正交各向異性板法分析現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板

嚴(yán)靜，唐興榮

（蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

正交各向異性板法分析現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板

嚴(yán)靜，唐興榮

（蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板具有正交各向異性的特征，運(yùn)用薄板的小撓度理論求解在三角形荷載和均布荷載作用下，三邊簡支、一邊固定正交各向異性墻板的撓度和內(nèi)力，形成了相關(guān)的撓度和內(nèi)力計(jì)算系數(shù)公式，以供實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)運(yùn)用與參考。同時(shí)，分析了剛度比對現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板的撓度和內(nèi)力的影響規(guī)律，提出了此類墻板的設(shè)計(jì)建議。

現(xiàn)澆混凝土；正交異性墻板；小撓度理論；撓度；內(nèi)力

實(shí)際工程中地下室外墻板通常設(shè)計(jì)長度較長，在施工澆筑混凝土?xí)r采用連續(xù)澆注方式，并且采用的預(yù)拌混凝土水膠用量過大，其自由變形能力相對較差，因而在墻板內(nèi)部產(chǎn)生較大的溫度應(yīng)力，導(dǎo)致墻板開裂。文獻(xiàn)[1]借鑒現(xiàn)澆混凝土空心樓蓋的原理，在地下室外墻內(nèi)埋入空心管形成現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板（見圖1），以解決地下室外墻板開裂的問題。

由于在外墻中埋入了空心管，造成了墻板在順孔方向和橫孔方向的截面剛度大小不一致，導(dǎo)致墻板呈現(xiàn)正交各項(xiàng)異性特征。兩個(gè)方向剛度的不同將導(dǎo)致墻板撓度計(jì)算和內(nèi)力分布的不同。采用彈性力學(xué)中薄板的小撓度理論[2～3]對三角形荷載和均布荷載作用下三邊簡支、一邊固定的現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板撓度和內(nèi)力進(jìn)行計(jì)算分析。

圖1 現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板

1 正交各向異性墻板的撓曲微分方程

1.1 墻板單元的平衡方程

墻板單元體受力見圖2，墻板單元中面受力見圖3。沿X、Y方向分別對中面的中心取矩。

化簡以上三式，并略去高階微量，由，可得墻板單元的平衡方程

1.2 墻板單元的幾何方程

正交各向異性墻板的幾何方程可表示為

1.3 墻板單元的物理方程

正交各向異性墻板的物理方程可表示為

1.4 墻板的撓曲微分方程

墻板內(nèi)力（mx，mv和mxv）與應(yīng)力（σx，σx和τxy）的關(guān)系可表示為

將式（2）～（3）代入式（4），得到橫向位移與內(nèi)力的關(guān)系

圖2 板單元受力圖

圖3 板單元中面受力圖

式中，Dx=Exh3/[12（1-vxvy）]，Dy=Eyh3/[12（1-vxvy）]，Dt=Gh3/12。

將式（5）代入平衡方程式（1），得到墻板的撓曲微分方程

對于現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板，Dx=ExIx/a，Dy=EyIy/b，其中Ex、Ey可取混凝土的彈性模量，Ix、Iy可在將圓孔截面等效為方孔截面后，按空心截面和實(shí)心截面的比例對其進(jìn)行加權(quán)取值，按式（7）確定。

式中，Ixh=[（1/12）bfh3-（1/12）b1h13]×（a/bf），Ixh=（1/12）ah3；Iyh=[（1/12）（br+bt）h3-（1/12）bth13]×[b/（br+bt）]，Iys=（1/12）×bh3；；其余符號(hào)見圖1。

2 正交各向異性墻板的撓度和內(nèi)力計(jì)算

式（6）為含有常數(shù)的四階線性偏微分方程，其嚴(yán)密解的一般形式可寫成為

式中，WH為偏微分方程的齊次方程的通解；Wp為偏微分方程的特解。

由于墻板的兩條相對邊是簡支的，符合單三角級(jí)數(shù)法（李維法）的解法要求，故以下采用單三角級(jí)數(shù)法求解式（6）。

2.1 撓曲微分方程的通解WH（x，y）

撓曲微分方程的齊次方程為

將WH（x，y）用單三角級(jí)數(shù)表示，即。WH（x，y）代入式（9），得

式（10）的特征方程為：（Dxm4π4/a4）-2B（m2π2/a2）r4+Dyr4=0，解得。

則式（10）的通解為

2.2 撓曲微分方程的特解Wp（x，y）

對特解的要求是能滿足墻板的撓曲微分方程式（6），至于邊界條件則不一定要強(qiáng)迫遵循。在一個(gè)無窮級(jí)數(shù)中，如果特解至少能滿足板的兩個(gè)相對邊的邊界條件，則可以獲得較快的收斂效果。

