多機(jī)器人并聯(lián)繩牽引系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)解

李 巍，趙志剛，石廣田，孟佳東

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州730070）

多機(jī)器人并聯(lián)繩牽引系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)解

李 巍，趙志剛，石廣田，孟佳東

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州730070）

對于多臺(tái)機(jī)器人通過繩索協(xié)同牽引負(fù)載的并聯(lián)系統(tǒng)，考慮了每個(gè)機(jī)器人與繩索的連接點(diǎn)具有任意移動(dòng)的3個(gè)平動(dòng)自由度的一般性情況.對該系統(tǒng)建立廣義性的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，分別利用牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.根據(jù)機(jī)器人、繩索、負(fù)載三者之間的關(guān)系，分成三大類問題，從方程是否有解的角度，分別對各類問題下解的情況進(jìn)行分析.從實(shí)際應(yīng)用的角度，討論各種情況下解的處理方法.對于無解或無窮解時(shí)，提出解決方法.對于有解時(shí)，提出舍去不符合設(shè)計(jì)要求的解的方法.若存在多組解，則提出一個(gè)尋找最優(yōu)解的方法.通過舉例仿真驗(yàn)證系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型并說明解的處理方法.

多機(jī)器人系統(tǒng)；繩牽引系統(tǒng)；運(yùn)動(dòng)學(xué)；動(dòng)力學(xué)

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，為了滿足一些應(yīng)用場合的任務(wù)需求，需要多機(jī)器人間協(xié)同作業(yè).在實(shí)際應(yīng)用中可能遇到多機(jī)器人對一大重物的拖曳、吊運(yùn)、調(diào)整重物姿態(tài)等操作，該類多機(jī)器人系統(tǒng)的特點(diǎn)是通過繩索將負(fù)載與機(jī)器人相連，其工作特點(diǎn)類似并聯(lián)機(jī)器人，因此可以看成繩牽引并聯(lián)機(jī)器人.該類系統(tǒng)具有低轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、承載能力強(qiáng)、工作空間大、響應(yīng)速度快、可重構(gòu)和模塊化設(shè)計(jì)等特點(diǎn).

20世紀(jì)80年代，Landsberger[1]首先設(shè)計(jì)了一種用于海下作業(yè)的3自由度繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對此機(jī)構(gòu)進(jìn)行了力學(xué)分析及控制.Ming等[2]首次提出將繩牽引并聯(lián)機(jī)器人分為兩大類：1）當(dāng)m≤n時(shí)，為不完全約束定位機(jī)構(gòu)（IRPM）.其中，m為繩的根數(shù)，n為定位物體的自由度數(shù)；2）當(dāng)m≥1+n時(shí)，為完全約束定位機(jī)構(gòu)（CRPM）.Ming等[2]考慮的機(jī)構(gòu)是繩的一端連在負(fù)載上，另一端是通過固定不動(dòng)的滑輪連接馬達(dá)，而不是連在能夠移動(dòng)的機(jī)器人上，因此需要做成特定的機(jī)構(gòu)，并且只能通過變化繩長來實(shí)現(xiàn)負(fù)載的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)負(fù)載的工作空間不具有擴(kuò)展性.Yamamoto等[3-4]研究的不完全約束機(jī)構(gòu)與Yu 等[5]研究的3種6自由度繩牽引門式起重機(jī)機(jī)器人機(jī)構(gòu)類似，都是繩的一端連在有軌電車上，電車能夠在導(dǎo)軌上沿著一個(gè)方向移動(dòng)，這樣繩與電車的連接點(diǎn)具有一個(gè)自由度，但有一定的局限性.Kumar 等[6-9]建立了m臺(tái)四旋翼無人機(jī)通過繩索協(xié)同吊運(yùn)負(fù)載的靜平衡方程，其中每個(gè)無人機(jī)具有3個(gè)自由度，但對此系統(tǒng)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，主要考慮的是3臺(tái)無人機(jī)的情況；因此，并未分析該類系統(tǒng)有解的必要條件.

