調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)實(shí)現(xiàn)汽車(chē)傳動(dòng)軸強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算

張楓念

1 汽車(chē)傳動(dòng)軸的軸管

汽車(chē)傳動(dòng)軸是用在不同軸心的兩軸間，甚至在工作過(guò)程中相對(duì)位置不斷變化的兩軸間傳遞動(dòng)力。常見(jiàn)的汽車(chē)傳動(dòng)軸如圖1所示。

圖1 汽車(chē)傳動(dòng)軸Fig.1 Drive shaft

在以往進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，在計(jì)算得出可靠性系數(shù)后，還再要查表，才能得出可靠度值。因?yàn)橹苯佑?jì)算時(shí)，其中的拉普拉斯函數(shù)是很麻煩的，為了手算方便，列出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表供使用是很必要的，這樣可減少許多計(jì)算工作量。然而這種做法在用計(jì)算機(jī)進(jìn)行可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算時(shí)是很不利的。因?yàn)樗鼤?huì)阻礙計(jì)算機(jī)的自動(dòng)高效的計(jì)算?，F(xiàn)在我們通過(guò)編程，在計(jì)算機(jī)上采取調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)軸可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算。

傳動(dòng)軸管是采用鋼板卷制再焊接而成的。采用不同厚度的鋼板就能卷制出相同內(nèi)徑，不同的外徑和管壁厚的軸管。這樣在強(qiáng)度計(jì)算時(shí)可以只用變動(dòng)管壁厚一個(gè)參數(shù)，即可計(jì)算出不同的強(qiáng)度。所以用它做例子來(lái)說(shuō)明調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)軸可靠性的調(diào)優(yōu)計(jì)算就比較容易理解。

汽車(chē)傳動(dòng)軸管一般由低碳鋼板卷制的電焊鋼管制成。壁厚比較均勻，一般壁厚僅為1.5～3.0mm，而管徑相對(duì)較大，這是為了便于進(jìn)行質(zhì)量平衡，適用于高速旋轉(zhuǎn)，管徑相對(duì)較大，還能提高抗扭強(qiáng)度和彎曲剛度。傳動(dòng)軸上所受彎矩很小，可以忽略不計(jì)，而抗扭強(qiáng)度的安全系數(shù)是必須校核的。此外概率可靠性計(jì)算、疲勞強(qiáng)度的概率可靠性計(jì)算，也是經(jīng)常驗(yàn)算的項(xiàng)目。也可用不完全伽瑪函數(shù)對(duì)服從正態(tài)分布的概率可靠性進(jìn)行調(diào)優(yōu)計(jì)算，現(xiàn)對(duì)這些計(jì)算敘述于下。

2 傳動(dòng)軸抗扭強(qiáng)度安全系數(shù)的校核計(jì)算

已知某商用車(chē)傳動(dòng)軸所受的載荷、傳動(dòng)軸管的截面尺寸，現(xiàn)對(duì)其抗扭強(qiáng)度的安全系數(shù)作校核計(jì)算：如若傳動(dòng)軸管焊接管的鋼板厚度δ＝0.0021～0.0025m范圍內(nèi)，傳動(dòng)軸管內(nèi)徑d2＝0.078m，傳動(dòng)軸管外徑d1＝d2＋2δ，傳動(dòng)軸內(nèi)外徑比ae＝d2/d1，傳動(dòng)軸抗扭截面系數(shù) wτ＝（1/16）×（π×d13）×（1－ae4），在發(fā)動(dòng)機(jī)最大扭矩下傳動(dòng)軸的扭矩為Me時(shí)，傳動(dòng)軸管橫截面上所承受的最大切應(yīng)力可由下式算得：

τy＝ （Me/wτ）×10－6MPa

當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)最大扭矩時(shí)傳動(dòng)軸上的扭矩Me＝1567.7 Nm，焊接鋼管材料的許用切應(yīng)力τx＝77MPa，傳動(dòng)軸抗扭強(qiáng)度的安全系數(shù)n＝τx/τy。以上校核計(jì)算的結(jié)果見(jiàn)表1所示。

