純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測(cè)性研究*

楊婧，李銀伢，戚國(guó)慶，盛安冬

（南京理工大學(xué)，南京210014）

純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析可觀測(cè)性研究*

楊婧，李銀伢，戚國(guó)慶，盛安冬

（南京理工大學(xué)，南京210014）

純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析（BOTMA）僅利用方位信息實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)參數(shù)的估計(jì)，是一種有效的無源被動(dòng)定位跟蹤方法。純方位系統(tǒng)中的可觀測(cè)性條件、目標(biāo)跟蹤與估計(jì)策略、觀測(cè)器最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌跡構(gòu)成了BOTMA的核心研究?jī)?nèi)容?？捎^測(cè)性問題是BOTMA首先必須解決的關(guān)鍵問題，可觀測(cè)性條件是后續(xù)目標(biāo)定位與跟蹤的前提和基礎(chǔ)。介紹了純方位系統(tǒng)中可觀測(cè)性的基本概念，從幾何方法、線性與非線性方法、數(shù)值分析方法等角度，對(duì)BOTMA的可觀測(cè)性研究成果進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)和評(píng)述，最后對(duì)這一領(lǐng)域的研究提出了新的展望。

可觀測(cè)性，BOTMA，被動(dòng)跟蹤

0 引言

純方位目標(biāo)定位與跟蹤是最經(jīng)典的被動(dòng)式無源定位跟蹤技術(shù)，具有隱蔽性好、作用距離遠(yuǎn)、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在無線電探測(cè)、被動(dòng)聲納、紅外等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用背景［1-4］。純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析（Bearings-Only Target Motion Analysis，BOTMA）指的是，利用傳感器被動(dòng)地測(cè)量目標(biāo)的方位信息，實(shí)時(shí)估計(jì)出目標(biāo)的位置和運(yùn)動(dòng)（速度、航向）參數(shù)，達(dá)到對(duì)目標(biāo)進(jìn)行被動(dòng)定位與跟蹤的目的。BOTMA旨在掌握運(yùn)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)（狀態(tài)）隨時(shí)間的變化規(guī)律，建立和預(yù)測(cè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的歷程和趨勢(shì)，為后續(xù)武器系統(tǒng)的進(jìn)一步動(dòng)作，諸如攻擊要素的獲取奠定基礎(chǔ)。BOTMA由于其固有的非線性和弱可觀測(cè)性，使得該領(lǐng)域的研究具有極大的難度和挑戰(zhàn)性。BOTMA的研究?jī)?nèi)容主要包括三個(gè)方面：目標(biāo)可觀測(cè)性條件，觀測(cè)器最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌跡以及目標(biāo)定位跟蹤算法［5］。其中，可觀測(cè)性研究是后續(xù)研究的前提和基礎(chǔ)。在純方位系統(tǒng)中，BOTMA的可觀測(cè)性問題本質(zhì)上是非線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性問題。與線性系統(tǒng)不同，非線性系統(tǒng)具有局部可觀測(cè)性和弱可觀測(cè)性等特點(diǎn)，其研究過程涉及李代數(shù)等繁復(fù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容［6］，使得該類系統(tǒng)可觀測(cè)性的分析研究更為困難。

圖1 純方位系統(tǒng)及其可觀測(cè)性研究趨勢(shì)

圖1給出了SCI和EI兩大數(shù)據(jù)庫中涉及純方位系統(tǒng)及其可觀測(cè)性研究的檢索結(jié)果。其中，“條件一”標(biāo)識(shí)曲線代表純方位系統(tǒng)研究的檢索結(jié)果，檢索關(guān)鍵詞為“bearings-only”；“條件二”標(biāo)識(shí)曲線代表純方位系統(tǒng)可觀測(cè)性研究的檢索結(jié)果，檢索關(guān)鍵詞為“bearings-only&observability”。從圖1可大致看出，純方位系統(tǒng)及其可觀測(cè)性問題的研究起源于上世紀(jì)六七十年代［7-8］，在經(jīng)歷了相對(duì)平緩的發(fā)展過程后，近十年來逐漸成為研究熱點(diǎn)。而分析現(xiàn)有文獻(xiàn)可知，可觀測(cè)性問題的研究工作在八九十年代取得了較大進(jìn)展，許多經(jīng)典成果為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)［9-11］。

