自由曲面混凝土結(jié)構(gòu)力學(xué)特性

崔國勇，崔昌禹，2，涂桂剛

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150090；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗室，黑龍江哈爾濱150090）

自由曲面混凝土結(jié)構(gòu)力學(xué)特性

崔國勇1，崔昌禹1，2，涂桂剛1

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150090；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗室，黑龍江哈爾濱150090）

為了研究自由曲面混凝土結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，合理選取混凝土材料本構(gòu)方程，利用有限元分析軟件ABAQUS，建立自由曲面混凝土結(jié)構(gòu)的有限元分析模型，通過與相關(guān)試驗的對比驗證有限元模型的正確性.研究典型自由曲面結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布特性、荷載-位移曲線與破壞模式、初始缺陷.結(jié)果表明：薄膜第一主應(yīng)力在負(fù)高斯曲率區(qū)受拉較大，正高斯曲率區(qū)受拉較小；薄膜第二主應(yīng)力在正高斯曲率區(qū)受壓較大，負(fù)高斯曲率區(qū)受壓較??；上、下表面第一主應(yīng)力分布模式類似；結(jié)構(gòu)在正、負(fù)高斯曲率過渡區(qū)的彎曲內(nèi)力與薄膜內(nèi)力比值較大，其他位置很小；荷載-位移曲線沒有下降段，結(jié)構(gòu)破壞模式為強(qiáng)度破壞；結(jié)構(gòu)對初始缺陷的影響很小.對2個實(shí)際工程進(jìn)行力學(xué)分析，驗證了所歸納力學(xué)特性的正確性.

殼體結(jié)構(gòu)；形狀優(yōu)化；ABAQUS；自由曲面

自由曲面與初等解析曲面（球面型、橢圓面型、圓柱面型、雙曲拋物面型等）不同，它任意性強(qiáng)、形式多樣，具有良好的建筑藝術(shù)效果.越來越多的建筑師關(guān)注自由曲面的靈活性，試圖利用自由曲面來表現(xiàn)建筑思想，實(shí)現(xiàn)建筑意圖.目前，自由曲面結(jié)構(gòu)已成為新的空間結(jié)構(gòu)形式，研究這種曲面結(jié)構(gòu)具有何種普遍的力學(xué)性能、具有何種共同的特性，是十分必要的.

初等解析曲面結(jié)構(gòu)是常用的空間結(jié)構(gòu)形式之一，目前通過長期的實(shí)踐與系統(tǒng)的研究已基本總結(jié)了該類結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能與特性.祝恩淳等[1]編寫了混凝土薄殼的非線性程序，通過試驗研究圓柱殼的穩(wěn)定問題，指出初始幾何缺陷對薄殼結(jié)構(gòu)的臨界荷載及屈曲性質(zhì)有顯著的影響.唐如意等[2-3]對鋼-混凝土組合肋殼進(jìn)行非線性研究，指出初始缺陷在跨度的1/300范圍內(nèi)，臨界荷載下降值為27％～36％.何廣乾等[4]推導(dǎo)了考慮非線性彈性穩(wěn)定的橢圓拋物面殼臨界荷載，指出局部穩(wěn)定的臨界荷載遠(yuǎn)低于總體失穩(wěn)時的上臨荷載，設(shè)計中局部失穩(wěn)是需要考慮的控制因素，殼體缺陷將大大降低殼體的穩(wěn)定性，缺陷模型的承載力為無缺陷模型承載力的51％～60％，可見常規(guī)殼體對缺陷的影響較敏感.

與傳統(tǒng)曲面不同，自由曲面結(jié)構(gòu)起伏眾多，形狀多樣，力學(xué)性能明顯不同于常規(guī)曲面.崔昌禹等[5]提出能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)形狀與力學(xué)性能相互協(xié)調(diào)統(tǒng)一的高度調(diào)整法.崔昌禹等[6]針對自由曲面實(shí)際工程進(jìn)行分析，研究初始缺陷對承載力的影響.Isozaki[7]利用“高度調(diào)整法”設(shè)計了多項自由曲面結(jié)構(gòu)作品，在設(shè)計過程中探討了力學(xué)性能，但只局限于單個工程項目，沒有系統(tǒng)的研究.

本文以采用高度調(diào)整法優(yōu)化后的典型正負(fù)高斯曲率自由曲面為研究對象，研究內(nèi)力分布特性、荷載-位移曲線特征與破壞模式、初始缺陷的影響.結(jié)合實(shí)際工程，系統(tǒng)分析自由曲面結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性.

