傳感器參數(shù)誤差下的運動目標TDOA/FDOA無源定位算法

孫霆，董春曦

西安電子科技大學 電子工程學院，西安 710071

近年來，無源定位算法由于其本身不輻射電磁信號，具有電磁隱蔽性[1]等優(yōu)點受到了國內外學者的廣泛關注，它已經(jīng)被大量應用在無線傳感器網(wǎng)絡、雷達、麥克風陣列以及聲吶系統(tǒng)[2-9]等領域中。無源定位技術可以歸納為依靠傳感器網(wǎng)絡獲取不同類型的觀測量進行求解，這些觀測量主要包括到達時間(Time of Arrival,TOA)、到達時間差(Time Difference of Arrival,TDOA)、到達角(Angle of Arrival,AOA)、以及上述參數(shù)的相互結合。當運動目標或者傳感器與目標之間存在相對運動關系時，還可以利用到達頻率差(Fequency Difference of Arrival,FDOA)觀測量對目標的位置以及速度進行估計。

本文主要針對運動目標無源定位算法進行研究。由于其相關的最大似然問題存在高度的非線性以及非凸性，因此尋找全局最優(yōu)解變得十分困難。為此，國內外學者提出了大量的算法：線性化的最大似然估計(Maximum Likelihood Estimation,MLE)[10-11]是解決定位問題十分有效的算法，但是這種算法的性能以及收斂性依賴于一個好的初始位置值，一旦該值選取較差其性能也會變差。為了克服這個問題，Ho和Xu提出了著名的兩步加權最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares,TSWLS)算法[12]，TSWLS算法第1步引入額外變量并且建立了偽線性方程，隨后給出了加權最小二乘(Weighted Least Squares,WLS)解，第2步利用額外變量與目標位置的關系建立了新的等式方程以提高定位精度。雖然TSWLS算法實時性較高，但是在定位精度方面還有待進一步提高；半定松弛(SeminDefine Relaxation,SDR)算法[13-14]首先將定位問題描述為具有二次約束條件的優(yōu)化問題，隨后利用合理的近似以及適當?shù)乃沙跅l件將其轉化為了半定規(guī)劃(SeminDefine Programming,SDP)問題，最后利用優(yōu)化工具箱給出了具有高精度的估計值。但是這個問題的計算復雜度較高，需要在實時性以及精度兩者之間進行較好的折中。文獻[15]給出了一種基于定位誤差修正的算法，第1步與傳統(tǒng)的TSWLS相同，第2步對估計誤差做了修正并給出了最終的定位估計值。文獻[16]首先將定位問題描述為具有二次約束條件的二次規(guī)劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming,QCQP)問題，隨后利用WLS的解，將二次約束轉化為了線性約束，即將QCQP問題轉化為了線性約束二次規(guī)劃(Linearly Constrained Quadratic Programming,LCQP)問題；最后利用廣義逆矩陣的性質對LCQP問題求解，并且形成一種迭代算法，這種算法具有閉式解的優(yōu)點，同時在高斯噪聲模型下，其定位性能優(yōu)于現(xiàn)存的技術。

除上述提到的非凸性以及非線性問題，傳感器參數(shù)存在誤差時也會對無源算法的性能產(chǎn)生較大的影響，文獻[17]詳細闡述了不考慮傳感器參數(shù)誤差時產(chǎn)生的影響并且將TSWLS算法擴展到了存在傳感器參數(shù)誤差時的場景中；隨后文獻[18]中的TSWLS在其基礎上進一步提高了算法精度，并且該算法適用非相交多源的定位解算。文獻[13]中的SDR算法同樣給出了一種考慮了傳感器參數(shù)誤差的情況，但是SDR算法計算復雜度遠高于TSWLS算法。而近幾年，文獻[19-20]分別提出了存在傳感器位置誤差情況下改進的TSWLS算法以及多維標度(MultiDimensional Scaling,MDS)算法；但是，這些算法是基于TDOA觀測量對目標定位解算，并不能應用到對運動目標參數(shù)估計的場景之中。因此針對存在傳感器參數(shù)誤差的情況下，研究一種運動目標無源定位的閉式算法十分有必要。

