蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過程的數(shù)學(xué)建模

楊丹丹

（國家知識產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作廣東中心，廣東 廣州 510530）

0 前言

煮糖過程的目的是盡可能充分析出糖膏中的糖分，獲得符合國家白砂糖標(biāo)準(zhǔn)［1］的粒度均勻、潔白干燥的蔗糖晶體。因此煮糖過程操作的好壞不僅會影響到蔗糖產(chǎn)品的質(zhì)量和數(shù)量，而且還將影響到整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)有關(guān)物料的平衡［2］。煮糖過程［3，4］是利用在煮糖結(jié)晶罐中糖膏在不同過飽和度下的特性，控制過飽和度在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，糖膏中結(jié)晶逐漸析出蔗糖晶體的過程。煮糖結(jié)晶過程是一個(gè)包含錘度、粘度、溫度、過飽和度、真空度等多個(gè)因素的生產(chǎn)過程［5，6］。目前國外對蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過程的數(shù)學(xué)建模的研究較深入［7～11］，相比之下，國內(nèi)相關(guān)研究非常少。

在本文中研究蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過程的數(shù)學(xué)模型，包括蔗糖結(jié)晶顆粒粒度、結(jié)晶糖量、濃度、晶體生長速度在煮糖過程中呈現(xiàn)的特性。蔗糖晶體生長的動(dòng)力學(xué)研究對于工業(yè)結(jié)晶罐的設(shè)計(jì)與管理起著非常重要的作用。實(shí)驗(yàn)用的動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)以后也可能應(yīng)用于工業(yè)實(shí)際中。本文的研究內(nèi)容打開了新的見解與思路，能夠更好的了解蔗糖結(jié)晶過程。

1 蔗糖結(jié)晶顆粒CSD的數(shù)學(xué)模型

1.1 建立CSD的數(shù)學(xué)模型

結(jié)合CSD的直方圖密度分布圖與累積分布圖，建立CSD的對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)模型。蔗糖結(jié)晶顆粒CSD概率密度分布函數(shù)q0（Deq）與累積分布函數(shù)Q0（Deq）的數(shù)學(xué)模型分別為式（1.1.1）、（1.1.2）、（1.1.3）：erf（·）為誤差函數(shù)。

1.2 CSD數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果

對CSD數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果見圖1，包括直方圖、密度分布曲線、累積分布曲線的仿真結(jié)果。從圖1可以看出，提出的蔗糖結(jié)晶顆粒CSD的概率密度分布函數(shù)與累積分布函數(shù)的數(shù)學(xué)模型很好地?cái)M合了真實(shí)的CSD。

圖1 CSD數(shù)學(xué)模型的仿真圖 （a）直方圖仿真 （b）密度分布仿真 （c）累積分布仿真

2 結(jié)晶糖量與表面積當(dāng)量直徑關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

為了研究粒度、結(jié)晶糖量對煮糖過程的影響，采用質(zhì)量平衡方法與圖像分析方法來對晶體表面積當(dāng)量直徑與結(jié)晶糖量之間數(shù)理關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，能夠更好的了解蔗糖結(jié)晶過程。

2.1 質(zhì)量平衡法與圖像分析法

2.1.1 質(zhì)量平衡法

根據(jù)質(zhì)量平衡方法［12～14］，蔗糖晶體的表面積當(dāng)量直徑與質(zhì)量之間的關(guān)系為（α取值為0.75）：

結(jié)晶罐內(nèi)的晶體數(shù)量計(jì)算如下［12,13］（α取值為0.31）：

ms/kg為種糖質(zhì)量，L0為種子晶粒體積當(dāng)量直徑，取值為13.33μm。ms=52g，N=7.25×105粒。質(zhì)量平衡法對Deq與mc之間數(shù)理關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為式（2.1.3）：

2.1.2 圖像分析法

蔗糖晶粒的質(zhì)量與表面積的關(guān)系根據(jù)文獻(xiàn)［14］：

式中mc為每顆蔗糖晶粒的質(zhì)量，單位為mg，S為每顆蔗糖晶粒的表面積，單位為m2。經(jīng)過單位量綱之間的換算，本文的圖像分析方法對Deq與mc之間數(shù)理關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為式（2.1.5）：