3 服從正態(tài)分布的傳動(dòng)軸抗扭強(qiáng)度概率可靠性計(jì)算

若對(duì)上例進(jìn)行概率可靠性計(jì)算則：因材料的許用切應(yīng)力，與傳動(dòng)軸所受切應(yīng)力，均為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。對(duì)機(jī)械耗損類(lèi)失效概率一般都認(rèn)是為服從正態(tài)分布，其變異系數(shù)不大時(shí)，也近似正態(tài)分布，其可靠性系數(shù)可采用聯(lián)結(jié)方程求得：設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)最大扭矩時(shí)傳動(dòng)軸管橫截面上的切應(yīng)力的均值為μτy，切應(yīng)力的變異系數(shù)cστy＝0.03，切應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差στy＝cστy×μτy，傳動(dòng)軸焊接管材料的許用切應(yīng)力的均值為μτx，材料的許用切應(yīng)力的變異系數(shù)cστx＝0.03，接管材料的許用切應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差.στx＝cστx×μτx，安全系數(shù)n＝στx/στy ，

傳動(dòng)軸管可靠性系數(shù)u＝μy/σy，

例如傳動(dòng)軸管壁厚δ＝0.0023m可靠性系數(shù)u＝2.522954查表（即由可靠性系數(shù)查定可靠度表）且用插值法得可靠度R＝0.99413＋（0.9943－0.99413）×（2954/10000）＝0.9941802。

正態(tài)分布隨機(jī)量標(biāo)準(zhǔn)差

4 用不完全伽瑪函數(shù)實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)軸抗扭強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算

從傳動(dòng)軸抗扭強(qiáng)度概率可靠性計(jì)算中知，要求在上述傳動(dòng)軸管壁厚δ范圍內(nèi)。計(jì)算它們各自的可靠度。并按照預(yù)先確定的可靠度R的要求即0.98≤R≤0.999，作為調(diào)優(yōu)計(jì)算的選取目標(biāo)。計(jì)算是在VB算法程序平臺(tái)上，由所編制的專(zhuān)用程序來(lái)實(shí)現(xiàn)的，在運(yùn)行中能進(jìn)行無(wú)級(jí)的自動(dòng)調(diào)優(yōu)計(jì)算，從以下這些計(jì)算公式建立起的程序，即可知程序是具有不用查表就能算出可靠度的功能。

（1）調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)直接計(jì)算可靠度

采取調(diào)用一系列函數(shù)算法計(jì)算可靠度R。因?yàn)橛?jì)算隨機(jī)變量x的正態(tài)分布函數(shù)P（a，σ，x）值。正態(tài)分布函數(shù)的定義為；

其中a為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（平均值）σ＞0，σ2為隨機(jī)變量的方差。正態(tài)分布函數(shù)可以用誤差函數(shù)來(lái)計(jì)算，即

該函數(shù)返回一個(gè)實(shí)型函數(shù)值P（a，σ，x）.

該函數(shù)要調(diào)用誤差函數(shù)，誤差函數(shù)又要調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)。a實(shí)型變量，數(shù)學(xué)期望值，正態(tài)分布隨機(jī)量均值；σ實(shí)型變量，σ2為方差值，σ＞0正態(tài)分布隨機(jī)量標(biāo)準(zhǔn)差；x為—實(shí)型變量，隨機(jī)變量值，為可靠性系數(shù)。

當(dāng)x≥0時(shí)，可以用不完全伽瑪函數(shù)計(jì)算誤差函數(shù)，即

利用誤差函數(shù)可以計(jì)算余誤差函數(shù)