1 可觀測(cè)性概念

可觀測(cè)性概念是卡爾曼在20世紀(jì)60年代首先提出的，表征系統(tǒng)狀態(tài)能否由其輸出完全反映的問題［12］。

在純方位系統(tǒng)中，觀測(cè)器測(cè)量的是目標(biāo)相對(duì)于觀測(cè)器的偏轉(zhuǎn)角度，因此，在笛卡爾坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的量測(cè)方程是非線性的。以圖2所示二維情形為例，設(shè)目標(biāo)和觀測(cè)器的坐標(biāo)分別為和o），目標(biāo)和觀測(cè)器的狀態(tài)向量xT（t）和xo（t）分別為

設(shè)β（t）為t時(shí)刻觀測(cè)器測(cè)得的目標(biāo)方位角，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程與量測(cè)方程分別為

其中，u（t）為控制量，表示觀測(cè)器相對(duì)于目標(biāo)的機(jī)動(dòng)；rx和ry分別為目標(biāo)相對(duì)觀測(cè)器在x軸、y軸方向上的位置坐標(biāo)分量；w（t），v（t）分別為狀態(tài)噪聲和量測(cè)噪聲。

圖2 目標(biāo)與觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)

記t時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)的信息集合為

相應(yīng)地，t=t0初始時(shí)刻的目標(biāo)參數(shù)集合為

2 可觀測(cè)性研究

可觀測(cè)性分析是BOTMA中最核心也是最基礎(chǔ)的研究?jī)?nèi)容。一方面，具有良好可觀測(cè)性的純方位系統(tǒng)，可以大幅度提高觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)狀態(tài)參數(shù)估計(jì)的可靠性和準(zhǔn)確性。

2.1 幾何分析方法

用幾何方法進(jìn)行目標(biāo)定位通?？傻玫脚c實(shí)際運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)聯(lián)的結(jié)論，比較直觀易懂。測(cè)向交叉定位法是一種發(fā)展較早，應(yīng)用廣泛的無源定位方法。文獻(xiàn)［13］對(duì)二維和三維目標(biāo)的可觀測(cè)性進(jìn)行了直觀的分析。在二維情況下，觀測(cè)器每次測(cè)量只得到方位角信息；在三維情形下，一次測(cè)量可得目標(biāo)的方位角和高低角。其結(jié)論可歸納為，目標(biāo)可觀測(cè)要求觀測(cè)器與目標(biāo)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)［14］介紹了雙站測(cè)向交叉定位法，基本原理與單站情形相同，同時(shí)給出了單站對(duì)勻速目標(biāo)航向的計(jì)算方法。文獻(xiàn)［15］提出線面相交定位法，比傳統(tǒng)方法具有更高的定位精度。文獻(xiàn)［16］用初等幾何方法，得到了用方位信息計(jì)算勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)距離的公式。為保證可觀測(cè)性，觀測(cè)器采用折線運(yùn)動(dòng)方式。文獻(xiàn)［17］也在觀測(cè)器折線運(yùn)動(dòng)條件下分析了純方位系統(tǒng)的可觀測(cè)性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)勻速目標(biāo)的距離和速度的估計(jì)。

2.2 線性系統(tǒng)分析方法

在笛卡爾坐標(biāo)系下，BOTMA中的測(cè)量方程是非線性的，給后續(xù)分析帶來諸多不便。對(duì)測(cè)量方程進(jìn)行偽線性化處理可以將測(cè)量方程轉(zhuǎn)化為線性形式，然后運(yùn)用線性系統(tǒng)理論分析可觀測(cè)性。不考慮量測(cè)誤差，對(duì)式（3）中量測(cè)方程進(jìn)行代數(shù)變換可得

用矩陣向量形式可表示為

上式即為偽觀測(cè)方程，C（t）稱為偽觀測(cè)矩陣，其維數(shù)由狀態(tài)向量決定，y（t）是偽觀測(cè)值。相應(yīng)地，對(duì)式（3）中的狀態(tài)方程作線性化處理，可得偽線性化后的純方位系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

式中，x（t）?Rn，y（t）?Rm，A（t）?Rn×n，B（t）?Rn×p，C（t）?Rm×n。因此，由式（3）描述的系統(tǒng)可觀測(cè)性問題就轉(zhuǎn)化為式（6）所示線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性問題。

下面介紹相關(guān)的分析方法。

判據(jù)1（Gram矩陣判據(jù)）［18］考慮式（6）描述的線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)在時(shí)刻t0完全能觀測(cè)的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻t0?Tt，t1＞t0，使如下定義的Gram矩陣：

為非奇異，其中Φ（t，t0）為A（t）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

應(yīng)當(dāng)注意，上述判據(jù)中，Gram矩陣只包含C（t）和Φ（t），從控制理論的角度看，可觀測(cè)性與輸入無關(guān)［19］。但在BOTMA問題中，輸入u（t）代表觀測(cè)器相對(duì)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)，u（t）的變化會(huì)影響測(cè)得的方位角信息β（t），而觀測(cè)矩陣C（t）=［cosβ（t）-sinβ（t）0 0…］，所以輸入u（t）會(huì)影響B(tài)OTMA可觀測(cè)性能。