針對上述文獻(xiàn)中的一些不足，有必要考慮一般性情況.本文研究的m（m≥1）臺(tái)機(jī)器人通過繩索協(xié)同牽引負(fù)載的并聯(lián)系統(tǒng)，是在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，考慮每個(gè)機(jī)器人與繩索的連接點(diǎn)具有3個(gè)平動(dòng)自由度的一般性情況.每個(gè)機(jī)器人與一根繩索相連，負(fù)載具有n（1≤n≤6）個(gè)自由度，繩長可以變化，也可以不變.于是，每個(gè)機(jī)器人具有任意移動(dòng)性，系統(tǒng)變得更加靈活，負(fù)載的工作空間可大可小.系統(tǒng)中的機(jī)器人間可以隨意重組，這樣機(jī)器人不局限于特定的機(jī)構(gòu)，可以是有特定導(dǎo)軌的吊運(yùn)車、底座固定的串聯(lián)機(jī)器人、地面上移動(dòng)的機(jī)器人，也可以是空中飛行的無人機(jī)等.本文對該系統(tǒng)建立廣義的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程，分析機(jī)器人個(gè)數(shù)與負(fù)載自由度個(gè)數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)達(dá)到有解的必要條件，提出對于無解和無窮解情況時(shí)的一些解決方法和一個(gè)尋找最優(yōu)解的方法.

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立

m臺(tái)機(jī)器人通過繩索協(xié)同牽引負(fù)載如圖1所示，由m根繩和1個(gè)n自由度負(fù)載組成.本文重點(diǎn)研究的是繩索與機(jī)器人連接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，未考慮機(jī)器人本身，因此可以把機(jī)器人看成質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行分析.由于機(jī)器人看成質(zhì)點(diǎn)，繩索與機(jī)器人的連接點(diǎn)Pm即機(jī)器人的位置，通過機(jī)器人位置的變化和繩長的變化來實(shí)現(xiàn)對負(fù)載的牽引.負(fù)載指的是多繩牽引的不發(fā)生變形的剛性物體.繩索與負(fù)載的連接點(diǎn)分別用Bm表示.在地面上建立全局坐標(biāo)系O-XYZ，在負(fù)載的質(zhì)心上建立局部坐標(biāo)O＇-X＇Y＇Z＇.

圖1 繩牽引系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of cable-driven system

負(fù)載質(zhì)心O＇在全局坐標(biāo)系的位置為

局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系X軸、Y軸、Z軸的歐拉角分別為γ、β、α，則局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為

式中：c表示cos，s表示sin.

繩索與機(jī)器人的連接點(diǎn)Pm在全局坐標(biāo)系的位置表示為Pm=[xPm，yPm，zPm]T，繩索與負(fù)載的連接點(diǎn)Bm在全局坐標(biāo)系的位置表示為Bm=[xBm，yBm，zBm]T.設(shè)bm是Bm在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則可得

由Pm、Bm可得繩長公式：

將式（1）～（3）代入式（4）可以得到負(fù)載的位置、歐拉角與Pm之間的關(guān)系，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.同時(shí)可以得到推論1：m根繩（即m臺(tái)機(jī)器人）能夠建立m個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.

2 動(dòng)力學(xué)方程的建立

分別利用牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，來驗(yàn)證推論2.

2.1 基于牛頓-歐拉方程的動(dòng)力學(xué)

每根繩用零節(jié)距的單位旋量在全局坐標(biāo)系下表示為

設(shè)負(fù)載的質(zhì)量為M，則重力用零節(jié)距的單位旋量在全局坐標(biāo)系表示為

負(fù)載在全局坐標(biāo)系的速度和角速度分別為v、ω，則

負(fù)載在局部坐標(biāo)系中的慣性矩陣為I，則在全局坐標(biāo)系中的慣性矩陣為

設(shè)每根繩的張力分別為T1，T2，…，Tm，對負(fù)載利用牛頓-歐拉方程[10]可得

式中：I3為3×3單位矩陣.