1 自由曲面模型數(shù)值模擬

1.1 本構(gòu)方程

采用有限元分析軟件ABAQUS塑性損傷模型進(jìn)行數(shù)值模擬.

采用材性受壓試驗的本構(gòu)方程[8]：

式中：Ec為彈性模量，Ec=2.66×104MPa；fc為立方體抗壓強(qiáng)度，fc=39.0 MPa；ε0為峰值應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變.

采用Reinhardt等在1985年提出的混凝土受拉應(yīng)力應(yīng)變公式[9]：

式中：ft為混凝土抗拉強(qiáng)度，ft=3.11 MPa；εtu為混凝土極限拉應(yīng)變，εtu=0.001；c1、c2為回歸系數(shù)，本文取c1=9.0，c2=5.0.

1.2 增加收斂手段

混凝土的本構(gòu)方程復(fù)雜，求解混凝土問題時會經(jīng)常遇到收斂問題，特別是自由曲面形狀復(fù)雜，網(wǎng)格不容易劃分，很容易出現(xiàn)數(shù)值奇異現(xiàn)象.采用的收斂手段歸納如下.

1）膨脹角采用30°，黏性系數(shù)采用0.000 5，打開Discontinuous analysis.

2）由于混凝土模擬難度較大，可以犧牲一些計算精度來達(dá)到收斂的目的，采用江見鯨等[10]的建議對力和位移收斂差放寬到2％～3％.

3）輸出單元和積分點(diǎn)在塑性算法中迭代步信息，修改迭代不收斂處網(wǎng)格尺寸的大小，避免網(wǎng)格劃分太稀疏或太密集而不收斂的現(xiàn)象.

1.3 試驗結(jié)果對比

圖1 豎向荷載-位移曲線Fig.1 Vertical load-displacement curve

采用文獻(xiàn)[8]的自由曲面結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，本構(gòu)方程采用前文所述，采用文獻(xiàn)[8]材性試驗的泊松比ν=0.268.如圖1所示為試驗值和數(shù)值計算值的豎向荷載F-位移δ全過程曲線.可以看出：試驗值和數(shù)值模擬值的差別較小，彈性段基本重合.結(jié)構(gòu)彈性剛度很大，荷載-位移全過程曲線沒有明顯下降段，與彈性段相比，結(jié)構(gòu)塑性發(fā)展段較長.自由曲面殼實(shí)測值的最大荷載為780k N，而對理想自由曲面殼的理論計算結(jié)果為870k N，兩者相差僅11％.

2 自由曲面結(jié)構(gòu)力學(xué)特性分析

盡管自由曲面結(jié)構(gòu)的形式多樣，但可以分解為一系列正負(fù)高斯曲率曲面.本文選擇典型自由曲面Ⅰ、Ⅱ來研究自由曲面的力學(xué)特性.

如圖2、3所示為典型自由曲面Ⅰ、Ⅱ的側(cè)視圖，平面投影均為正方形，邊長均為50 m.周邊鉸接約束，殼體厚度設(shè)為0.2 m，材性參數(shù)選擇1.1節(jié)的本構(gòu)方程.圖中，“+”表示正高斯曲率區(qū)，“-”表示負(fù)高斯曲率區(qū)，“+-”表示正負(fù)高斯曲率過渡區(qū).