可觀測(cè)性的Gram矩陣判據(jù)需要先計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，再求Gram矩陣，計(jì)算困難且計(jì)算量較大，故有以下簡(jiǎn)化的判據(jù)［19-20］。

判據(jù)2線性時(shí)變系統(tǒng)（6）在時(shí)刻t0完全能觀測(cè)的充分條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻t1?Tt，t1＞t0，使

其中，M（t）=C（t）Φ（t，t0），Φ（t，t0）為A（t）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

與判據(jù)2等價(jià)的判據(jù)3［19-20］如下：

判據(jù)3設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)（6）中，矩陣A（t），C（t）都為（n-1）階連續(xù)可導(dǎo)的，則系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻完全能觀測(cè)的充分條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻t1?Tt，t1＞t0，使

其中

由判據(jù)1可推導(dǎo)如下等價(jià)的判據(jù)4和判據(jù)5［19-20］：

判據(jù)4系統(tǒng)（6）在時(shí)刻t0完全能觀測(cè)的充要條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1?Tt，t1＞t0，使矩陣C（t1）Φ（t1，t0）的N個(gè)列線性無關(guān)。

判據(jù)5系統(tǒng)（6）在時(shí)刻t0完全能觀測(cè)的充要條件是，對(duì)任意的非零矢量ξ，存在t?［t0，tf］，使得C（t）Φ（t，t0）ξ≠0。

Aidala［9］、Hammel［10］等利用上述線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)對(duì)BOTMA可觀測(cè)性進(jìn)行分析，其方法和結(jié)論被廣泛引用。文獻(xiàn)［9］對(duì)二維情況下的勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，將量測(cè)方程偽線性化，運(yùn)用判據(jù)2推導(dǎo)出了目標(biāo)可觀測(cè)條件：

其中，ao（t）是觀測(cè)器加速度矢量，ao（t）和v（t0）分別是目標(biāo)相對(duì)于觀測(cè)器的初始位置和速度矢量，α（t）為任意標(biāo)量時(shí)間函數(shù)。文獻(xiàn)［10］將結(jié)論推廣到了三維目標(biāo)，得到了形式類似的可觀測(cè)條件，不同的是推導(dǎo)過程中運(yùn)用了判據(jù)3，簡(jiǎn)化了步驟。文獻(xiàn)［11］將研究對(duì)象從勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)擴(kuò)展到N階動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，用代數(shù)方法得到了可觀測(cè)的充分必要條件，推導(dǎo)過程極為簡(jiǎn)單，避免了求解微分方程，同時(shí)指出文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］的可觀測(cè)判據(jù)只是必要非充分條件。而文獻(xiàn)［21］根據(jù)判據(jù)4也得出了N階動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)不可觀測(cè)的充要條件，其形式是觀測(cè)器相對(duì)于目標(biāo)的機(jī)動(dòng)向量，即系統(tǒng)輸入u關(guān)于目標(biāo)初始狀態(tài)的表達(dá)式，在實(shí)際中代表觀測(cè)器的無效機(jī)動(dòng)。筆者還進(jìn)一步證明了文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］的結(jié)論是目標(biāo)為一階的特殊情況。同樣基于線性系統(tǒng)方法，文獻(xiàn)［22］運(yùn)用判據(jù)5，經(jīng)過簡(jiǎn)單的代數(shù)推導(dǎo)即可得文獻(xiàn)［9-11］的結(jié)論，說明了以往線性系統(tǒng)方法在解決BOTMA可觀測(cè)性問題時(shí)所呈現(xiàn)出的繁瑣過程并不是線性系統(tǒng)方法本身的原因，而是與可觀測(cè)性判據(jù)的選用有關(guān)，其結(jié)論使得線性系統(tǒng)方法得到了廣泛應(yīng)用［23-29］。文獻(xiàn)［30］認(rèn)為這種方法不局限于對(duì)N階動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的分析，還可處理更廣泛一類目標(biāo)的情況，比如對(duì)于一階延遲目標(biāo)加速模型，當(dāng)觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)也滿足一階延遲模型時(shí)，要使得目標(biāo)可觀測(cè)，只須使觀測(cè)器的機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)不同于目標(biāo)，觀測(cè)器不必作比目標(biāo)更高階次的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，這與N階動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的可觀測(cè)條件是截然不同的。該結(jié)論同樣適用于隨機(jī)環(huán)境下，目標(biāo)加速度為Singer模型及其改進(jìn)形式的情況。此外，文獻(xiàn)［3，31］利用向量變換和線性方程組解的性質(zhì)推導(dǎo)出N階動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的不可觀測(cè)條件，也簡(jiǎn)化了推導(dǎo)過程，為線性系統(tǒng)框架內(nèi)的可觀測(cè)性研究提供了新的思路。