本文主要針對TDOA/FDOA運動目標定位場景，在考慮了傳感器存在參數(shù)誤差的情況下，提出了一種改進的兩步加權最小二乘算法；該算法分為兩步，其中第1步與文獻[18]中經(jīng)典的TSWLS算法第1步相同，首先引入了輔助向量，并且建立了偽線性方程，給出了輔助向量的WLS解；第2步中，與文獻[18]有所區(qū)別，利用輔助向量中額外變量與目標參數(shù)之間的關系，構造了新的等式方程，并且利用WLS給出最終解。理論分析表明該算法在測量噪聲較小時下可以實現(xiàn)克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound,CRLB)[21]，并且該算法仍然是閉式解，計算復雜度與TSWLS算法相當，遠小于SDR算法。此外，經(jīng)過適當?shù)木S度調整，該算法同樣適用于對多非相交源的定位場景。仿真實驗驗證了所提算法的有效性。

1 定位場景

(1)

將所有可利用的傳感器位置和速度值使用向量形式表示為

(2)

(3)

式中：總的測量噪聲向量Δβ服從零均值高斯分布，其協(xié)方差矩陣為E(ΔβTΔβ)=Qβ。

不失一般性地，選取第1個傳感器為參考傳感器。因此由M個傳感器可以得到(M-1)個TDOA值，乘以信號傳播速度之后，得到如下表達式：

(4)

(5)

對式(4)兩邊關于時間求導有

(6)

(7)

(8)

(9)

2 算 法

本節(jié)具體給出所提出算法的推導過程，由于所提出的算法第1步與文獻[18]的第1步相同，因此第1步僅給出簡單的總結；在新的第2步中，詳細給出了推導過程。

2.1 算法第1步

(10)

對式(4)移項并且兩邊進行平方，將RD測量值ri1、可利用的傳感器位置si以及式(10)代入，同時僅保留線性誤差項可以得到一組TDOA等式為

(i=2,3,…,M)

(11)

式中：η1i=uo-s1+ri1ρuo,s1。

對式(11)兩邊關于時間求導可以得到一組FDOA方程為

(i=2,3,…,M)

(12)

(13)

(14)

(15)

同樣，矩陣Gt和Gf的每一行元素分別為

(16)

(17)

矩陣方程(14)的加權最小二乘解為

(18)

(19)

2.2 算法第2步

(20)

文獻[18]的第2步同樣考慮了這種非線性關系，并且建立了等式方程，而本文第2步建立了一個不同于文獻[18]的等式方程；另外，文獻[18]中的TSWLS第2步得到結果之后還需要進行一些其他操作(如平方根運算等)才能得到最終結果，相比之下，算法第2步更簡潔明了，可以直接得到最終的WLS估計結果；第2步的具體過程如下。

(21)

將式(21)代入式(20)，并且只保留線性誤差項，則有如下等式：

(22)

另外，第1步得到的位置和速度估計誤差可以進一步改寫為

(23)

聯(lián)合式(22)和式(23)，將它們用矩陣形式表示可以建立新的矩陣方程為

(24)

(25)

式(24)的WLS解為

(26)

(27)

同樣，由于E(Δφ1)=0，因此當測量噪聲較小時第2步的估計近似為無偏估計，其協(xié)方差矩陣近似為

(28)

此外，還需要注意：

3 性能分析

本節(jié)將對所提出算法的性能進行分析，給出本文定位場景下的CRLB，并且理論推導證明在測量噪聲較小時，所提算法可以達到CRLB。

(29)

(30)

式中:

(31)

(32)

即本文提出的算法在測量噪聲較小時能夠實現(xiàn)CRLB。

4 仿真實驗

(33)

