重力輔助導(dǎo)航高斯插值精化算法

文超斌，王躍鋼，郭志斌，田 琦，左朝陽(yáng)，蔣新磊

1.第二炮兵工程大學(xué)，陜西 西安710025；2.中國(guó)人民解放軍96124部隊(duì)，吉林 通化134000

1 引 言

現(xiàn)有海洋重力異常場(chǎng)分辨率已經(jīng)達(dá)到2′×2′，進(jìn)一步插值精細(xì)化處理可達(dá)1′×1′，海洋重力儀的測(cè)量精度達(dá)到1mGal（1Gal＝10－2m／s2），這給高精度的重力輔助導(dǎo)航提供了可能性［1－4］。自主水下航行器重力輔助慣性導(dǎo)航作為一種利用地球重力場(chǎng)特征信息結(jié)合匹配算法對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)位置信息進(jìn)行初次估計(jì)，而后采用導(dǎo)航數(shù)學(xué)模型方程結(jié)合一定的濾波算法對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)位置信息進(jìn)行進(jìn)一步精化修正的新技術(shù)，近年來(lái)無(wú)論是理論還是實(shí)踐應(yīng)用都得到了快速的發(fā)展。目前關(guān)于重力匹配算法的文獻(xiàn)較多，研究也比較透徹，按照匹配算法設(shè)計(jì)原理可分為序列相關(guān)匹配方法和遞推濾波方法兩種，序列相關(guān)匹配方法主要分為最近等值線迭代算法（ICCP）和相關(guān)極值分析算法兩大類(lèi)［5－11］。文獻(xiàn)［7］給出了一種基于平均平方差最小準(zhǔn)則構(gòu)造差分降權(quán)相關(guān)目標(biāo)函數(shù)模型的相關(guān)極值分析算法，有效修正了重力輔助導(dǎo)航的誤差。文獻(xiàn)［9］在0.2′×0.2′重力輔助異常數(shù)據(jù)庫(kù)的基礎(chǔ)上，提出將匹配位置誤差作為觀測(cè)量，用卡爾曼濾波對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的最近等值線迭代算法（ICCP）匹配算法。重力異常圖一般是以規(guī)則格網(wǎng)形式預(yù)先存儲(chǔ)在匹配計(jì)算機(jī)中，如何獲取高精度、高分辨率的重力異常圖是進(jìn)行準(zhǔn)確匹配的關(guān)鍵所在。高斯樣條函數(shù)具有局部支撐的良好特性，用其作為樣條基函數(shù)對(duì)計(jì)算區(qū)域重力異常進(jìn)行二維整體逼近，能在保證重力異常局部特性不失真的前提下獲取計(jì)算區(qū)域重力異常的統(tǒng)一解析式等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)［12］給出了一種基于快速傅里葉技術(shù)建立連續(xù)局部重力場(chǎng)的重力輔助導(dǎo)航算法，定位誤差小于350m。文獻(xiàn)［13］提出了一種基于斐波那契數(shù)列利用二維高斯樣條函數(shù)逼近局部重力異常場(chǎng)的方法，得到高精度逼近局部離散格網(wǎng)數(shù)據(jù)的局部重力異常場(chǎng)連續(xù)解析模型，連續(xù)解析模型逼近絕對(duì)誤差均值達(dá)到0.000 69mGal。文獻(xiàn)［15］給出了一種基于余弦變換的Parker正演重力梯度方法。

自主水下航行器慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中加速度計(jì)無(wú)法區(qū)分運(yùn)動(dòng)加速度和重力加速度，需要通過(guò)其他手段將比力中的重力加速度扣除，稱為重力補(bǔ)償。如文獻(xiàn)［5，8—10，12］所述，目前傳統(tǒng)自主水下航行器重力輔助導(dǎo)航系統(tǒng)模型的構(gòu)建過(guò)程中，認(rèn)為比力中的重力加速度為標(biāo)準(zhǔn)重力模型，未考慮重力異常擾動(dòng)矢量、標(biāo)準(zhǔn)重力模型誤差（標(biāo)準(zhǔn)重力模型誤差由測(cè)量位置維度誤差解算引起）和厄特弗斯修正計(jì)算值3類(lèi)誤差影響（本文所述的傳統(tǒng)模型就是指不考慮3類(lèi)誤差影響，認(rèn)為比力中的重力加速度為標(biāo)準(zhǔn)重力模型）。這些誤差都將引起導(dǎo)航誤差，在慣性元件精度不高的系統(tǒng)中，慣性元件帶來(lái)的系統(tǒng)誤差較大，相比之下，正常重力模型足夠精確，這些系統(tǒng)誤差可以忽略。但在精度要求較高的場(chǎng)合（重力輔助導(dǎo)航中陀螺儀零偏小于0.001deg／h，加速度計(jì)零偏小于0.01mg的情況下），尤其是隨著慣性元件精度的不斷提高，其帶來(lái)的系統(tǒng)誤差與上述3類(lèi)誤差帶來(lái)的系統(tǒng)誤差處在同一個(gè)量級(jí)，甚至前者可能低于后者，系統(tǒng)誤差不能被忽略，有必要采用精度更高的系統(tǒng)狀態(tài)方程模型對(duì)正常重力矢量進(jìn)行補(bǔ)償，應(yīng)在初次重力匹配算法計(jì)算經(jīng)緯度結(jié)果的基礎(chǔ)上，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)重力模型誤差、重力擾動(dòng)矢量和厄特弗斯修正計(jì)算值進(jìn)行補(bǔ)償，而后再進(jìn)行整個(gè)系統(tǒng)的導(dǎo)航濾波計(jì)算，目前并未有這方面的研究［15－20］。因此，本文基于二維高斯樣條局部重力異常場(chǎng)提出了一種考慮重力擾動(dòng)矢量、標(biāo)準(zhǔn)重力模型誤差、厄特弗斯修正計(jì)算值的精化自主水下航行器重力輔助導(dǎo)航模型構(gòu)建算法。