基于線性系統(tǒng)分析方法的BOTMA可觀測(cè)性分析研究，可以得到觀測(cè)器的無效機(jī)動(dòng)表達(dá)式，即可觀測(cè)條件的解析形式，相對(duì)幾何分析方法而言，研究方法在數(shù)學(xué)上更為嚴(yán)謹(jǐn)。然而，該類方法盡管在可觀測(cè)性條件上給出了解析表達(dá)式，卻一般是以目標(biāo)和觀測(cè)器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)（或其導(dǎo)數(shù)）而不是以便于直接獲取的方位量測(cè)來表示的。在實(shí)際工程應(yīng)用中，常希望建立直接利用方位量測(cè)數(shù)據(jù)，無需求導(dǎo)和求解目標(biāo)相對(duì)位置與運(yùn)動(dòng)參數(shù)的BOTMA可觀測(cè)性判據(jù)，以簡(jiǎn)化操作，提高工程實(shí)用性。

2.3 非線性系統(tǒng)分析方法

純方位系統(tǒng)本質(zhì)上是非線性系統(tǒng)，利用非線性系統(tǒng)分析方法對(duì)BOTMA可觀測(cè)問題可以進(jìn)行更廣泛、更深入的研究。與線性系統(tǒng)的Gram矩陣判據(jù)類似，Lee和Dunn等人提出如下可觀測(cè)性判據(jù)［32］：

判據(jù)6對(duì)于如下非線性系統(tǒng)：

如果對(duì)于凸集S?Rn上的所有x0，都有

是正定的，則系統(tǒng)在S上是完全可觀測(cè)的。其中

將上述判據(jù)與線性系統(tǒng)Gram矩陣判據(jù)比較可知，在非線性系統(tǒng)中用相應(yīng)的Jacobin矩陣代替了線性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和測(cè)量矩陣。

將非線性系統(tǒng)弱可觀測(cè)和局部可觀測(cè)的概念相結(jié)合，還可得出與線性系統(tǒng)類似的局部弱可觀測(cè)性的秩判據(jù)如下［2，33］：

判據(jù)7設(shè)非線性系統(tǒng)為

其中，x?Xn?Rn，y?Rm?？捎^測(cè)性矩陣定義為

對(duì)x0?Xn，如果rank（Q）=n，則稱系統(tǒng)在x0處是局部弱可觀測(cè)的；如果對(duì)任意x?Xn，都有rank（Q）= n，則稱系統(tǒng)是局部弱可觀測(cè)的。其中，N是如下定義的非線性算子：

上述非線性系統(tǒng)分析方法在BOTMA的可觀測(cè)性研究中得到廣泛應(yīng)用［34-37］。特別是文獻(xiàn)［38］從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，證明了非線性離散系統(tǒng)可觀測(cè)性判據(jù)的“一致性”要求在系統(tǒng)初始狀態(tài)和輸入屬于緊集時(shí)并非必須滿足。只要系統(tǒng)狀態(tài)兩兩可區(qū)分，且對(duì)于每個(gè)狀態(tài)變量和輸入，存在一定長(zhǎng)度的觀測(cè)序列使得可觀測(cè)性判據(jù)的秩條件成立，那么整個(gè)系統(tǒng)就是可觀測(cè)的。這種將可觀測(cè)性判據(jù)“化整為零”的思路是符合實(shí)際需求的。

非線性系統(tǒng)方法在一定程度上可以看作是基于Gram矩陣的線性系統(tǒng)方法的推廣，因此，適用于線性和非線性目標(biāo)模型，使可觀測(cè)性問題的研究擴(kuò)展到了更廣闊的領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)原理上，用矩陣的正定或滿秩條件作為可觀測(cè)性判據(jù)。不足的是，當(dāng)處理高階目標(biāo)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算量。

2.4 數(shù)值分析方法

前面介紹的可觀測(cè)性分析方法一般適用于判斷系統(tǒng)全體狀態(tài)變量在某一時(shí)刻是否可觀測(cè)，是一種總體的定性分析。對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，若系統(tǒng)是可觀測(cè)的，并不能得知系統(tǒng)各狀態(tài)的可觀測(cè)程度；而對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，則需要分析從0時(shí)刻到t時(shí)刻的可觀測(cè)性矩陣的秩或正定性，計(jì)算量很大?；诰€性代數(shù)理論的數(shù)值方法可以對(duì)可觀測(cè)性進(jìn)行更為深入細(xì)致的定量分析。

