形因子的統(tǒng)一計(jì)算模型，對(duì)于山區(qū)或丘陵地帶，可采用相對(duì)大的窗口提取非線(xiàn)性地形因（如二階偏導(dǎo)數(shù)），而對(duì)于平原地區(qū)，可直接小窗口使用三階差分算法僅提取線(xiàn)性地形因子。

表1 顧及地形非線(xiàn)性起伏統(tǒng)計(jì)地表面積Tab.1 Surface area Computation with regard to the nonlinear terrain factors

6 結(jié) 論

地表理論面積計(jì)算由地表曲面積分給出，其計(jì)算需要附加地表曲面函數(shù)假設(shè)。在實(shí)踐中，可利用基于局部地形因子的最小二乘估計(jì)，對(duì)地表曲面進(jìn)行剖分和面積近似。影響地形表面區(qū)域面積計(jì)算精度的因素由局部地形因子、DEM精度和分辨率。當(dāng)僅利用坡度信息計(jì)算地表面積時(shí)，其截?cái)嗾`差與DEM分辨率的三次方成正比，而與地表空間函數(shù)的二次階偏導(dǎo)數(shù)成正比。在實(shí)際應(yīng)用中，可利用DEM格網(wǎng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)出地形因子的實(shí)用計(jì)算公式，避免復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算。利用DEM提取所得地形因子有望提高地表面積的統(tǒng)計(jì)精度。當(dāng)僅考慮地形線(xiàn)性地形因子時(shí)，本文建議采用三階差分算法提取地形因子。在地形起伏顯著的地區(qū)，窗口不應(yīng)小于5×5，地形參數(shù)不應(yīng)少于5個(gè)，即應(yīng)考慮坡度變率對(duì)地表面積計(jì)算的影響。鑒于我國(guó)5m分辨率DEM覆蓋率不足50%，建議采用非線(xiàn)性插值對(duì)低分辨率DEM數(shù)據(jù)進(jìn)行加密或根據(jù)需要重新采集生產(chǎn)高分辨率DEM數(shù)據(jù)，以提高地表面積統(tǒng)計(jì)精度。

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