基于矢量分析的DOA估計

王海江，劉玟宏，羅 文

(成都信息工程學(xué)院電子工程學(xué)院，四川成都610225)

0 引言

雷達(dá)發(fā)射出去的信號碰到目標(biāo)，目標(biāo)就會對發(fā)射信號進(jìn)行調(diào)制并反射回來，稱為回波信號，目標(biāo)的全部信息都蘊(yùn)藏在這個回波信號內(nèi)。檢測分析回波信號內(nèi)的信息，就能獲得有關(guān)目標(biāo)的各個參數(shù)。將目標(biāo)近似看成點(diǎn)目標(biāo)時，一般認(rèn)為目標(biāo)中包含的信息是方位、仰角、距離、速度及回波強(qiáng)度，但不能檢測出有關(guān)目標(biāo)性質(zhì)如外形結(jié)構(gòu)等參數(shù)。隨著雷達(dá)的測量精度不斷提高，當(dāng)測量精度接近于目標(biāo)尺寸時，目標(biāo)的幾何形狀、尺寸、在空間的取向等會對回波產(chǎn)生某種程度的調(diào)制，此時發(fā)生質(zhì)的變化，已不能單純把目標(biāo)看成一個點(diǎn)[1]。具體地說，由于雷達(dá)發(fā)射信號總是以某種極化形式發(fā)射出去，目標(biāo)的幾何形狀、尺寸、在空間的取向這類信息將通過極化調(diào)制的形式從目標(biāo)的回波中帶回來[2]。測得的目標(biāo)的極化信息中包含大量與目標(biāo)形狀、結(jié)構(gòu)、尺寸、表面粗糙度、對稱性等相關(guān)信息，通過提取回波信號中目標(biāo)極化信息，就能完整地將目標(biāo)的一些特征描述出來。因此，研究目標(biāo)回波的極化調(diào)制、極化參數(shù)與目標(biāo)特性之間關(guān)系，對雷達(dá)目標(biāo)進(jìn)行識別具有重要的意義[3－5]。

傳統(tǒng)的陣列信號處理在實(shí)現(xiàn)電磁波信號波達(dá)方向(DOA)估計時通常僅考慮信號在空域或時域的特性，而忽略了信號的另一重要特征——信號的極化狀態(tài)[6－9]。極化狀態(tài)是電磁波本身固有的特征，它描述了電磁波的矢量運(yùn)動，而且電磁波的矢量特性與其傳播方向之間存在內(nèi)在聯(lián)系[10]。

文中研究了電磁波的極化并利用電磁波的極化信息來求取電磁波的波達(dá)方向。通過對電磁波的幾何位形的描述，并進(jìn)行一系列的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，采用矢量分析方法把幾何意念和代數(shù)運(yùn)算密切的結(jié)合起來的算法，比較直觀地將電磁波的矢量特性與其傳播方向之間的聯(lián)系描述出來，從而可以通過對電磁波極化的測量實(shí)現(xiàn)對電磁波信號的到達(dá)方向的測量。

1 極化參數(shù)表征電磁波

假設(shè)橢圓極化平面波，稱之為極化平面Π。在極化平面Π上，極化橢圓的長軸沿單位向量方向，短軸沿方向，二者都是垂直于電磁波的傳播方向。安排這3個單位矢量成右手螺旋系，即橢圓極化場可表示為

式中振蕩相位表示為ψ=wt+k·r+δ，δ是一個無關(guān)緊要的初相位。ξ是長短軸之比，常數(shù)E代表電場強(qiáng)度大小，為簡化符號，方便計算，在討論中假設(shè)它等于1，在最后的結(jié)果中再乘上它就可以了。將上式表示成以復(fù)常數(shù)E為參數(shù)的形式

那么，式(2)可表示為

這樣，就能得出復(fù)振幅向量

寫成矩陣形式

寫成矩陣形式

通過一種輔助天線——三維振子天線，如圖1所示，這種天線具有水平全向性的特點(diǎn)，通過這個天線能夠測到十分完整的電磁波矢量，再對這3個測出的分量進(jìn)行正交解調(diào)就能夠?qū)的實(shí)部與虛部分離出來。三維振子天線的優(yōu)勢集中體現(xiàn)在以下3個方面:(1)因?yàn)槿S振子天線的同點(diǎn)極化分集接收方式可以用來處理寬帶信號;(2)具有全向性，因此不會出現(xiàn)測量角度限制的問題;(3)該天線占用的空間較小，制造工藝十分成熟，且能通過3個互不相干通道對信號進(jìn)行接收[11]。

圖1 三維極化天線

圖2 三維振子天線的三維方向圖

由于三維振子天線在三維空間各個方向上都是對稱的，所以其E面和H面方向圖都是一致的，如圖3所示。以三維振子天線作為參考系，建立與之平行的右旋坐標(biāo)系，把波傳播方向矢量在這個坐標(biāo)系中表示出來，可得到:

其中，θ是從天線望出去信號源的仰角，φ是方位角。式中的負(fù)號表示波傳波方向是由信號源指向天線。

圖3 三維振子天線的平面方向圖

將上式化為單位矢量，得

將式(10)、(11)和(12)合并后就能夠得到如下的矩陣形式[12]