文獻(xiàn)［39］先計(jì)算系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣Q，然后將正定對(duì)稱陣QTQ單位化后的特征值λi定義為其所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量或狀態(tài)向量線性組合的可觀測(cè)度。當(dāng)0≤λi≤1，且λi越大，其特征向量所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量或狀態(tài)向量線性組合的可觀測(cè)度越好；λi=0，則所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量或狀態(tài)向量組合不可觀測(cè)。文獻(xiàn)［40-41］對(duì)可觀測(cè)性矩陣進(jìn)行奇異值分解，并用奇異值大小判斷可觀測(cè)度。當(dāng)可觀測(cè)性矩陣是實(shí)矩陣時(shí)，有QH=QT，這與文獻(xiàn)［39］的方法實(shí)質(zhì)上是相同的。文獻(xiàn)［42］根據(jù)線性代數(shù)理論定義了系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣的偽逆矩陣，將狀態(tài)向量解的表達(dá)式分為固定部分和自由部分，自由部分決定系統(tǒng)的可觀測(cè)性，給出了計(jì)算不可觀測(cè)程度的公式。

文獻(xiàn)［43］用系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣的條件數(shù)定義可觀測(cè)度，條件數(shù)越大，則可觀測(cè)度越差；若條件數(shù)是無窮大，則系統(tǒng)不可觀測(cè)；條件數(shù)等于1時(shí)，可觀測(cè)度最好。特別對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，文獻(xiàn)［43］通過計(jì)算其局部可觀測(cè)矩陣的條件數(shù)定量地分析系統(tǒng)在某些時(shí)刻的可觀測(cè)性能，從而可對(duì)系統(tǒng)在任意時(shí)段內(nèi)的可觀測(cè)性進(jìn)行定量分析。文獻(xiàn)［44］基于條件數(shù)給出一種非線性系統(tǒng)可觀測(cè)性度量方法，并指出系統(tǒng)可觀測(cè)度依賴于狀態(tài)模型和觀測(cè)模型，與觀測(cè)數(shù)據(jù)本身無關(guān)，可作為比較觀測(cè)模型優(yōu)劣的一個(gè)性能準(zhǔn)則。

可觀測(cè)矩陣的奇異值（或特征值）分析方法不僅可以定性判斷整個(gè)系統(tǒng)是否可觀測(cè)，還可定量分析系統(tǒng)各狀態(tài)的可觀測(cè)度；而基于條件數(shù)的方法適用于研究時(shí)變系統(tǒng)在某一時(shí)間段內(nèi)的可觀測(cè)性，這些都與實(shí)際工程中系統(tǒng)可觀測(cè)性及后續(xù)研究的需求相符。

2.5 基于分段勻速直線運(yùn)動(dòng)模型的分析方法

在工程實(shí)際中，復(fù)雜的系統(tǒng)模型不利于問題的分析和求解，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化操作是一種有效的解決方法。文獻(xiàn)［45］認(rèn)為，一些線性時(shí)變系統(tǒng)用分段定常系統(tǒng)（Piece-Wise Constant System，PWCS）模型近似時(shí)，可保留系統(tǒng)特性，引入了簡(jiǎn)化的可觀測(cè)性矩陣分析PWCS系統(tǒng)的可觀測(cè)性。文獻(xiàn)［46］改進(jìn)了文獻(xiàn)［45］的方法，減少了計(jì)算量。以上述研究為依據(jù)，文獻(xiàn)［47］用分段勻速直線運(yùn)動(dòng)模型描述目標(biāo)和觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)，分析了多種情形下純方位系統(tǒng)的可觀測(cè)性問題。其主要結(jié)論有：（1）如果目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，觀測(cè)器運(yùn)動(dòng)軌跡由多段勻速直線運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，則目標(biāo)是可觀測(cè)的，當(dāng)且僅當(dāng)觀測(cè)器每一段軌跡測(cè)得的目標(biāo)方位變化率不全為零。（2）如果目標(biāo)和觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)軌跡都由多段勻速直線運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，那么目標(biāo)是可觀測(cè)的，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)滿足下列條件：①目標(biāo)和觀測(cè)器的所有機(jī)動(dòng)時(shí)刻都不同且目標(biāo)的機(jī)動(dòng)時(shí)刻已知；②觀測(cè)器軌跡至少包括2段勻速直線運(yùn)動(dòng)；③不存在方位變化率為零的分段。（3）如果目標(biāo)和觀測(cè)器的所有機(jī)動(dòng)時(shí)刻都不同，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)時(shí)刻未知且觀測(cè)器軌跡沒有方位變化率為零的分段，那么目標(biāo)是可觀測(cè)的。

