關于埃爾米特插值的教學探討

王 艷

（重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶 400047）

插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，也是數(shù)值計算的最基本的內容。本科數(shù)值分析課程中主要涉及到拉格朗日（Lagrange）插值、牛頓（Newton）插值和（Hermite）插值問題，其中Lagrange插值和Newton插值都是用來處理只以節(jié)點處函數(shù)值為插值條件的多項式的構造，而Hermite插值是用來處理以節(jié)點處函數(shù)值及其導數(shù)值為插值條件的多項式的構造[1]。

Hermite插值問題涉及到導數(shù)值，而且解的形式可以有多種，插值條件也可由多種形式給出，因此這部分內容知識點多，方法靈活，學生往往難以抓住方法的實質從而靈活地構造出所求的插值多項式。事實上，Hermite插值問題插值條件的形式基本上可以分為兩類，給出所有點處的函數(shù)值和導數(shù)值或給出所有點處的函數(shù)值和某幾個點處的導數(shù)值。對于這兩類插值條件，我們大多采用構造法和“待定系數(shù)法”相結合的方式，不過構造的切入點不同。根據(jù)插值條件以及具體的求解方式，本文將Hermite插值問題分為直接Hermite插值問題和間接Hermite插值問題，并結合自身教學實踐，對這兩類Hermite插值問題求解方式的教學進行了探討。

一、Hermite插值問題

許多實際插值問題中，為了使插值函數(shù)能更好地逼近被插值函數(shù)，不但要求二者在節(jié)點上函數(shù)值相等，而且還要求插值函數(shù)在某些節(jié)點或全部節(jié)點上與被插值函數(shù)的導數(shù)值也相等，甚至要求高階導數(shù)也相等。這類插值問題稱作埃爾米特（Hermite）插值問題[2]。此類插值是以法國數(shù)學家Charles Hermite命名的，因此引入課堂之前可以適當穿插一小段關于Charles Hermite的人物傳記及Hermite插值的產生背景，目的在于增加課堂趣味性，提高學生的學習興趣。

設已知函數(shù) f（x）在插值區(qū)間[a，b]上n+1個互異的節(jié)點xi（i=1，2，…，n）處的函數(shù)值 f（xi）及其導數(shù)值f（pi）（xi）（pi=1，2，…），Hermite插值問題要求構造一個插值函數(shù)H（x），使其在節(jié)點處的函數(shù)值和導數(shù)值與 f（x）的函數(shù)值和各階導數(shù)值對應相等，即

若H（x）是代數(shù)多項式，則稱H（x）為Hermite插值多項式[2－3]。

特別強調的是，Hermite插值問題解的形式可以有多種，插值條件也可由多種形式給出。例如已知全部節(jié)點上的函數(shù)值和導數(shù)值，或者已知全部節(jié)點上的函數(shù)值和某幾點上的導數(shù)值。但不管是哪種情況，只要給出的插值條件數(shù)比所要求的多項式次數(shù)多一個，該插值問題總是可求解的[2]。Hermite插值多項式的求解，大多采用構造法和“待定系數(shù)法”相結合的方式，但對不同形式的插值條件，構造的切入點往往不同。因此，我們可以根據(jù)插值條件的形式，將Hermite插值問題分為直接Hermite插值問題和間接Hermite插值問題。

本科課程主要討論pi=1（i=1，2）這類最簡單，但也是最常用的Hermite插值問題。

（一）直接Hermite插值問題

當pi=1時，直接Hermite插值問題是指給出所有節(jié)點處的函數(shù)值和一階導數(shù)值，問題描述為:

給定函數(shù) f（x）在插值區(qū)間[a，b]上n+1個互異的節(jié)點xi（i=1，2，…，n）處的函數(shù)值 f（xi）及其一階導數(shù)值f′（xi），要求構造一個插值多項式H（x），滿足條件

這里給出了2n+2個條件，可唯一確定一個次數(shù)不超過2n+1的插值多項式H2n+1（x）=H（x）。

仿照求Lagrange插值多項式的構造基函數(shù)的方法，我們可推導出滿足插值條件（2）的插值多項式H2n+1（x）的表達式為[3]

其中

為兩類插值基函數(shù)，共2n+2個，每一個都是2n+1次的多項式為 Lagrange 插值基函數(shù)。

實際使用較多的是三次Hermite插值多項式，此時n=1，節(jié)點有兩個x0和x1，計算公式為

對于直接Hermite插值問題（2）的求解，可以直接套用公式（3）或（5）。但需要指出的是，插值條件必須給出所有節(jié)點處的函數(shù)值和一階導數(shù)值，如果所給出的函數(shù)值和導數(shù)值不是關于節(jié)點對等的，那么此類插值多項式的構造就無法直接套用公式，教學過程中可以給出兩個實例來具體說明。

（二）間接Hermite插值問題

如果Hermite插值條件給出的是n+1個互異的節(jié)點上的函數(shù)值和某幾個點上的導數(shù)值，所要求的Hermite插值多項式無法直接套用上一節(jié)的公式，但因涉及到函數(shù)的導數(shù)值仍屬于Hermite插值問題，我們稱之為間接Hermite插值問題。