聯(lián)立式（5）～（10）可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

2.2 基于拉格朗日方程的動(dòng)力學(xué)

負(fù)載質(zhì)心的動(dòng)能為

負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

負(fù)載的總動(dòng)能為

負(fù)載的重力勢能為

建立廣義坐標(biāo)qi分別為x、y、z、α、β、γ的拉格朗日方程：

作用在負(fù)載上的廣義力為

繩長向量為

系統(tǒng)的雅可比矩陣為

繩的拉力向量為

利用虛功原理[11]可得

聯(lián)立式（11）～（21）可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

通過2.1節(jié)和2.2節(jié)所建立的動(dòng)力學(xué)方程都可以轉(zhuǎn)換成AT=C的形式，其中A為n×m的矩陣，A與繩向量有關(guān).T為m×1的繩拉力矩陣.由此可以得到推論2：無論是牛頓-歐拉方程還是拉格朗日方程，負(fù)載有n個(gè)自由度能夠建立n個(gè)動(dòng)力學(xué)方程.

3 關(guān)于三類問題的解的討論

由于每個(gè)機(jī)器人與繩索的連接點(diǎn)具有3個(gè)平動(dòng)自由度，有m（m≥1）臺(tái)機(jī)器人，故機(jī)器人共有3m個(gè)變量.有m根繩，故繩長變量有m個(gè)，拉力變量有m個(gè).負(fù)載有n個(gè)自由度，故有n（1≤n≤6）個(gè)變量.

以下討論中的前提條件是除了一些變量給定固定值外，其他變量默認(rèn)都與時(shí)間t之間存在關(guān)系.需要特別說明的是，研究的系統(tǒng)處于非奇異狀態(tài)，同時(shí)利用了文獻(xiàn)[2]的一些結(jié)論.本節(jié)僅是從數(shù)學(xué)的角度，討論了各類問題下解的情況，一般須考慮動(dòng)力學(xué)，判斷繩的拉力是否滿足要求.4章將詳細(xì)討論求解的方法.

根據(jù)機(jī)器人、繩索、負(fù)載三者的關(guān)系，可以分成三大類問題，詳述如下.

3.1 正問題

3.1.1 繩長未知

1）正運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩長.機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)指的是機(jī)器人的3m個(gè)變量.負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)指的是負(fù)載的n個(gè)變量.以下同理.

根據(jù)第2章的推論可知，m臺(tái)機(jī)器人能夠建立m個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，故方程數(shù)為m個(gè).未知變量為負(fù)載的自由度和繩長變量，共有m+n個(gè).由于m＜m+n，方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，該類情況存在無窮解.以下同理.

2）加入正動(dòng)力學(xué)：已知機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、繩長和繩的拉力.

根據(jù)第2章的結(jié)論可知，無論是牛頓-歐拉方程還是拉格朗日方程，負(fù)載有n個(gè)自由度能夠建立n個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，加入動(dòng)力學(xué)方程后，總方程數(shù)為m+ n個(gè).未知變量為負(fù)載的自由度、繩長變量和拉力變量，故共有m+m+n個(gè).由于m+n＜m+m+n，方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，該類情況存在無窮解.以下討論方法同理.可得推論3：當(dāng)繩長未知時(shí)，無論正運(yùn)動(dòng)學(xué)還是加入正動(dòng)力學(xué)，都存在無窮解.

3.1.2 繩長已知 繩長已知指的是繩的長度不變且已知，也可以是繩長隨時(shí)間t變化的函數(shù)已知.

1）正運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩長求負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程數(shù)為m個(gè)，未知變量為負(fù)載的自由度，共n個(gè).可以得到推論4：當(dāng)繩長已知時(shí)，正運(yùn)動(dòng)學(xué)中，當(dāng)m=n時(shí)，方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，該類情況有解.當(dāng)m＞n時(shí)，方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)，為了獲得解，考慮（m-n）根的繩長未知，可以得到解.當(dāng)m＜n時(shí)，方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，存在無窮解.