文獻(xiàn)［47］認(rèn)為如果目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡由多段勻速直線運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，觀測(cè)器做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么目標(biāo)是不可觀測(cè)的。文獻(xiàn)［48-50］的研究則表明如果觀測(cè)器的速度矢量vo和目標(biāo)軌跡中相鄰的兩段速度矢量vs，1，vs，2滿足voT（vs，1-vs，2）≠0，那么此時(shí)目標(biāo)可觀測(cè)。文獻(xiàn)［51-52］進(jìn)一步研究了目標(biāo)軌跡包含勻速轉(zhuǎn)彎（Constant Turn，CT）運(yùn)動(dòng)，而觀測(cè)器仍做勻速直線運(yùn)動(dòng)的情形，結(jié)合文獻(xiàn)［48］有如下結(jié)論：①只要觀測(cè)器不是靜止的，則任何做CT運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)都是可觀測(cè)的；②如果觀測(cè)器靜止，則存在測(cè)量方位角與真正目標(biāo)同位相似的假目標(biāo)；③BOTMA可以區(qū)分CT運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和CV目標(biāo)，即②中假目標(biāo)不會(huì)是CV目標(biāo)；④如果目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡由多段CV和CT運(yùn)動(dòng)組成，那么在至少有一段為CT運(yùn)動(dòng)的條件下，目標(biāo)的整個(gè)軌跡是可觀測(cè)的。

2.6 有噪條件下的可觀測(cè)性分析方法

BOTMA的可觀測(cè)性研究一般只考慮無噪聲影響的確定性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［4］則將實(shí)際觀測(cè)量視為受隨機(jī)噪聲干擾的隨機(jī)變量，認(rèn)為純方位系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是狀態(tài)方程連續(xù)、量測(cè)方程離散的非線性隨機(jī)系統(tǒng)，其觀測(cè)性能更適宜用“好”和“差”來描述?？紤]到估計(jì)量的Fisher信息矩陣（Fisher Information Matrix，F(xiàn)IM）是衡量系統(tǒng)估計(jì)量好壞的性能指標(biāo)，因此，可作為判定純方位系統(tǒng)可觀測(cè)性的依據(jù)。當(dāng)FIM不可逆時(shí)，系統(tǒng)是不可觀測(cè)的；若FIM可逆，但具有大條件數(shù)，此時(shí)系統(tǒng)雖是可觀測(cè)的，但觀測(cè)性“較差”，反之若FIM可逆且不存在大條件數(shù)，此時(shí)系統(tǒng)是可觀測(cè)的，且具有“好”的觀測(cè)性。文獻(xiàn)［53-54］還引入高斯條件下狀態(tài)不確定超橢球體積，作為系統(tǒng)可觀測(cè)度大小的度量。文獻(xiàn)［55-56］對(duì)FIM的可逆性與非線性系統(tǒng)在無噪條件下的可觀測(cè)性之間的關(guān)系進(jìn)行了討論，結(jié)果表明：如果在高斯獨(dú)立噪聲條件下，非線性系統(tǒng)的FIM在x0處可逆，那么相應(yīng)的無噪系統(tǒng)在x0處是局部可觀測(cè)的。應(yīng)當(dāng)注意該結(jié)論的逆命題不成立，即系統(tǒng)在某點(diǎn)處可觀測(cè)并不能保證FIM在該點(diǎn)的可逆性。而對(duì)于線性系統(tǒng)，局部可觀測(cè)性與全局可觀測(cè)性是等價(jià)的。

FIM可以看作對(duì)系統(tǒng)整體可觀測(cè)性的定量分析，利用數(shù)值方法則可對(duì)每個(gè)狀態(tài)變量分別進(jìn)行定量的可觀測(cè)性分析，2.4節(jié)已對(duì)此詳細(xì)總結(jié)，這里不再贅述。需要說明的是，文獻(xiàn)［43，57］將系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣的條件數(shù)定義為可觀測(cè)度，看似與文獻(xiàn)［4，53］的可觀測(cè)度定義不同，實(shí)際上二者原理相通［58］。FIM與可觀測(cè)矩陣相比，前者包含了測(cè)量噪聲的協(xié)方差，適合于分析有噪條件下的可觀測(cè)性能，而后者適用于理想的無噪條件。