圖2 典型自由曲面ⅠFig.2 Typical freeform surface（type I）

圖3 典型自由曲面ⅡFig.3 Typical freeform surface（typeⅡ）

2.1 內(nèi)力分布特性

圖4 模型I內(nèi)力分布云圖Fig.4 Contours of internal force model I

2.1.1 薄膜應(yīng)力分布特性 通過薄膜第一主應(yīng)力和第二主應(yīng)力來表達(dá)殼體結(jié)構(gòu)內(nèi)所產(chǎn)生的薄膜應(yīng)力分布特性.如圖4（a）、5（a）所示分別為模型I、模型II的薄膜第一主應(yīng)力與其平均值之比.從圖4（a）、5（a）可以看出，結(jié)構(gòu)在負(fù)高斯曲率區(qū)受拉作用大，與其他位置相比，負(fù)高斯曲率區(qū)兩側(cè)邊受拉作用更明顯.正高斯曲率區(qū)次之，而正高斯曲率區(qū)兩側(cè)邊與其他位置相比受拉作用很小.正負(fù)高斯曲率過渡區(qū)的第一主應(yīng)力很小，在模型II中此處受壓.如圖4（b）、5（b）所示分別為模型I、模型II的薄膜第二主應(yīng)力與其平均值之比.模型I的薄膜第二主應(yīng)力在正高斯曲率區(qū)受壓作用大，與其他位置相比，正高斯曲率區(qū)兩側(cè)邊受壓作用更明顯.在負(fù)高斯曲率區(qū)受壓作用較小，與其他位置相比，負(fù)高斯曲率區(qū)兩側(cè)邊受壓作用更?。ㄒ妶D4（b））.模型II的薄膜第二主應(yīng)力在高斯曲率過渡區(qū)受壓作用最大，正高斯曲率區(qū)域次之，負(fù)高斯曲率區(qū)域與負(fù)高斯曲率側(cè)邊最?。ㄒ妶D5（b））.結(jié)構(gòu)在正高斯曲率區(qū)可以看成拱的作用，大部分受壓；在負(fù)高斯曲率區(qū)可以看成懸索作用，大部分受拉.

圖5 模型II內(nèi)力分布云圖Fig.5 Contours of internal force model II

2.1.2 上、下表面第一主應(yīng)力分布特性 模型I結(jié)構(gòu)的上、下表面第一主應(yīng)力在負(fù)高斯曲率區(qū)都較大，正高斯曲率區(qū)域較小，見圖4（c）、（d）.下表面第一主應(yīng)力除正負(fù)高斯曲率過渡區(qū)外比同位置上表面第一主應(yīng)力大，高斯曲率過渡區(qū)下表面比上表面小，且上、下表面第一主應(yīng)力分布和薄膜應(yīng)力分布相近.模型II上、下表面的第一主應(yīng)力分布模式幾乎相同，說明結(jié)構(gòu)受彎作用很小，幾乎是純受拉壓結(jié)構(gòu)，見圖5（c）、（d）.結(jié)構(gòu)裂縫發(fā)生、發(fā)展過程與表面第一主應(yīng)力的分布模式相關(guān)，根據(jù)上、下表面第一主應(yīng)力分布特性可以推測裂縫發(fā)生過程.

2.1.3 彎曲內(nèi)力與薄膜內(nèi)力比分布特性 為了考察彎曲內(nèi)力在總內(nèi)力中所占的比重，定義彎曲內(nèi)力與薄膜內(nèi)力比：

式中：σi，j，t為殼體上表面單元應(yīng)力，σi，j，m為殼體中心面單元應(yīng)力.

當(dāng)i=j=1時，β1，1越大，表示結(jié)構(gòu)x向受彎作用越明顯，彎曲內(nèi)力所占比重越大，結(jié)構(gòu)抵抗荷載的效率越低；反之，則表示結(jié)構(gòu)x向受彎作用越小，彎曲內(nèi)力所占比重越小，結(jié)構(gòu)抵抗荷載的效率越高.當(dāng)i=j=2時，表示y向受彎作用；i=1、j=2表示受扭作用.

模型I結(jié)構(gòu)在正、負(fù)高斯曲率過渡區(qū)彎曲內(nèi)力與薄膜內(nèi)力比最大，其他位置很小，見圖4（e）～（g）.模型II與模型I的規(guī)律相類似，見圖5（e）～（g）.正高斯曲率區(qū)主要受壓，負(fù)高斯曲率區(qū)主要受拉，因此高斯曲率過渡區(qū)為拉壓應(yīng)力過渡區(qū)，結(jié)構(gòu)受彎較明顯.

2.2 荷載-位移曲線與結(jié)構(gòu)破壞模式

在實(shí)際工程設(shè)計過程中發(fā)現(xiàn)，自由曲面結(jié)構(gòu)的破壞形式以強(qiáng)度破壞為主，且缺陷對承載力的影響很小.利用本文的2種典型正負(fù)高斯自由曲面進(jìn)行分析.

圖6、7的均布荷載q-位移曲線沒有下降段，結(jié)構(gòu)破壞模式為強(qiáng)度破壞.與彈性段相比，結(jié)構(gòu)塑性發(fā)展段較長.結(jié)構(gòu)破壞荷載相對于彈性段荷載相差不大，說明結(jié)構(gòu)可以充分利用材料的強(qiáng)度.荷載位移曲線的特點(diǎn)和文獻(xiàn)[7]所得的試驗曲線特點(diǎn)相同，結(jié)構(gòu)有很大的剛度，結(jié)構(gòu)在使用荷載作用下，幾乎沒有變形，可以很好地滿足對結(jié)構(gòu)變形和裂縫有很高要求的結(jié)構(gòu)形式.