2）加入正動(dòng)力學(xué)：已知機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩長求負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩的拉力.

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程總數(shù)為m+n個(gè)，未知變量為負(fù)載的自由度和拉力，共m+n個(gè).由于m+n=m+n，可以得到推論5：當(dāng)繩長已知時(shí)，聯(lián)立正運(yùn)動(dòng)學(xué)和正動(dòng)力學(xué)，無論m、n滿足什么關(guān)系，該類情況都有解.

3.2 逆問題

3.2.1 繩長未知

1）逆運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩長.

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程數(shù)為m個(gè)，未知變量為機(jī)器人的變量和繩長變量，共m+3m個(gè).由于m＜4m，方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，該類情況存在無窮解.

2）加入逆動(dòng)力學(xué)：已知負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、繩長和繩的拉力.

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程總數(shù)為m+n個(gè)，未知變量為機(jī)器人的變量、繩長變量和拉力變量，共3m+m+m個(gè).為了獲得解，m+n=3m+m+m，即n=4m.由于m≥1、1≤n≤6且m、n都為正整數(shù)，只有當(dāng)m=1，n=4時(shí)，有解.當(dāng)m=1，n=5、6時(shí)，可能有解.除上述情況外，方程個(gè)數(shù)都小于未知量個(gè)數(shù)，因此存在無窮解.

3.2.2 繩長已知

1）逆運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩長求機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程數(shù)為m個(gè)，未知變量為機(jī)器人的變量，共3m個(gè).由于m＜3m，方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，該類情況存在無窮解.

2）加入逆動(dòng)力學(xué)：已知負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩長求機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和繩的拉力.

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程總數(shù)為m+n個(gè)，未知變量為機(jī)器人的變量和拉力變量，共3m+m個(gè).為了獲得解，m+n=3m+m，即n=3m.由于m≥1，1≤n≤6且m、n都為正整數(shù)，只有當(dāng)m=1，n=3和m=2，n=6時(shí)有解.當(dāng)m=1，n=4、5、6時(shí)，可能有解.除上述情況外，方程個(gè)數(shù)都小于未知量個(gè)數(shù)，因此存在無窮解.

通過上面的分析可以得到推論6：在逆問題中，除了少數(shù)幾種情況有解或可能有解，大部分情況下，方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，存在無窮解.在實(shí)際應(yīng)用中，逆問題的求解比較重要，因此在4章中將詳細(xì)敘述解決方法.

3.3 特殊情況

1）運(yùn)動(dòng)學(xué)：已知機(jī)器人和負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求繩長.

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程數(shù)為m個(gè)，未知變量為繩長變量，共m個(gè).由于m=m，且從式（1）～（4）可以看出，繩長公式里根號(hào)下全已知，因此可以得到推論7：特殊情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)中有解且唯一，如果已知的是機(jī)器人和負(fù)載的變量的解析式，那么可以得到繩長唯一的解析式.

2）加入動(dòng)力學(xué)：已知機(jī)器人和負(fù)載的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求繩長和繩的拉力.

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程總數(shù)為m+n個(gè)，未知變量為繩長變量和拉力變量，共m+m個(gè).可以得到推論8：特殊情況中聯(lián)立運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)后，當(dāng)m+n=m+m，即n=m時(shí)，該類情況有解.當(dāng)n＞m 時(shí)，可能有解.當(dāng)n＜m時(shí)，有無窮解.

4 求解方法

第3章僅從數(shù)學(xué)中方程是否有解的角度，討論了各類問題下解的情況，分為無窮解、有解、可能有解3種情況.本節(jié)從實(shí)際應(yīng)用角度，討論求解的方法，其中解方程組、4.3節(jié)解的判斷和4.4節(jié)尋找最優(yōu)解的方法都可以通過編程實(shí)現(xiàn)，求解方法詳細(xì)描述如下.

1）先確定已知條件和未知條件，根據(jù)第3章的分類，確定屬于哪一類問題.