2.7 可觀測(cè)性分析其他方法

近年來，對(duì)純方位系統(tǒng)的可觀測(cè)性問題，出現(xiàn)了一些新的研究思路，進(jìn)一步拓展了BOTMA可觀測(cè)性分析方法，豐富了BOTMA可觀測(cè)性理論。文獻(xiàn)［59］討論一般目標(biāo)的可觀測(cè)性問題。這里“一般”的含義是指目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)假設(shè)突破了以往勻速直線運(yùn)動(dòng)等形式的限制，擴(kuò)展為更一般各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。指出在二維純方位系統(tǒng)中，系統(tǒng)可觀測(cè)的必要條件是觀測(cè)器作比目標(biāo)更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，并且獨(dú)立方位數(shù)目等于待定參數(shù)數(shù)目。這一結(jié)論不僅有助于對(duì)純方位系統(tǒng)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)后續(xù)跟蹤算法和觀測(cè)器機(jī)動(dòng)軌跡研究等都具有重要意義。連續(xù)和離散系統(tǒng)是純方位系統(tǒng)的兩種不同的表現(xiàn)形式，對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)離散化后是否依然可觀測(cè)，文獻(xiàn)［18］給出了判斷依據(jù)。但對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)而言，對(duì)應(yīng)的可觀測(cè)判據(jù)類比或轉(zhuǎn)換比較困難，不利于實(shí)際應(yīng)用。文獻(xiàn)［60］證明了離散純方位系統(tǒng)僅依賴方位測(cè)量的可觀測(cè)判據(jù)，文獻(xiàn)［61］則在連續(xù)系統(tǒng)下推導(dǎo)了該判據(jù)，表達(dá)形式與離散系統(tǒng)判據(jù)類似，但作者研究?jī)H限于一階目標(biāo)，結(jié)論有待進(jìn)一步推廣。

對(duì)于海上運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，傳統(tǒng)分析方法［62-63］一般忽略了聲音在海水中的傳播時(shí)間，認(rèn)為聲速為無限值。文獻(xiàn)［64］對(duì)此提出了質(zhì)疑，考慮到聲音的傳播需要一定時(shí)間，所以方位的測(cè)量必定與聲速有關(guān)。由于海水中的聲速受諸多因素影響，筆者將其設(shè)定為一個(gè)假想的平均速度。當(dāng)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)且平均聲速為有限常數(shù)時(shí)，證明了目標(biāo)在觀測(cè)器不機(jī)動(dòng)時(shí)也是可觀測(cè)的，且在相同的觀測(cè)器機(jī)動(dòng)條件下，目標(biāo)可觀測(cè)性要優(yōu)于認(rèn)為聲速為無限值的情形。文章的研究結(jié)果表明，聲速有限的假設(shè)包含了目標(biāo)的狀態(tài)信息，對(duì)于可觀測(cè)性分析有重要價(jià)值。

基于圖論的分析方法［65-66］常用于電力系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性分析，具有計(jì)算量小，速度快等優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于多站純方位系統(tǒng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析，其系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜性遠(yuǎn)小于電力系統(tǒng)。文獻(xiàn)［67-68］研究機(jī)器人僅依靠方位量測(cè)的協(xié)同定位問題，定義了相對(duì)位置測(cè)量圖（Relative Position Measurement Graph，RPMG），結(jié)合非線性系統(tǒng)可觀測(cè)判據(jù)建立了RPMG性質(zhì)與可觀測(cè)性的關(guān)系，從而得出可觀測(cè)條件。該類方法在處理基于傳感網(wǎng)絡(luò)的BOTMA可觀測(cè)性分析上，提供了新的研究思路和技術(shù)途徑。

3 結(jié)束語

BOTMA的可觀測(cè)性問題本質(zhì)上屬于非線性系統(tǒng)解的存在唯一性問題，但早期的研究者多采用線性系統(tǒng)的分析方法，對(duì)量測(cè)方程進(jìn)行偽線性化處理。非線性系統(tǒng)理論的發(fā)展使可觀測(cè)性問題的研究有了新的理論依據(jù)，研究對(duì)象也不再局限于N階動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。盡管后來又有其他研究方法的出現(xiàn)，但線性和非線性系統(tǒng)方法仍然得到了最廣泛的應(yīng)用。20世紀(jì)八九十年代是可觀測(cè)性研究發(fā)展的重要時(shí)期，出現(xiàn)了大量經(jīng)典的研究成果，為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)。而后來的學(xué)者們主要從兩方面拓展豐富了前人的研究：一是尋找更為有效的方法，簡(jiǎn)化分析過程，用最簡(jiǎn)單的方法推導(dǎo)出已有的結(jié)論并將其融會(huì)貫通［69］；二是考慮實(shí)際應(yīng)用需求，對(duì)可觀測(cè)性的判據(jù)進(jìn)行改進(jìn)或是調(diào)整觀測(cè)條件［70-73］。