圖6 不同缺陷下自由曲面Ⅰ的荷載-位移曲線Fig.6 Load-displacement curves of freeform surface I under different imperfection conditions

圖7 不同缺陷下自由曲面Ⅱ的荷載-位移曲線Fig.7 Load-displacement curves of free-form surfaceⅡunder different imperfection conditions

2.3 初始缺陷的影響

高度調(diào)整法是通過調(diào)整節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)使結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小.當(dāng)計算收斂時，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的微小改變對結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能不產(chǎn)生影響，因此，自由曲面結(jié)構(gòu)對缺陷不敏感.

如圖6、7所示分別為結(jié)構(gòu)無缺陷和缺陷為0.1、0.25、0.5 m的荷載-位移全過程曲線，圖6、7和圖1的荷載-位移曲線規(guī)律是相同的，結(jié)構(gòu)對缺陷的影響很小.當(dāng)缺陷為0.5 m時，模型I和模型II的承載力分別比無缺陷承載力下降6.9％和9.4％.在正常設(shè)計和施工中可以不考慮缺陷的影響，這對結(jié)構(gòu)的設(shè)計者和施工者來說是非常方便的.

3 工程實(shí)例分析

在實(shí)際工程中，自由曲面形狀更自由多變而且約束條件復(fù)雜，因此采用實(shí)際工程來驗證結(jié)構(gòu)是否發(fā)生強(qiáng)度破壞和是否缺陷對結(jié)構(gòu)影響較小.算例采用筆者提出的高度調(diào)整法設(shè)計和優(yōu)化的工程實(shí)例來驗證所提觀點(diǎn).3.1和3.2節(jié)算例的材性參數(shù)采用1.1節(jié)公式且結(jié)構(gòu)承受均布荷載.不同缺陷情況下的荷載-位移全過程分析采用非線性本構(gòu)方程，內(nèi)力分布云圖分析采用線彈性本構(gòu)方程.

3.1 北方生涯學(xué)習(xí)中心

如圖8所示為北方生涯學(xué)習(xí)中心（2002年竣工），平面尺寸為40 m×54 m，殼體厚度為15 cm.

在實(shí)際工程中，由于約束條件復(fù)雜，不是簡單的四周約束，因此分析結(jié)構(gòu)應(yīng)力時要同時考慮約束條件.如圖9（a）所示為薄膜第一主應(yīng)力與其均值之比的分布云圖.薄膜第一主應(yīng)力在結(jié)構(gòu)負(fù)高斯曲率區(qū)和約束附近處較大，第二主應(yīng)力與其平均值之比絕對值在負(fù)高斯曲率區(qū)和約束附近處較小.在約束A 和H之間較大（見圖8（a）），A和H之間為正高斯曲率區(qū)，而且兩端約束，形成近似拱作用.上、下表面的第一主應(yīng)力分布模式類似，均與薄膜第一主應(yīng)力相近，說明上、中、下表面第一主應(yīng)力分布類似，從側(cè)面說明結(jié)構(gòu)主要受面內(nèi)應(yīng)力，彎矩作用較小.彎矩與薄膜內(nèi)力之比的β1，1、β2，2在約束處較大，β1，2在殼體正高斯曲率區(qū)較大.

如圖10所示為結(jié)構(gòu)在無缺陷和缺陷為0.1、0.25、0.5 m時的荷載-位移曲線.當(dāng)缺陷分別為0.1、0.25、0.5 m時，極限荷載分別是無缺陷荷載時的1.8％、2.6％、6.5％，對初始缺陷的影響很小.結(jié)構(gòu)的最大彈性豎向位移約為6.2 cm.

圖8 北方生涯學(xué)習(xí)中心Fig.8 Kitagata community center

圖9 北方生涯學(xué)習(xí)中心內(nèi)力分布云圖Fig.9 Contours of internal force of Kitagata community center

圖10 不同缺陷下的荷載-位移曲線Fig.10 Load-displacement curves under different imperfection conditions

3.2 日本Kakamigahara殯儀館

如圖11所示為日本Kakamigahara殯儀館（2006年竣工），平面尺寸為77 m×57 m，殼體厚度為15 cm.