2）利用第3章中的推論3～8，根據(jù)機(jī)器人個(gè)數(shù)m與負(fù)載自由度個(gè)數(shù)n滿足什么關(guān)系，判斷是否達(dá)到有解的條件.

3）若屬于無窮解的情況，則按4.1節(jié)進(jìn)行處理.若屬于可能有解的情況，則按4.2節(jié)進(jìn)行處理.通過上述處理后，使之達(dá)到滿足有解的條件.

4）在達(dá)到有解的條件后，將已知條件代入式（1）～（4）聯(lián)立得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和式（5）～（10）或式（11）～（21）聯(lián)立得到的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解.

5）除了3.3節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)中能夠獲得唯一解析式外，3章中其他問題一般得不到解析式，且大部分是多組數(shù)值解，因此從實(shí)際應(yīng)用的角度需要對解進(jìn)行判斷，判斷方法見4.3節(jié).

6）對解判斷后，會(huì)有以下3種結(jié)果.

a）在比較多的時(shí)刻沒有滿足要求的解，此時(shí)需要調(diào)整已知條件，重新求解.

b）對解判斷后，一些時(shí)刻仍存在多組解.在正問題中，若得到多組解，則可以得到負(fù)載在空間可能的位置.在逆問題中，若得到多組解，則需要尋找最優(yōu)解，具體方法見4.4節(jié).

c）在少量個(gè)別時(shí)刻無解，考慮插入平均值.若其他某些時(shí)刻有多組解，則按b）中的結(jié)果處理.

4.1 無窮解的情況

對于無窮解的情況，可以考慮添加約束k個(gè)，減少未知量的個(gè)數(shù)，使方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，從而獲得解.其中對一個(gè)變量的限制即一個(gè)約束.變量的限制可以是變量具體值已知、隨時(shí)間t變化的函數(shù)已知、也可以是各變量之間滿足什么關(guān)系.如m根繩的張力始終相等，大小未知，相當(dāng)于添加了m-1個(gè)約束.

例如，在3.2節(jié)的逆問題中，大部分情況下存在無窮解.在實(shí)際應(yīng)用中，逆問題比較重要，因此考慮添加約束，從而獲得解.在3.2.1節(jié)中繩長未知時(shí)，加入動(dòng)力學(xué)后，方程總數(shù)為m+n，未知量總數(shù)為3m+m+m.添加k個(gè)約束，使m+n=3m+ m+m-k，從而獲得解.此時(shí)，約束k可以是對機(jī)器人的自由度限制、繩長限制和繩的張力限制.在3.2.2節(jié)繩長已知時(shí)，加入動(dòng)力學(xué)后，方程總數(shù)為m+ n，未知量總數(shù)為3m+m.添加k個(gè)約束，使m+n= 3m+m-k，從而獲得解.此時(shí)，約束k可以是對機(jī)器人的自由度限制和繩的張力限制，此時(shí)的情況可以看作是在3.2.1節(jié)繩長未知時(shí)的基礎(chǔ)上多添加了m個(gè)約束.

4.2 可能有解的情況

可能有解的原因是方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)，造成方程約束過多，有2種結(jié)果——有解或無解.此

式中：s表示經(jīng)過上面解的判斷后滿足要求的解，s的上標(biāo)表示時(shí)刻，下標(biāo)表示此時(shí)刻滿足要求的第幾個(gè)解；N為總共相減的次數(shù)，即圓括號(hào)的個(gè)數(shù).

若s為機(jī)器人坐標(biāo)值，則Δ表示機(jī)器人整體平均速度的倍數(shù)，用來考慮機(jī)器人軌跡是否平滑.若s為繩的拉力，則Δ表示繩的拉力整體平均變化值的倍數(shù)，用來考慮繩的拉力變化是否平滑.若s為繩長，則Δ表示繩長整體平均速度的倍數(shù)，用來考慮繩長變化是否平滑.