2.2 兩種數(shù)學(xué)模型的仿真結(jié)果比較

圖像分析與質(zhì)量平衡計(jì)算的結(jié)晶糖量與表面積當(dāng)量直徑之間數(shù)理關(guān)系的模型見圖2。兩種方法得出的曲線很相似，等同度很高。因此，圖像分析得出的結(jié)果是可靠的。數(shù)據(jù)來自樣本集P1的隨機(jī)抽樣300例。

圖2 圖像分析與質(zhì)量平衡計(jì)算的表面積當(dāng)量直徑比較

2.3 從濃度分布模型估計(jì)溶解度

通常一些有關(guān)溶解度與溫度的實(shí)驗(yàn)方程適用于大部分普通的溶液，這在制糖工業(yè)是得到普遍認(rèn)知的。在某個(gè)給定溫度的溶解度可以通過實(shí)驗(yàn)來獲得，使得晶體生長或溶解直到飽和，測量這個(gè)溫度下的溶液濃度，但受到操作者知識與技術(shù)器材的限制。文獻(xiàn)［7］提出一個(gè)新的辦法，在正常的結(jié)晶條件下能夠快速應(yīng)用。一個(gè)典型的結(jié)晶曲線見圖3所示。溶液的濃度開始于Ci，并不斷下降趨近飽和，用點(diǎn)c*處的濃度來代表溶解度［7，14］。

圖3 結(jié)晶曲線［7］

以下的分析［7］基于假設(shè)水的質(zhì)量mw為恒定值，這使得含水量的自動(dòng)控制是有效的。溶液濃度c表示為溶液質(zhì)量除以水的質(zhì)量，于是濃度的變化可以很容易與晶體質(zhì)量mc、時(shí)間t聯(lián)系起來，見下式：

若沒有成核現(xiàn)象，則每單位面積時(shí)間下的晶體質(zhì)量增長遵循生長規(guī)律，通常定義為：

k與r為動(dòng)力學(xué)參數(shù)，r=2。結(jié)合以上兩個(gè)式子得出：

這個(gè)方程在獲得晶體表面積A與時(shí)間t的關(guān)系后可以得到數(shù)值解。不過更為方便的方式為用解析解來擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到c*。出于這個(gè)目的，用一個(gè)生長周期內(nèi)的恒定平均晶體表面積 來簡化式子。簡化式子如下：

得出濃度分布曲線如式：

建立煮糖過程濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型如式（2.2.7）：

模型擬合結(jié)果見圖4。從結(jié)果中看出，開始濃度ci=（301.5kg蔗糖）/（100kg水）。溶解度c*=（260 kg蔗糖）/（100kg水），見虛線處。模型擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果很相近。

圖4 濃度分布與時(shí)間數(shù)學(xué)模型仿真

2.4 晶體生長動(dòng)力學(xué)的模型研究

2.4.1 晶體質(zhì)量與時(shí)間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

采集來自實(shí)驗(yàn)研究用的50L煮糖罐的蔗糖生長實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。見表1所示。

根據(jù)表1，建立晶體質(zhì)量與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型如式（2.3.1）：

模型仿真結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，模型仿真的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量的數(shù)據(jù)分布擬合效果較好，模型的分析是可靠的。

圖5 晶體質(zhì)量與時(shí)間數(shù)學(xué)模型仿真

2.4.2 晶體質(zhì)量生長速度與過飽和度關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

煮糖過程中的過飽和度［7，14］需要預(yù)先知道溶液溶解度的情況，由于非蔗糖混合物的數(shù)量及其變化范圍之廣使得準(zhǔn)確測量過飽和度存在困難。蔗糖晶體生長的動(dòng)力學(xué)研究對于工業(yè)結(jié)晶罐的設(shè)計(jì)與管理起著非常重要的作用。實(shí)驗(yàn)用的動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)以后有可能應(yīng)用于工業(yè)中。在本小節(jié)中研究晶體生長動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型。其中，溶液濃度、晶體質(zhì)量隨著時(shí)間而改變的信息必須是可用的，其他的先驗(yàn)知識包括蔗糖溶解度、晶體參數(shù)例如顆粒個(gè)數(shù)與形狀因子等等。