2 高斯基函數(shù)插值

高斯樣條基函數(shù)G（x）＝e（－x2／a2），a為局部支撐參數(shù)，設(shè)局部重力異常圖等分格網(wǎng)點(diǎn)為｛（xi，yj，zi，j）｜i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n｝，Δx、Δy為格網(wǎng)點(diǎn)分辨率。這樣符合上述x、y平面的二維高斯基函數(shù)可寫(xiě)成矩陣形式

式中，Lx＝［Gx（（x－x1）／Δx）Gx（（x－x2）／Δx…Gx（（x－xm）／Δx）］；Ly＝［Gy（（y－y1）／Δy）Gy（（y－y2）／Δy…Gx（（y－yn）／Δy）］；簡(jiǎn) 記為L(zhǎng)x＝Inte｛Gx（（x－xi）／Δx）｝，Ly＝Inte｛Gy（（y－yi）／Δy）｝

根據(jù)插值條件

將矩陣組合，則有如下線性方程成立

式中，Z＝（Zij）m×n；Zij＝L（xi，yi）；

可見(jiàn)，高斯基插值函數(shù)存在兩個(gè)重要參數(shù)需要確定：①插值系數(shù)矩陣λ；②局部支撐參數(shù)a。無(wú)論是一維高斯基函數(shù)還是二維高斯基函數(shù)，如果X、Y均為非奇異矩陣，則式（2）有唯一解，對(duì)X、Y矩陣求逆，解方程即得到插值系數(shù)矩陣λ，將插值系數(shù)矩陣λ代入式（1）便得到該局部重力異?；鶞?zhǔn)圖二維高斯基函數(shù)逼近解析式。研究證明，局部支撐參數(shù)a的取值對(duì)高斯基函數(shù)逼近效果影響很大，a過(guò)大或過(guò)小都將導(dǎo)致很大的逼近誤差。當(dāng)a過(guò)小時(shí)，由于局部支撐區(qū)間很小，使得插值曲線剛度小，容易出現(xiàn)鋸齒狀；當(dāng)a過(guò)大時(shí)，由于局部支撐區(qū)間很大，插值曲線剛度大，插值曲線過(guò)于平滑甚至使插值解析式在已知點(diǎn)的插值誤差很大，所以a太大或太小均會(huì)失去插值的意義。因此有必要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行尋優(yōu)，結(jié)合插值模型精度評(píng)估方法，解算參數(shù)a的最優(yōu)值。文獻(xiàn)［13］中的二維高斯函數(shù)插值局部尋優(yōu)方法對(duì)a進(jìn)行尋優(yōu)，建立局部連續(xù)重力場(chǎng)。

3 基于高斯插值的精化算法

3.1 速度誤差方程

取地理坐標(biāo)系n為導(dǎo)航坐標(biāo)系；b表示載體坐標(biāo)系；Cnb表示由載體坐標(biāo)系向?qū)Ш阶鴺?biāo)系轉(zhuǎn)換。假設(shè)姿態(tài)誤差角φ是小角度，在考慮因重力擾動(dòng)矢量、標(biāo)準(zhǔn)重力模型誤差和厄特弗斯修正計(jì)算值的情況下，重力輔助導(dǎo)航速度誤差方程的具體推導(dǎo)敘述如下：

在不考慮任何誤差的情況下，認(rèn)為根據(jù)導(dǎo)航儀表所示載體位置為），經(jīng)過(guò)重力匹配算法初次計(jì)算得到的實(shí)際位置為；根據(jù)比力方程，速度理想方程由下述方程（3）給出