2）每個(gè)變量的多組數(shù)值解經(jīng)過4.3節(jié)的處理后，必定在一些時(shí)刻數(shù)值解的個(gè)數(shù)小于其他時(shí)刻.從解的個(gè)數(shù)最少時(shí)刻出發(fā)，分別向上和向下，選擇兩時(shí)刻解的差值離Δ最接近的值.于是，每個(gè)變量能夠選出少量幾條解，由于各個(gè)變量之間的解存在對應(yīng)的關(guān)系，各個(gè)變量對應(yīng)的解也能被選出來.

3）由于每個(gè)變量都有一個(gè)Δ，多個(gè)變量可以選出多條解.此時(shí)，可以考慮從下面幾點(diǎn)中選出最優(yōu)解，下面幾點(diǎn)也可以并用.

a）從實(shí)際控制的角度來考慮，比較機(jī)器人軌跡平滑度、繩長變化平滑度、繩拉力變化平滑度等哪個(gè)更重要，這樣便于控制，從而選出最優(yōu)解.

b）直觀比較哪個(gè)圖更平滑，從而選出最優(yōu)解.

c）比較每個(gè)變量的|Δ|的值，選擇|Δ|最小的作為最優(yōu)解，|Δ|越小，說明變量的值整體變化程度越小，或者在步驟2）中選出的幾條解的基礎(chǔ)上求Δ，再比較每個(gè)變量的|Δ|的值，從而選出最優(yōu)解.時(shí)，需要具體情況具體分析.若無解，則可以考慮減少已知變量的個(gè)數(shù)，使方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，從而獲得解.

4.3 解的判斷

1）從解中舍去虛數(shù)解、繩的拉力小于等于零和超過繩的張力極限的情況.各個(gè)變量之間的解存在對應(yīng)的關(guān)系，因此對應(yīng)的解要舍去.

2）從解中舍去同一時(shí)刻各個(gè)機(jī)器人間有相同的坐標(biāo)點(diǎn)的解，否則機(jī)器人會(huì)碰在一起，還要舍去繩索交錯(cuò)在一起的解.各個(gè)變量之間對應(yīng)的解要舍去.

3）從解中舍去不符合設(shè)計(jì)前提條件的解，各個(gè)變量之間對應(yīng)的解要舍去.例如，算出來的機(jī)器人位置超出了設(shè)計(jì)范圍.

4.4 尋找最優(yōu)解的方法

1）先求出目標(biāo)函數(shù)：

5 實(shí)例仿真

在實(shí)際應(yīng)用中，3.2節(jié)的逆問題和3.3節(jié)的特殊情況問題應(yīng)用較多，本節(jié)將分別舉例仿真說明.5.1 逆問題仿真

根據(jù)3.2節(jié)的推論可知，無論是逆運(yùn)動(dòng)學(xué)還是加入逆動(dòng)力學(xué)，3根繩牽引6自由度負(fù)載，存在無窮解.按照4.1節(jié)的思想可知，運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程總共9個(gè)，假設(shè)繩長變化且未知，這樣繩長變量和拉力變量共6個(gè)，還有3個(gè)變量.考慮每個(gè)機(jī)器人都有一個(gè)變量，如3個(gè)機(jī)器人都走直線，行走的位移為變量.機(jī)器人可以是門式起重機(jī)中的電車[5]，也可以是底座固定的串聯(lián)機(jī)器人或是其他移動(dòng)機(jī)器人等.可以考慮3個(gè)機(jī)器人的初始位置E1（2.5，51.5）、E2（-2.5，5，1.5）成正三角形，邊長D=5 m.3個(gè)機(jī)器人分別行走的位移為S1、S2、S3，位移與全局坐標(biāo)系XOY面平行，示意圖如圖2所示.

設(shè)負(fù)載是一個(gè)正三角形，頂點(diǎn)分別為B1、B2、B3，也是繩索與負(fù)載的連接點(diǎn).質(zhì)量M=1kg，負(fù)載質(zhì)心O＇到頂點(diǎn)的距離d=0.1 m.設(shè)負(fù)載質(zhì)心O＇在全局坐標(biāo)系中期望的軌跡方程和負(fù)載的姿態(tài)角方程如下：

可得如圖3所示期望的軌跡.該軌跡有6個(gè)自由度.