通過坐標(biāo)軸各基矢量之間的變換，把式(13)代入式(8)，然后再代入式(5)，可以得到下面的復(fù)振幅的矩陣表示式:

式(14)給出的是矢量表達(dá)式，取出三維振子天線上的場分量可以得到下面的行向量的表達(dá)式:

可以很容易地通過Matlab得到:

2 電磁波的極化分析

假設(shè)存在一個已知復(fù)數(shù)電場矢量e，

此處 E=Er+jEi，且 Er=Re(E)和 El=Im(E)均為實(shí)值矢量。

由于在接近地面的大氣中的電場矢量散度為零，那么有

亦即k·E=0

易知電場方向始終是和電磁波的傳播方向相互垂直的。除去線極化的特殊情況，首先可求出極化平面的法線n，可仿照力學(xué)里面動量矩的方式來求出電場所在極化平面的法線的方向，也就是電磁波的傳播方向。

可以看出，極化平面可以通過復(fù)振幅矢量實(shí)部和虛部的矢量積來決定。

因?yàn)樵诘孛婵諝庵?，高頻電場強(qiáng)度的矢量的散度為零，因此它一定與電磁波傳播方向是垂直的。上述矢量積在電磁波為線極化的情形下等于零。但是在實(shí)際情況中，電磁波從被發(fā)射出來在傳播過程中會經(jīng)過很多次的折射與反射，接收時的極化狀態(tài)與發(fā)射時的極化狀態(tài)已經(jīng)只有較少的關(guān)聯(lián)。即使最初發(fā)射的電磁波是線極化波，被接收時也已經(jīng)變成橢圓極化波了。從以上討論中，可以看出極化平面法線必定與電磁波傳播方向共線，即k=±αN(α是一個正數(shù))。

不考慮式(19)中標(biāo)量對法線N方向的影響，可以得到

將上式進(jìn)行分量展開，就可以得到波的傳播方向方位角。

于是有

因此

由此可得

據(jù)此寫出它的輻角的正切值:

同理

可得

其中X=Ex';Y=Ey'。其結(jié)果與謝處方、饒克謹(jǐn)?shù)摹峨姶艌雠c電磁波》中列出的長軸傾斜角表達(dá)式一致。按照上述內(nèi)容，可以很容易地求出極化橢圓的長、短半軸長，長軸傾斜角，以及極化平面的法線的仰角與方位角。

用矢量分析算法求取電磁波DOA方向的主要步驟是:

(1)通過三維振子天線測出完整的電波矢量，并對3個分量進(jìn)行正交解調(diào)將矢量E的實(shí)部Er和虛部Ei分離開來;

(2)仿照力學(xué)里面動量矩的方式來求出電場所在極化平面的法線的方向，也就是電磁波的傳播方向，即可根據(jù)式(22)求取出DOA估計方向。

3 驗(yàn)證算法的有效性

表1 標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)果數(shù)據(jù)在入射角為0°時測得的波達(dá)角誤差

驗(yàn)證算法的有效性，通過多個角度，并與已知傳播方向進(jìn)行對比。

列出一些角度在同一信噪比的情況下，設(shè)置波數(shù)為1，信號頻率為pi/4，極化橢圓[13]的長短軸及其傳播方向的仰角和方位角都保持不變的情況下，其中，其長短軸之比為1∶0.3334，傳播方向的仰角為10°，方位角為0°，信噪比SNR為1，測得的波達(dá)方向與給定的發(fā)射角之間的誤差水平見表1。

在保持前一組數(shù)據(jù)設(shè)定的基礎(chǔ)上，改變方位角的值，并將給定的發(fā)射角以45°進(jìn)行變化，測得的波達(dá)方向與給定的發(fā)射角之間的誤差水平見表2。

表2 對比數(shù)據(jù)

圖4 ESPRIT算法與矢量分析算法估計偏差比較

圖5 ESPRIT算法與矢量分析算法估計方差比較

選擇天線陣為8陣元的均勻線陣，設(shè)置來波數(shù)為1，信號頻率為pi/4，陣元間距為0.5個波長，分別選擇快拍數(shù)為100和1024，入射角度保持不變，隨著噪信比的增大，對ESPRIT算法與矢量分析算法所得到的估計值與實(shí)際值之間的估計誤差和估計偏差進(jìn)行對比，對于每一個噪信比上的估計值均選取100組數(shù)據(jù)[15]，并求取數(shù)據(jù)的平均偏差和數(shù)據(jù)之間的估計方差，并根據(jù)求得的平均偏差與估計方差作圖如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5可以看出采用矢量分析算法進(jìn)行DOA估計偏差與ESPRIT算法在快拍數(shù)在1024時相當(dāng)，估計方差隨著噪信比的增大而增大，但是從整體上看估計效果與其相似，要遠(yuǎn)優(yōu)于ESPRIT算法快拍數(shù)為100時的估計效果。但矢量分析算法的優(yōu)勢在于算法簡單，減少了大量的運(yùn)算。

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