對于這類插值問題的求解，我們通常先根據(jù)插值條件的個數(shù)確定插值多項式的次數(shù)，然后利用其中某幾個條件構造一個低于所求多項式次數(shù)的Newton插值多項式、Lagrange插值多項式或Hermite插值多項式，并利用余下的條件確定出待定多項式的系數(shù)。下面舉例說明:

例 若 f（x）在[0，2]上有五階連續(xù)導數(shù)，試求滿足條件

的插值多項式H（x）。

分析 該問題的求解有多種方式，比如可以先利用三個節(jié)點處函數(shù)值的條件構造Newton插值多項式、Lagrange插值多項式，或者先利用前兩個節(jié)點的函數(shù)值和導數(shù)值構造Hermite插值多項式，然后根據(jù)余下的插值條件確定待定多項式的系數(shù)。

解法1 由給定的5個插值條件，顯然可確定一個次數(shù)不超過4次的Hermite插值多項式H（x）。由前3個插值條件，可構造節(jié)點0，1，2上的二次Newton插值多項式

顯然，N2（x）滿足插值條件 N2（xi）=f（xi）（xi=0，1，2），而H（x）也滿足插值條件:H（xi）=f（xi）（xi=0，1，2），由此可知函數(shù)H（x）－N2（x）以xi（xi=0，1，2）為零點且次數(shù)不超過4次，故可設

其中，a，b為待定多項式的系數(shù)。

于是，所求的插值多項式H（x）可表為如下形式

下面，利用余下的插值條件 H′（0）=f′（0）=0，H′（1）=f′（1）=1 來確定 a，b。為此，對上式求導得

分別令x=0，x=1代入，整理可得

于是有

將a，b的值代回H（x）的表達式即得所求的插值多項式為

因為上式是結合Newton插值多項式構造的，所以也稱為Newton-Hermite插值多項式。當然也可先采用Lagrange插值多項式構造L2（x），再令

H（x）=L2（x）+（ax+b）（x-0）（x-1）（x-2）同樣可得到滿足相同插值條件的H（x）的另一種形式

上式也稱為Lagrange-Hermite插值多項式。

解法2 先由插值條件

構造節(jié)點0，1上的三次Hermite插值多項式

由于H3（x）滿足插值條件H3（xi）=f（xi），H′3（xi）=f′（xi）（xi=0，1），而 H（x）也滿足插值條件 H（xi）=f（xi），H′（xi）=f′（xi）（xi=0，1），所以可知函數(shù) H（x）－H3（x）以xi（xi=0，1）為二重零點且次數(shù)不超過4次，故可設

其中，A為待定常數(shù)。

于是，所求的插值多項式H（x）可表為如下形式

下面，利用余下的插值條件H（2）=f（2）=1來確定A。令x=2代入上式，計算可得

將A的值代回H（x）的表達式即得所求的插值多項式為

二、兩個注解

注解1 事實上，對于滿足插值條件（1）的一般情形的Hermite插值多項式的構造仍可以采用上述構造基函數(shù)的方法[4]，但這不是唯一方法，比如可以仿照Newton插值多項式的構造方法，利用差商的非構造性定義[5]來構造Hermite插值多項式[6]，建議有興趣者查閱文獻[4，6 －7]進行擴展閱讀。

注解2 上例所得的三個插值多項式都是恒等的，只是形式不同，理論依據(jù)在于滿足插值條件（1）的Hermite插值多項式的存在唯一性。條件（1）中的插值條件共有個，Charles Hermite早在1878年就證明:存在唯一的次數(shù)不高于N－1的代數(shù)多項式H（x），使得插值條件（1）滿足。根據(jù)不同的專業(yè)要求，對數(shù)學與應用數(shù)學等理論要求較高的專業(yè)可以適當?shù)刈饕恍┫嚓P理論知識的延伸。

三、結束語

本文根據(jù)插值條件和求解方式的不同，將Hermite插值問題適當歸類，總結每一類問題求解的主要原則和基本構造思想，并結合自身實踐給出了教學過程。學生如果能夠理解插值條件與求解方法之間的本質聯(lián)系，遇到具體實例就能舉一反三，快速找到構造多項式的切入點從而得到所要求的插值多項式。

[1] 李小林.數(shù)值分析課程中插值余項的教學探討[J].內江師范學院學報，2011，26（12）:66 －68.

[2] 沈劍華.數(shù)值計算方法[M].上海:同濟大學出版社，2008.

[3] 王金銘，謝彥紅，杜洪波.數(shù)值分析[M].大連:大連理工大學出版社，2010.

[4] 祝精美.Hermite插值的構造型公式[J].山東工業(yè)大學學報，1998，28（5）:488 －491.

[5] Carl De Boor.A Practical Guide to Splines[M].New York:Springer-Verlag New York Inc.，2001:1 －20.

[6] 吳天毅.適用于一般提法的埃爾米特插值多項式的差商構造公式[J].天津輕工業(yè)學院學報，1993，1（15）:63－70.

[7] 趙紀平.埃爾米特插值問題的差商算法及余項[J].數(shù)學的實踐與認識，1983（3）:14－20.