圖2 3臺(tái)機(jī)器人位移示意圖Fig.2 Displacement schematic diagram of three robots

圖3 逆問題仿真：負(fù)載期望的軌跡Fig.3 Desired trajectory of payload for inverse case simulation

圖4 逆問題仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of inverse case

聯(lián)立第1、2章建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程組，解出每個(gè)變量每個(gè)時(shí)刻有8個(gè)值.按照4.3節(jié)的方法對解進(jìn)行處理后，發(fā)現(xiàn)剩余的解在同一時(shí)刻是相同的，因此，得出每個(gè)變量每個(gè)時(shí)刻只有一個(gè)解.繩長隨時(shí)間變化的曲線如圖4（a）所示，拉力變化的曲線如圖4（b）所示.每個(gè)機(jī)器人的位移變化曲線如圖4（c）所示.

從圖3和式（23）可以看出，負(fù)載在向E3點(diǎn)方向靠近；從圖4（c）可以看出，機(jī)器人2在向E3點(diǎn)方向靠近，因此在圖4（a）上反映出繩2和繩3的長度整體呈減少的趨勢，繩1的長度呈增加的趨勢.由于負(fù)載在向E3點(diǎn)方向靠近，圖4（c）中機(jī)器人3的位移減少.負(fù)載在X、Y軸負(fù)方向作加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)向Z軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，因此繩與Z軸正方向的夾角減少.為了平衡X、Y軸方向的加速度，所需的拉力會(huì)變大，所以在圖4（b）中反映出3根繩的拉力都呈變大的趨勢.

5.2 特殊情況仿真

對于軌跡已知的地面上移動(dòng)的機(jī)器人或空中飛行的無人機(jī)等牽引有期望軌跡的負(fù)載時(shí)，只能通過變化繩長來實(shí)現(xiàn)，因此可以利用3.3節(jié)的推論.如3臺(tái)移動(dòng)機(jī)器人要牽引6自由度負(fù)載，根據(jù)3.3節(jié)的推論7可知，運(yùn)動(dòng)學(xué)中能夠得到唯一解，但為了確認(rèn)負(fù)載期望軌跡能夠?qū)崿F(xiàn)，加入動(dòng)力學(xué)，再根據(jù)推論8可知，自由度數(shù)多于繩數(shù)，可能會(huì)無解，如下文的實(shí)例仿真無法直接得到解.為了保證有解，考慮將負(fù)載的6個(gè)自由度分2步進(jìn)行，先平動(dòng)3個(gè)自由度再姿態(tài)變化3個(gè)自由度.

設(shè)3臺(tái)移動(dòng)機(jī)器人保持正三角形隊(duì)形平行于全局坐標(biāo)系XOY平面，且向Y軸正方向移動(dòng)，三角形邊長D=5 m，3個(gè)機(jī)器人P1、P2、P3的坐標(biāo)方程為

設(shè)負(fù)載是正三角形，參數(shù)與5.1節(jié)相同.負(fù)載質(zhì)心O＇在全局坐標(biāo)系中期望的軌跡方程和負(fù)載的姿態(tài)角方程如下：

式（24）將負(fù)載的6個(gè)自由度分解成平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)2步進(jìn)行，則得到如圖5所示期望的軌跡.

圖5 特殊情況仿真：負(fù)載期望的軌跡Fig.5 Desired trajectory of payload for special case

聯(lián)立第1、2章建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程組，解出每個(gè)變量每個(gè)時(shí)刻只有1個(gè)值.繩長隨時(shí)間變化的曲線如圖6（a）所示，拉力變化的曲線如圖6（b）所示.