考慮各種誤差的情況下，實(shí)際速度計(jì)算值應(yīng)由下述方程確定

［δKA］＝diag［δKAxδKAyδKAz］；φE、φN、φU為姿態(tài)誤差角；δKAi和δAi（i＝x，y，z）分別為加速度計(jì)的刻度系數(shù)誤差和安裝角誤差。

式（4）與式（3）相減，略去二階小量可得線性近似的捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差方程為

3.2 狀態(tài)方程

除速度誤差方程外，本文所提導(dǎo)航系統(tǒng)的其他誤差方程與其他文獻(xiàn)中的誤差方程相同［20－23］，定義SINS的狀態(tài)變量如下，Δ共15維狀態(tài)矢量XSINS＝［φTδvnTδpTεbTbT］T，其中，φT＝［φEφNφU］；δvnT＝ ［δvnEδvnNδvnU］；δpT＝［Lλh］分別為慣導(dǎo)系統(tǒng)姿態(tài)角、速度、位置誤差。將加速度計(jì)誤差模型近似為隨機(jī)常值零偏加白噪聲，陀螺誤差模型近似為隨機(jī)常值漂移加白噪聲，這樣陀螺儀漂移誤差εbT、加速度偏移誤差ΔbT方程見(jiàn)式（6）

于是可得到基于高斯插值的導(dǎo)航狀態(tài)方程

式 中， 系 統(tǒng) 噪 聲wSINS＝［wgxwgywgzwaxwaywaz］T為6維系統(tǒng)干擾白噪聲；系統(tǒng)噪聲分配矩陣為GSINS是15×6矩陣；狀態(tài)矩陣FSINS是15×15矩陣。

3.3 量測(cè)方程

本文系統(tǒng)量測(cè)值取重力儀量測(cè)重力與慣導(dǎo)指示位置對(duì)應(yīng)連續(xù)場(chǎng)重力圖重力之差。設(shè)定此時(shí)系統(tǒng)的量測(cè)方程Zg可由式（8）計(jì)算得出

式中，g0＝ ［0 0 978 049］T，單位為 mm／s2。

設(shè)導(dǎo)航儀表所示載體位置為（L＋ΔL，λ＋Δλ）；對(duì)應(yīng)的實(shí)際位置為（L，λ）（L＋ΔL，λ＋Δλ）為在重力圖上根據(jù)載體測(cè)量位置（L＋ΔL，λ＋Δλ）讀出的重力異常值；gs（L＋ΔL）為根據(jù)載體緯度測(cè)量位置信息L＋ΔL利用標(biāo)準(zhǔn)重力公式（9）計(jì)算得到的重力值（L，λ）為重力傳感器輸出的實(shí)際重力值；EC（L＋ΔL，λ＋Δλ）為利用式（10）計(jì)算得到的厄特弗斯修正計(jì)算值。

厄特弗斯修正計(jì)算值的計(jì)算公式為［1］

式中，vnE和vnN為載體的東向和北向速度；L為載體當(dāng)?shù)氐拇蟮鼐暥?；Ω?.292 115 67×10－5rad／s表示地球自轉(zhuǎn)角速率。

由于繪制成的重力圖值等于實(shí)際重力測(cè)量值經(jīng)過(guò)厄特弗斯修正而后減去標(biāo)準(zhǔn)重力值，所以對(duì)于實(shí)際位置點(diǎn)（L，λ），有［3］

式中，Vgravity為重力傳感器噪聲、重力異常圖制作噪聲和線性化誤差總和，在實(shí)際計(jì)算中，重力異常梯度可以采用9點(diǎn)擬合、全平面擬合等方法計(jì)算。

測(cè)量矩陣為

式中，Zgline為式（8）計(jì)算得到的重力測(cè)量誤差值；Hline為1×15維矩陣，在矩陣Hline中，Hline（1，4）；其余元素均為0。Vgravityline為重力傳感器的噪聲、重力異常圖制作噪聲和線形化誤差總和。