蔗糖晶體的質(zhì)量生長速度Rg通常定義為在單位時(shí)間和單位晶體面積內(nèi)的質(zhì)量改變量［7］：

現(xiàn)在計(jì)算生長速度的實(shí)驗(yàn)方法采用在一個(gè)很小的時(shí)間區(qū)間△t內(nèi)質(zhì)量的增長量△mc來計(jì)算Rg。在這種情況下，晶體表面積需要假設(shè)在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)維持常量或者用平均表面積來代替。晶體表面積表示為［7］：

代入式（2.3.2），得到［7］：

歸納為式（2.3.5）［7，13］：（α=0.64［13］，β=4.52［13］，pc=1590kg/m3［7，13，14］）：

在這里，過飽和度定義為S=c-c*，c*為前面的溶解度。根據(jù)蔗糖質(zhì)量與時(shí)間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，濃度分布數(shù)學(xué)模型，得到：

因此建立蔗糖晶體質(zhì)量生長速度與過飽和度之間的數(shù)學(xué)模型，見式（2.3.8）：

質(zhì)量生長速度值為2.2（×105kg/（m2·s））。模型仿真的曲線如圖6所示。這個(gè)動(dòng)力學(xué)曲線代表了過飽和度對晶體質(zhì)量生長速度的影響。

圖6 晶體質(zhì)量生長速度與過飽和度數(shù)學(xué)模型仿真

2.4.3 晶體線性生長速度與過飽和度關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

線性生長速度G與質(zhì)量生長速度Rg之間存在這樣的關(guān)系［7］：

建立線性生長速度與過飽和度之間的數(shù)學(xué)模型如式（2.3.10）：

線性生長速度為117（μm/h）。模型仿真結(jié)果見圖7。這個(gè)動(dòng)力學(xué)曲線代表了過飽和度對晶體線性生長速度的影響。

圖7 線性生長速度與過飽和度數(shù)學(xué)模型仿真

在閱讀外國相關(guān)文獻(xiàn)后，統(tǒng)計(jì)不同文獻(xiàn)中蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過程中蔗糖晶體的線性生長速度與質(zhì)量生長速度值，見表2。從表中可以看出，本文提出的模型計(jì)算得出的線性生長速度與質(zhì)量生長速度值與其他國外文獻(xiàn)值是一致的，證明了兩種模型的仿真結(jié)果是有效可靠的。

表2 不同文獻(xiàn)中蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過程線性生長速度與質(zhì)量生長速度值［7］

3 小結(jié)

本章對蔗糖蒸發(fā)結(jié)晶過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模研究。結(jié)合前面章節(jié)中提出的圖像分析方法與本章的數(shù)學(xué)建模方法打開了新的見解與思路，能夠更好的了解蔗糖結(jié)晶過程。首先建立蔗糖結(jié)晶顆粒CSD的對數(shù)常態(tài)分布數(shù)學(xué)模型并對真實(shí)的樣本進(jìn)行擬合，并通過模型進(jìn)行原點(diǎn)矩與置信區(qū)間的計(jì)算，通過仿真結(jié)果、對顆粒粒度的MA、CV、總長、總表面積、總質(zhì)量等參數(shù)結(jié)果的比較，本文建立的CSD模型逼近真實(shí)的CSD。然后分別用質(zhì)量平衡法與本文中的圖像分析法建立結(jié)晶糖量與表面積當(dāng)量直徑關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。通過兩種仿真結(jié)果比較，圖像分析法建立的模型與質(zhì)量平衡法建立的模型等同度高，模型可靠。最后，對煮糖過程中溶解度及其生長動(dòng)力學(xué)相關(guān)參數(shù)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究。在濃度分布模型中估計(jì)出溶解度、從質(zhì)量平衡中估計(jì)質(zhì)量與時(shí)間關(guān)系的模型的基礎(chǔ)上，分別對晶體質(zhì)量生長速度、線性生長速度與過飽和度之間關(guān)系的模型進(jìn)行研究。計(jì)算出線性生長速度與質(zhì)量生長速度值，在國外相關(guān)文獻(xiàn)計(jì)算的值的范圍之內(nèi)，證明了建立的動(dòng)力學(xué)模型是可靠的。

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