也可以計(jì)算正態(tài)概率積分

該函數(shù)返回一個(gè)實(shí)型的誤差函數(shù)值。

該函數(shù)要調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)，

不完全伽瑪函數(shù)定義為

其中

對(duì)于不完全伽瑪函數(shù)有

Γ（a，x）＝0，Γ（a，∞）＝1

不完全伽瑪函數(shù)也可表示為

該函數(shù)返回一個(gè)實(shí)型的不完全伽瑪函數(shù)值。

該函數(shù)要調(diào)用計(jì)算伽瑪函數(shù)值的函數(shù)，采取調(diào)用一系列函數(shù)算法計(jì)算可靠度的最大好處是使程序在運(yùn)行中成為一個(gè)完整的整體。如查表法，程序必須由于人機(jī)對(duì)話(huà)而斷開(kāi)。程序成為一個(gè)完整的整體它就能使參數(shù)在程序中實(shí)現(xiàn)自動(dòng)調(diào)優(yōu)。

（2）調(diào)優(yōu)程序能很快計(jì)算出一組結(jié)果：如管壁厚度δ＝0.0021～0.0025m范圍內(nèi)，的可靠度，從以下一組可靠度值中可按優(yōu)化的目標(biāo)進(jìn)行選取，這就被稱(chēng)為調(diào)優(yōu)計(jì)算。

軸管壁厚δ＝.0021，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.6253688

軸管壁厚δ＝.0022，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.9260645

軸管壁厚δ＝.0023，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.9941679

軸管壁厚δ＝.0024，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.999805

軸管壁厚δ＝.0025，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.999997

由用不完全伽瑪函數(shù)可直接調(diào)優(yōu)計(jì)算的可靠度Ru與查表法所得的可靠度Rb作對(duì)比檢驗(yàn)，所得的相對(duì)誤差Δu見(jiàn)表1。

由于其最大相對(duì)誤差Δu≤1.5%，即認(rèn)為該調(diào)優(yōu)軟件可用，最后的計(jì)算書(shū)，可以將Ru、Rb同時(shí)列出。

若對(duì)子程序初始條件作適當(dāng)?shù)男拚蓽p少誤差Δu，如若不進(jìn)行修正，往往在計(jì)算的全程范圍內(nèi)，有部分的結(jié)果的相對(duì)誤差將會(huì)≥1.5%。

由上述調(diào)優(yōu)數(shù)據(jù)匯集可知，管壁厚度δ＝0.0023m的可靠度R，符合要求。該軟件系統(tǒng)在調(diào)優(yōu)計(jì)算的全程范圍內(nèi)，其最大相對(duì)誤差Δu≤1.5%，認(rèn)為合格可用。

5 傳動(dòng)軸疲勞強(qiáng)度的概率可靠性計(jì)算

以上是以傳動(dòng)軸最大切應(yīng)力來(lái)進(jìn)行概率可靠性計(jì)算，因傳動(dòng)軸也是經(jīng)常承受著往復(fù)疲勞載荷，在實(shí)際損壞中也出現(xiàn)過(guò)疲勞損壞。在汽車(chē)傳動(dòng)軸臺(tái)架試驗(yàn)方法及技術(shù)條件Q/T523標(biāo)準(zhǔn)中也要求做疲勞試驗(yàn)，它要求的工作循環(huán)數(shù)nxh＝1.5×105次工作循環(huán)，汽車(chē)傳動(dòng)軸不得出現(xiàn)任何損傷。以上面的參數(shù)為例，則可用以下方法進(jìn)行計(jì)算：

表1 傳動(dòng)軸強(qiáng)度安全系數(shù)校核及可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算結(jié)果