4 仿真試驗(yàn)與分析

本文采用第二炮兵工程大學(xué)慣性導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)室基于 Windows 2000操作系統(tǒng)、Matlab 7.0軟件自行開(kāi)發(fā)研制的慣性導(dǎo)航軌跡生成軟件，使用代碼為 real－trace和inertial navigation－trace 的 兩個(gè)函數(shù)調(diào)用相應(yīng)的子庫(kù)函數(shù)，仿真生成需要的真實(shí)航跡和慣導(dǎo)指示航跡［23］。而重力異常數(shù)據(jù)使用渤海地區(qū)經(jīng)度范圍118°E—119°E，緯度范圍37°N—38°N的真實(shí)數(shù)據(jù)，該重力異常場(chǎng)的三維圖如圖1所示。重力圖分辨率為1′×1′，重力儀的實(shí)時(shí)量測(cè)數(shù)據(jù)是利用真實(shí)航跡在重力數(shù)據(jù)庫(kù)中的采樣值疊加0.4mGal的隨機(jī)量測(cè)噪聲獲取，陀螺常值漂移取0.01°／h，隨機(jī)噪聲漂移為0.01°／h，加速度計(jì)隨機(jī)常值零偏1×10－4g，隨機(jī)噪聲漂移為1×10－5g。初始狀態(tài)：速度10m／s、經(jīng)度118.02°E、緯度37.24°N、慣導(dǎo)測(cè)量經(jīng)緯度誤差0.02°、對(duì)準(zhǔn)水平姿態(tài)誤差角2′、對(duì)準(zhǔn)航向誤差角10′。運(yùn)動(dòng)載體保持俯仰角和橫滾角10°、航向角30°的姿態(tài)，0.005m／s2加速度每隔10min加速一次，3min采樣匹配濾波一次，行進(jìn)了70min，得到24個(gè)測(cè)量點(diǎn)［23］。在捷聯(lián)慣導(dǎo)的情況下進(jìn)行仿真，對(duì)比分析了ICCP算法初次估計(jì)解算，局部連續(xù)場(chǎng)情況下（文獻(xiàn)［13］進(jìn)行高斯插值，最優(yōu)局部支撐參數(shù)abest＝1.535 7）傳統(tǒng)重力輔助導(dǎo)航模型（認(rèn)為比力中的重力加速度為標(biāo)準(zhǔn)重力模型值，未考慮重力異常擾動(dòng)矢量、標(biāo)準(zhǔn)重力模型值誤差和厄特弗斯修正計(jì)算值3類(lèi)誤差影響建立重力輔助導(dǎo)航系統(tǒng)模型）和本文的基于高斯插值的精化重力輔助導(dǎo)航模型構(gòu)建算法的效果（分別稱其為tradition－ICCP 和 Gauss－compensation－ICCP 算法，簡(jiǎn)記為T(mén)RAI和GACOI算法）。

圖1 重力異常場(chǎng)三維圖Fig.1 3Dmap of gravity anomaly field

圖2（a）—（c）分別為T(mén)RAI和GACOI算法導(dǎo)航經(jīng)、緯度位置誤差；航向、俯仰、橫滾姿態(tài)誤差角；東、北、天向速度誤差分布圖。如圖2所示；TRAI算法導(dǎo)航位置誤差在125～330m、平均為210m，水平姿態(tài)誤差在0.2′～0.75′、平均為0.50′，航向姿態(tài)誤差在4′～9′、平均誤差為7.5′，速度誤差在0.027～0.085m／s、平均誤差為0.045m／s。GACOI算法導(dǎo)航能夠保持在100～200m、平均110m的位置誤差，0.01′～0.25′、平均0.18′的水平姿態(tài)誤差，2′～6′、平均2.5′的航向姿態(tài)誤差，0.002～0.05m／s、平均0.016m／s的速度誤差?？梢?jiàn)GACOI算法將傳統(tǒng)重力輔助慣性導(dǎo)航算法的位置導(dǎo)航精度提高了1倍左右，姿態(tài)角導(dǎo)航精度、速度導(dǎo)航精度提高了1～2倍。新算法由于引入了先進(jìn)的局部支撐模型參數(shù)確定方法，同時(shí)考慮重力擾動(dòng)矢量、標(biāo)準(zhǔn)重力模型誤差、厄特弗斯修正計(jì)算值，提高了導(dǎo)航精度，達(dá)到了近乎高精度導(dǎo)航的水平。

圖2 導(dǎo)航仿真誤差分析圖Fig.2 The analysis of navigation simulation errors

5 結(jié) 論

本文首先對(duì)高斯樣條優(yōu)化插值以及所涉及的局部支撐參數(shù)求解問(wèn)題進(jìn)行研究探討，給出了局部連續(xù)重力異常場(chǎng)的構(gòu)建方法，而后基于此給出了考慮重力擾動(dòng)矢量誤差、標(biāo)準(zhǔn)重力值誤差、厄特弗斯修正計(jì)算誤差的高斯插值精化導(dǎo)航算法，最終提高了重力輔助導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航精度，實(shí)現(xiàn)了精化導(dǎo)航計(jì)算的目的。本文算法可以為重力輔助慣性導(dǎo)航算法的實(shí)踐化提供一定參考，然而在重力輔助導(dǎo)航系統(tǒng)觀測(cè)量為非線性的情況下，如何基于局部連續(xù)重力異常場(chǎng)進(jìn)行相應(yīng)的重力輔助導(dǎo)航非線性濾波算法設(shè)計(jì)還有待進(jìn)一步研究。

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