將Wp（x，y）用單三角級(jí)數(shù)表示，即；將pz（x，y）用單三角級(jí)數(shù)表示，即。

（1）均布荷載作用下Wp（x，y）。，見圖4。由此可得

將Wp（x）、pz（x）代入式（6），得：；由此可得

（2）三角形荷載作用下Wp（x，y）。見圖5。由此可得

將Wp（x）、pz（x）代入式（6），；由此可得

2.3 撓曲微分方程的解

撓曲微分方程的解即為撓曲微分方程的齊次方程的通解加上非齊次方程的特解。均布荷載作用下

三角形荷載作用下

2.4 積分常數(shù)的確定

對于三邊簡支、一邊固定的墻板，如圖6所示。其邊界條件可表示為：當(dāng)x=0時(shí)，w=0，mx=0；當(dāng)x=a時(shí)，w= 0，mx=0；當(dāng)y=0時(shí)，w=0，mw=0；當(dāng)y=b時(shí)，w=0，?w/?y=0。根據(jù)上述邊界條件，即可求得積分常數(shù)Am、Bm、Cm、Dm，見表1。將各積分常數(shù)代入式（17）、（18），即可求得三邊簡支、一邊固定的現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板在橫向荷載作用下的撓度。對于墻板的內(nèi)力計(jì)算，只需要將式（17）、式（18）代入式（4），即可求得墻板在橫向荷載作用下的內(nèi)力。

圖4 均布荷載作用計(jì)算簡圖

圖5 三角形荷載作用計(jì)算簡圖

圖6 墻板幾何參數(shù)示意圖

表1 積分常數(shù)

3 剛度比對正交各向異性墻板撓度和內(nèi)力的影響

圖7～圖10分別給出了長寬比（g=a/b）為1.0、1.5和2.0時(shí)，剛度比（k=Dx/Dv）的變化引起的正交各向異性墻板的撓度和內(nèi)力的變化趨勢。

由圖7～圖10可知，在長寬比一定時(shí)，撓度和內(nèi)力計(jì)算系數(shù)幾乎與剛度比呈線性變化，撓度計(jì)算系數(shù)、X向彎矩計(jì)算系數(shù)、Y向正彎矩計(jì)算系數(shù)和Y向負(fù)彎矩計(jì)算系數(shù)絕對值均隨著剛度比的增大而增大，且長寬比越小，撓度計(jì)算系數(shù)和Y向正彎矩計(jì)算系數(shù)的增量也越小；而X向正彎矩計(jì)算系數(shù)和Y向負(fù)彎矩計(jì)算系數(shù)的增量[Y2]也越大。當(dāng)剛度比g=1.0時(shí)，正交各向異性墻板變成正交各向同性墻板的情況。

由表2可知，當(dāng)兩個(gè)方向剛度相差小于10%時(shí)，可近似按正交各向同性墻板進(jìn)行撓度和內(nèi)力計(jì)算，兩者的計(jì)算結(jié)果的誤差小于10%，能夠滿足實(shí)際工程的要求。

圖7 撓度計(jì)算系數(shù)

圖8 X向正彎矩計(jì)算系數(shù)

圖9 Y向正彎矩計(jì)算系數(shù)

圖10 Y向負(fù)彎矩計(jì)算系數(shù)

表2 剛度相差10%時(shí)撓度與內(nèi)力的比較

4 結(jié)論

（1）采用薄板的小撓度理論推導(dǎo)了在三角形荷載和均布荷載作用下，三邊簡支、一邊固定的現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板的撓度和內(nèi)力表達(dá)式，可形成相關(guān)的撓度和內(nèi)力計(jì)算系數(shù)表格，以供實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)用。

（2）剛度比對正交各向異性墻板的撓度和內(nèi)力計(jì)算系數(shù)有較大的影響，當(dāng)正交各向異性墻板兩個(gè)方向剛度相差小于10%時(shí)，可近似按正交各向同性墻板進(jìn)行撓度和內(nèi)力計(jì)算，能夠滿足實(shí)際工程的要求。

[1]王逢杰.現(xiàn)澆混凝土輕質(zhì)管柱墻板的試驗(yàn)研究[D].蘇州：蘇州科技學(xué)院，2013.

[2]R Szilard.板的理論與分析[M].北京：中國鐵道出版社，1974.

[3]丁大鈞.薄板按彈性和塑性理論計(jì)算[M].南京：東南大學(xué)出版社，1991.

[4]熊學(xué)玉，王紹輝.現(xiàn)澆空心板的正交異形板理論分析方法的研究[J].四川建筑科學(xué)研究，2010，36（5）：42-48.

[5]劉杰，朱強(qiáng)，梁書亭，等.現(xiàn)澆圓管式空心樓板正交各向異性研究[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)（增刊）：2013，43：687-691.

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Analysis of the cast-in-situ concrete light pipe column wallboard with the orthogonal plate method

YAN Jing,TANG Xingrong
（School of Civil Engineering,SUST,Suzhou 215011,China）

The cast-in-situ concrete light pipe column wallboard has orthogonal anisotropic characteristics.The deflection and internal forces of orthotropic wallboard with three sides simply supported and one side fixed are calculated by using the small deflection theory of the thin plate under triangular distributed load and even distributed load.Relevant calculation indexes of the deflection and internal forces can be formed and employed to the practical engineering design.Also,the influence law of the stiffness ratio on the deflection and internal forces of cast-in-situ concrete light pipe column wallboard is analyzed,and suggestions of design for such a wallboard are put forward.

cast-in-situ concrete;orthotropic wallboard;small deflection theory;deflection;internal force

TU389.9

A

1672-0679（2015）04-0047-05

（責(zé)任編輯：秦中悅）

2015－05-25

江蘇省研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（CXZZ11-0952）

嚴(yán)靜（1991-），女，江蘇常州人，碩士研究生。