已知傳動(dòng)軸管焊接管的鋼板厚度δ＝0.0021、0.0023、0.0025m

傳動(dòng)軸內(nèi)徑d2＝0.078（m），其外徑d1＝d2＋2δ，發(fā)動(dòng)機(jī)最大扭矩時(shí)傳動(dòng)軸扭矩m，傳動(dòng)軸內(nèi)外徑比ae＝d2/d1，傳動(dòng)軸抗扭截面系數(shù) w＝（1/16）×πd13×（1－ae4）疲勞試驗(yàn)工作循環(huán)數(shù)nxh＝1.5×105次循環(huán)，發(fā)動(dòng)機(jī)最大扭矩時(shí)傳動(dòng)軸橫截面所受切應(yīng)力的均值μτy＝（m/w）×10－6（MPa）疲勞循環(huán)平均載荷導(dǎo)致的切應(yīng)力均值μτm＝0.5×μτy（MPa），切應(yīng)力的變異系數(shù)cστm＝0.04，所受切應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差στm＝cστm×μτm，焊接鋼管材料許用切應(yīng)力的均值μτx＝77（MPa），焊接鋼管材料許用切應(yīng)力的疲勞極限均值假設(shè)為μτ－1＝0.8×μτx（MPa），焊接鋼管材料許用切應(yīng)力的變異系數(shù)cστ－1＝0.085材料許用切應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差στ－1＝cστ－1×μτ－1。

因?yàn)槠谑Ц怕士煽啃缘碾S機(jī)量分布服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；應(yīng)力隨機(jī)量均值μ＝μτ－1－μτm，標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)量，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布可靠性系數(shù)z＝（ln（nxh）－μ）/σ，若選管壁厚度δ＝0.0023m則z＝－1.545958查表后且用插值法得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布值φz＝0.06178＋（0.06178－0.06057）＊（5958/10000）＝0.006832147，而可靠度R＝1－φz＝0.993167853。

在上一節(jié)用不完全伽瑪函數(shù)實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)軸抗扭強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計(jì)算，這是對(duì)服從正態(tài)分布可靠度計(jì)算為前提的，在此前提下是有效的，因?yàn)槠溆?jì)算程序是建立在正態(tài)分布函數(shù)子程序上的，而在計(jì)算疲勞強(qiáng)度的概率可靠性時(shí)，由于疲勞失效概率可靠性的隨機(jī)量分布是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的。

對(duì)于服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布可靠度的計(jì)算，則在算法中的有關(guān)公式將有所不同如程序中原來(lái)的式（1）處，應(yīng)選擇式（2）

以式2來(lái)建立調(diào)優(yōu)計(jì)算的程序。對(duì)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的疲勞強(qiáng)度概率可靠度Rz進(jìn)行計(jì)算，與查表法所得的可靠度Rb作對(duì)比檢驗(yàn)，所得的計(jì)算結(jié)果及相對(duì)誤差Δz見(jiàn)表2。

該軟件在調(diào)優(yōu)計(jì)算的范圍內(nèi)，其最大相對(duì)誤差Δz≤1.5%，認(rèn)為該調(diào)優(yōu)軟件可用，最后的計(jì)算書(shū)，可將Rz、Rb同時(shí)列出。

若對(duì)子程序初始條件作適當(dāng)?shù)男拚?，可減少誤差Δz，如若不進(jìn)行修正，往往在計(jì)算的全程范圍內(nèi)，有部分的結(jié)果的相對(duì)誤差將會(huì)≥1.5%。

由上述調(diào)優(yōu)數(shù)據(jù)匯集可知，管壁厚度δ＝0.0023m的可靠度Rz，符合疲勞可靠度要求。該軟件系統(tǒng)在調(diào)優(yōu)計(jì)算的全程范圍內(nèi)，其最大相對(duì)誤差Δz≤1.5%，認(rèn)為合格可用。

以上僅借用汽車(chē)傳動(dòng)軸強(qiáng)度的概率可靠性計(jì)算來(lái)說(shuō)明調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)，實(shí)現(xiàn)汽車(chē)傳動(dòng)軸強(qiáng)度概率可靠性的調(diào)優(yōu)計(jì)算。

表2 傳動(dòng)軸疲勞失效概率可靠性的計(jì)算結(jié)果

籍此與業(yè)界探討交流一種簡(jiǎn)便、實(shí)用的概率可靠性的調(diào)優(yōu)方法。

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