綜上所述，BOTMA可觀測(cè)性的研究重點(diǎn)表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是建立可觀測(cè)性判據(jù)，判斷所給系統(tǒng)是否可觀測(cè)或研究其可觀測(cè)程度；二是利用可觀測(cè)性判據(jù)，研究可觀測(cè)條件，并由此提出對(duì)觀測(cè)器的數(shù)目、運(yùn)動(dòng)方式等方面的要求，以期改善系統(tǒng)可觀測(cè)性能。前者力求判據(jù)的簡(jiǎn)單易用，后者則追求可觀測(cè)條件的直觀易懂。

從現(xiàn)階段可觀測(cè)性研究情況來看，可從以下幾方面對(duì)BOTMA可觀測(cè)性問題進(jìn)行更深入的研究：

（1）連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性研究方法不同，所得到的判據(jù)形式也不同，研究它們之間是否有類比或相互轉(zhuǎn)換的可能，以使可觀測(cè)理論更為完善，為實(shí)際應(yīng)用提供便利。

（2）一些可觀測(cè)條件是目標(biāo)和觀測(cè)器相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表達(dá)式，而目標(biāo)與觀測(cè)器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)通常是未知的，需要更為直觀、實(shí)用的判據(jù)形式。諸如，能否建立直接基于方位量測(cè)數(shù)據(jù)，無須求導(dǎo)和求解觀測(cè)器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的可觀測(cè)性判據(jù)?

（3）在有噪條件下，基于FIM的可觀測(cè)性判定方法僅適用于低階目標(biāo)，對(duì)于高階目標(biāo)會(huì)產(chǎn)生很大的計(jì)算量，而對(duì)于更一般性的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，相應(yīng)的可觀測(cè)性分析理論和方法仍有待深入研究。

（4）純方位系統(tǒng)的可觀測(cè)性和觀測(cè)器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式密切相關(guān)。由于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的未知性和不合作性，觀測(cè)器本身的合理有效機(jī)動(dòng)是保證純方位系統(tǒng)可觀測(cè)的首要條件。從工程應(yīng)用角度出發(fā)，考慮觀測(cè)器最大機(jī)動(dòng)速度、機(jī)動(dòng)次數(shù)、傳感器探測(cè)盲區(qū)、戰(zhàn)術(shù)意圖、武器效能等實(shí)際因素制約下的觀測(cè)器機(jī)動(dòng)模式，將后續(xù)目標(biāo)跟蹤估計(jì)算法與觀測(cè)器工程化機(jī)動(dòng)軌跡研究緊密結(jié)合起來，從定性分析過渡至定量分析，尋求更具實(shí)用性和可操作性的可觀測(cè)性分析方法，將是未來該領(lǐng)域研究的重要課題。

（5）可觀測(cè)性研究的進(jìn)展總是與研究分析方法的革新密切相關(guān)，因此，進(jìn)行理論創(chuàng)新，尋求更為有效的研究途徑將是未來該領(lǐng)域研究的重要方面。

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Overview of Observability of Bearings-only Target Motion Analysis

YANG Jing，LI Yin-ya，QI Guo-qing，SHENG An-dong
（Nanjing University of Science and Technology，Nanjing210014，China）

Bearings-Only Target Motion Analysis（BOTMA）is an efficient method for passive localization and tracking due to the superiority of which uses only bearing measurements to estimate parameters of target motion.The researches of bearings-only systems concentrate on three aspects：observability conditions，target tracking and estimation strategies and optimal observer maneuver trajectories.The observability problem is the key issue that is to be handled firstly because the corresponding observability conditions are the basis and precondition of follow-up researches of target localization and tracking.First，the basic concept of observability in bearings-only system is introduced. Then from the research methodology perspective，the existing BOTMA observability research results，including geometric methods，linear and nonlinear system based methods and numerical methods，etc.，are summarized and reviewed.Finally，several new opinions on future researches in this area are presented.

observability，BOTMA，passive tracking

TP271

A

1002-0640（2015）12-0001-08

2014-11-05

2015-01-15

國(guó)家自然科學(xué)基金（61273076，61104186）；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（BK2012801）

楊婧（1990-），女，山西運(yùn)城人，碩士研究生。研究方向：水下純方位系統(tǒng)的可觀測(cè)性。