如圖12（a）所示為薄膜第一主應(yīng)力與其均值之比的分布云圖.薄膜第一主應(yīng)力在負(fù)高斯曲率區(qū)較大，約束區(qū)E內(nèi)為正高斯曲率區(qū)且四周鉸接，相當(dāng)于四周鉸接的拱作用，第一主應(yīng)力為負(fù)值，受壓.薄膜第二主應(yīng)力在負(fù)高斯曲率區(qū)較小，上、下表面第一主應(yīng)力規(guī)律接近，都與薄膜的第一主應(yīng)力規(guī)律相同.由于存在多個點(diǎn)的鉸接約束，彎曲內(nèi)力與薄膜內(nèi)力之比的分布規(guī)律復(fù)雜，但大部分較小.

如圖13所示為結(jié)構(gòu)在無缺陷和缺陷為0.1、0.25、0.5 m時的荷載-位移曲線.當(dāng)缺陷分別為0.1、0.25、0.5 m時，極限荷載分別是無缺陷荷載時的1％、6.7％、11.8％.結(jié)構(gòu)的最大彈性豎向位移約為2.3 cm.

圖11 Kakamigahara殯儀館Fig.11 Crematorium in Kakamigahara

4 結(jié) 論

（1）薄膜第一主應(yīng)力在負(fù)高斯曲率區(qū)受拉大，正高斯曲率區(qū)小；薄膜第二主應(yīng)力在正高斯曲率區(qū)大，負(fù)高斯曲率區(qū)??；上、下表面第一主應(yīng)力的分布模型類似；結(jié)構(gòu)在正、負(fù)高斯曲率過渡區(qū)彎曲內(nèi)力與薄膜內(nèi)力比最大，其他位置很小.

圖12 日本Kakamigahara殯儀館內(nèi)力云圖Fig.12 Contours of internal force of crematorium in Kakamigahara

圖13 不同缺陷下的荷載-位移曲線Fig.13 Load-displacement curves under different imperfection conditions

（2）自由曲面結(jié)構(gòu)的受力合理、剛度大且有明顯的塑形段，荷載-位移曲線沒有下降段，破壞模式以強(qiáng)度破壞為主.

（3）自由曲面殼體結(jié)構(gòu)對缺陷很不敏感，在正常施工時，可以完全不考慮缺陷的影響，相比常規(guī)殼體更適合大跨空間結(jié)構(gòu).

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Mechanical property of free-form surface concrete structure

CUI Guo-yong1，CUI Chang-yu1，2，TU Gui-gang1

（1.School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin150090，China；2.Key Laboratory of Structures Dynamic Behavior and Control of China Ministry of Education，Harbin Institute of Technology，Harbin150090，China）

The finite element（FE）model of the free-form surface concrete structure was built using the FE analysis software ABAQUS by rationally selecting the constitute relationship of the concrete in order to study the mechanical properties.The correctness of the FE model was verified compared with the related experiments.Then the distribution characteristic of the internal force of the typical free-form surface structure，load-displacement curves，failure mode and initial imperfection were investigated.Results show that the first principle membrane stress was tensile stress with high value in negative Gauss curvature region while it was tensile stress with small value in positive Gauss curvature region.The second principle membrane stress was compressive stress with high value in positive Gauss curvature region while it was compressive stress with small value in negative Gauss curvature region.The first principle stress of both the top and bottom surface has similar distribution mode.The ratio between bending and membrane internal force is higher in the transition region between the positive and negative Gauss curvature region than the rest region.The loaddisplacement curve has no descent segment，meaning that the failure mode of the structure was strength failure.The initial imperfection has small influence on the structure.The mechanical analysis of two practical projects was performed to verify the correctness of the concluded mechanical properties.

shell structure；shape optimization；ABAQUS；freeform surface

TU 33；TU 311

A

1008-973X（2015）10-1960-07

2014-09-09.浙江大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn/eng

國家自然科學(xué)基金面上項目（50978075）.

崔國勇（1986—），男，博士生，從事自由曲面形狀優(yōu)化與力學(xué)性能的研究.ORCID：0000-0002-4147-9949.

E-mail：guoyonghit@163.com

崔昌禹，男，教授，博導(dǎo).ORCID：0000-0002-4245-7274.E-mail：cuichangyu1963@aliyun.com