表1 場景1中觀測站的位置與速度

圖1 近場目標參數(shù)估計均方根誤差對比

圖2 近場目標參數(shù)估計偏差對比

如圖2所示，對于近場目標估計偏差性能而言，沒有考慮傳感器誤差的算法[15-16]具有較大的位置和速度估計偏差。當測量噪聲較小時，TSWLS算法能夠提供和SDR算法以及本文提出算法比較接近的估計偏差，但是當噪聲繼續(xù)增大時，TSWLS的偏差性能開始下降。當測量噪聲達到5 dB時，TSWLS算法的目標位置估計偏差比本文提出的算法大約高出了6 dB，同樣，目標速度估計偏差比本文提出的算法大約高出了6 dB。SDR算法與本文所提出的算法在整個噪聲功率范圍內對于目標參數(shù)估計的偏差比較接近，均能夠實現(xiàn)較小的位置與速度估計偏差，這兩種算法具有較好的定位性能。但是需要強調的是，SDR算法求解優(yōu)化問題需要大量的計算復雜度，該算法實時性難以保證；本文算法是一種閉式解法，因此具有較高的實時性(見第5節(jié)表2)。

圖3 遠場目標參數(shù)估計均方根誤差對比

圖4 遠場目標參數(shù)估計均方根誤差對比

如圖5所示，對于位置估計均方根誤差，當噪聲小于-5 dB時，2種算法均能夠實現(xiàn)CRLB。但是當噪聲繼續(xù)增大時，2種算法定位性能開始下降，當噪聲為0 dB時，本文算法得到的均方根誤差比文獻[18]的TSWLS得到的均方根誤差大約降低了4 dB。對于速度估計均方根誤差，當噪聲大于-15 dB時，文獻[18]TSWLS算法的估計性能出現(xiàn)了較大的下降，而本文算法在噪聲大于-5 dB時才開始偏離CRLB，本文算法具有更好的魯棒性。圖6給出了2種算法對于目標參數(shù)估計的偏差性能，對于位置估計偏差性能，文獻[18]的算法與本文算法十分接近；但是對于速度估計偏差，本文算法顯然比文獻[18]的算法具有更小的偏差，當測量噪聲等于-5 dB時，本文算法比文獻[18]算法的估計偏差大約減少了7 dB。

圖5 兩個不相交目標參數(shù)估計均方誤差對比

圖6 兩個不相交目標參數(shù)估計偏差對比

5 計算量分析

本節(jié)主要對所提出算法的計算復雜度進行分析，為了分析簡便，主要以實數(shù)乘法進行分析。

首先分析本文算法第1步的計算量。

接下來給出第2步計算量的分析過程，第2步中計算與觀測站數(shù)目無關，因此能夠得到準確的乘法次數(shù)。

此外，由于TSWLS的第1步需要對加權矩陣初始化，并且更新加權矩陣W1一般需要重復計算兩次，則第1步中1)需要計算2次，2)需要計算3次，因此本文提出的算法一共需要(120M3-120M2+688M+5 688)次的實數(shù)乘法運算。同樣，文獻[17-18]中的TSWLS算法第2步均與觀測站數(shù)目無關，計算量主要都體現(xiàn)在了第1步中，因此本文算法與它們計算量相當，這從表2中也可以看出，表2中給出了考慮傳感器參數(shù)誤差存在情況下不同算法的平均CPU運行時間，顯然TSWLS算法以及本文算法計算量相當。而SDR算法需要進行大量的運行時間。本文算法具有相當高的實時性，這一點在定位解算中具有重要意義。

表2 不同算法平均CPU執(zhí)行時間

6 結 論

1) 所提出算法在測量噪聲較小時能夠實現(xiàn)CRLB。另外，經(jīng)過適當?shù)木S度調整，可以應用于多非相交源的定位場景中。

2) 所提算法計算復雜度與TSWLS算法相當，同時能提供不高于SDR算法的均方根誤差和偏差估計性能。