圖6 特殊情況仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of special case

從圖5和式（24）可以看出，負(fù)載在0～5 s內(nèi)的軌跡是隨著機(jī)器人一起移動(dòng)的螺旋線，因此在圖6中繩長和拉力變化都類似于正弦或余弦曲線.圖6（a）中，3條曲線在0～5 s時(shí)都呈下降的趨勢，是因?yàn)樨?fù)載有Z軸正方向的速度，離機(jī)器人越來越近，所以繩長有變小的趨勢.圖6（b）中，3條曲線在0～5 s時(shí)都呈上升的趨勢，是因?yàn)槔K與Z軸正方向的夾角增大，繩的拉力Z軸正方向的分力有減少的趨勢；為了克服重力，所以繩的拉力有變大的趨勢.在第5 s時(shí)刻，負(fù)載的軌跡發(fā)生變化，因此圖6（b）中的拉力會(huì)發(fā)生突變，但2個(gè)軌跡是對接的，所以圖6（a）中的繩長不會(huì)發(fā)生突變.在5～10 s內(nèi)，負(fù)載隨著機(jī)器人一起移動(dòng)僅作姿態(tài)的變化，且變化角度不大，因此在圖6中，繩長和拉力變化都平緩.

6 結(jié) 論

（1）對該系統(tǒng)建立了廣義的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程，通過分析得到推論1：m個(gè)機(jī)器人能夠建立m個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.推論2：負(fù)載有n個(gè)自由度就能建立n個(gè)動(dòng)力學(xué)方程.

（2）根據(jù)機(jī)器人、繩索、負(fù)載三者的關(guān)系，進(jìn)行三大類的劃分；然后分別討論各種情況下機(jī)器人個(gè)數(shù)與負(fù)載自由度個(gè)數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)解的情況，即推論3～8.

（3）對于無窮解和可能有解時(shí)，提出一些求解方法，考慮添加或減少約束，使方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，從而獲得解.對于存在多組解時(shí)，提出了舍去不符合設(shè)計(jì)實(shí)際要求的解的判斷方法和一個(gè)尋找最優(yōu)解的方法.

本文未詳細(xì)討論防止繩索交錯(cuò)的方法，僅是從解上判斷.在設(shè)計(jì)時(shí)，須提前考慮每個(gè)機(jī)器人的空間范圍，負(fù)載的姿態(tài)角不宜偏轉(zhuǎn)過大，來防止繩索交錯(cuò).本文的研究結(jié)果將為多機(jī)器人繩牽引系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案提供參考，同時(shí)用于進(jìn)一步研究系統(tǒng)的剛度、穩(wěn)定性分析和系統(tǒng)的控制等.

（

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Solutions ofkinematics and dynamics for parallel cable-driven system with multi-robots

LI Wei，ZHAO Zhi-gang，SHI Guang-tian，MENG Jia-dong

（School of Mechatronic Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

The general situation of connection point that has three translational degrees of freedom with free movement between each robot and the cable was considered for the parallel system of multi-robots cooperatively towing a payload by cables.The generalizedkinematic equations of the system were established，and the dynamic equations of the system were established by respectively using the Newton-Euler equation and Lagrange equation.The system was divided into three types of issues according to relation among robots，cables and payload.The situations of solution to allkinds of issues were respectively analyzed from the view whether equations have solutions.Then the processing method was discussed in each case from the view of practical application.When there were no solution or infinite solutions，some solving methods were proposed.When there were solutions，the method of removing the solutions that don’t meet the design requirements was proposed.If there were multiple groups of solutions，a method of searching for optimal solution was proposed.Thekinematic and dynamic model were verified by simulation examples，and the processing method of the solutions was illustrated.

multi-robots system；cable-driven system；kinematics；dynamics

TP242

A

1008-973X（2015）10-1916-08

2015-03-05.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn/eng

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51265021）；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20126204120004）；甘肅省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（1212RJZA067）；教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目（212184）.

李?。?988—），男，碩士生，從事多機(jī)器人技術(shù)和復(fù)雜系統(tǒng)建模的研究.E-mail：skhkzxx@163.com

趙志剛，男，教授.ORCID：0000-0002-5998-891X.E-mail：zhaozhg@mail.lzjtu.cn